Να βρεθεί το n.

APOSTOLAKIS · #1

Αν $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^{2010}x-sinx^{2010}}{x^{^{n}}}$ είναι πραγματικός αριθμός διαφορετικός από το μηδέν, να υπολογίσετε το n.

#2

Μια απόπειρα σκέψης και μία εικασία.(όχι κατάληξη)

Έτσι για να αρχίσει η κουβέντα.

Η παράσταση γράφεται:
.

$\displaystyle{ \frac{{(\sin x)^{2010} - \sin (x^{2010} )}}{{x^n }} = \frac{1}{{x^{n - 2010} }}\left[ {\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)^{2010} - \frac{{\sin (x^{2010} )}}{{x^{2010} }}} \right] }$

Είναι:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{sinx}}{x}} \right)^{2010} = 1 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{sin(x^{2010} )}}{{x^{2010} }}\mathop = \limits^{y \to 0^ + } \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\sin y}}{y} = 1 \\ \end{array} }$

Οπότε

1)Αν n<2010 τότε η παράσταση τείνει στο μηδέν.(δεν το θέλουμε)

2)Αν n =2010 είναι πιό προφανές πως τείνει στο μηδέν(πάλι δεν το θέλουμε).

3) Αν n>2010 έχω απροσδιόριστη μορφή.

Κι εδώ τελειώνει η σκέψη μου(πρός το παρόν).

Αν δεν έχω κάνει λάθος κάπου εκεί μετά το 2010 (ίσως και ως το άπειρο) βρίσκεται η απάντηση.

#3

Είναι

.

Αρκεί να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2010}x-\sin x^{2010}}{x^{2012}} \ne 0}$ .

Πράγματι, από L'Hospital έχουμε το ζητούμενο όριο θα ισούται με

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{2010\sin^{2009}x \cos x -2010 x^{2009} \cos (x^{2010})}{2012x^{2011}}=\lim_{x\to 0} \frac{2010}{2012}\left( \Big[ \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2009}-1\Big]\frac{\cos x}{x^2} +\frac{\cos x -\cos x^{2010}}{x^2} \right)=\frac{2010}{2012} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\cos x -\cos x^{2010}}{x^2}}$

Ξανά από L'Hospital έχουμε

$\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\cos x -\cos x^{2010}}{x^2}=\lim_{x\to 0} \frac{-\sin x +2010x^{2009}\sin (x^{2010})}{2x}=-\frac{1}{2}}$ .

Συνεπώς, το αρχικό όριο είναι ίσο με $\displaystyle{-\frac{2010}{2\cdot 2012}}$ .

Edit: Το ότι $\displaystyle{\lim_{x\to 0} \Big[ \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2009}-1\Big]\frac{1}{x^2}=0}$ χρειάζεται απόδειξη. Με μια δεύτερη ματιά, αν και σωστό, δεν είναι τόσο προφανές (για το λύκειο, πάντα-αλλοιώς, είναι προφανέστατο (ΟΧΙ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ- ΔΕΙΤΕ ΠΑΡΑΚΑΤΩ) με σειρές Maclaurin).

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

Μπράβο Αχιλλέα!

#5

achilleas έγραψε: ......
Edit: Το ότι $\displaystyle{\lim_{x\to 0} \Big[ \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2009}-1\Big]\frac{1}{x^2}=0}$ χρειάζεται απόδειξη. Με μια δεύτερη ματιά, αν και σωστό, δεν είναι τόσο προφανές (για το λύκειο, πάντα-αλλοιώς, είναι προφανέστατο με σειρές Maclaurin).
....

Δεν το έχω σκεφτεί, αλλά υπάρχει κάποια "λυκειακή" απόδειξη του παραπάνω ορίου;

Φιλικά,

Αχιλλέας

#6

Γιατί εγώ βρίσκω ότι το όριο ισούται με -2009/6

;

#7

Με τον τρόπο που διατυπώνεται το πρόβλημα υπονοείται (κατά τη γνώμη μου) ότι το

είναι μοναδικό.

Σε αυτήν την περίπτωση, η μοναδικότητα παραμένει προς απόδειξη.

#8

Demetres έγραψε:Γιατί εγώ βρίσκω ότι το όριο ισούται με ;

Ποιό όριο βρίσκεις τόσο; Μπορούμε να δούμε τον υπολογισμό;

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Με τον τρόπο που διατυπώνεται το πρόβλημα υπονοείται (κατά τη γνώμη μου) ότι το είναι μοναδικό.

Σε αυτήν την περίπτωση, η μοναδικότητα παραμένει προς απόδειξη.

Η μοναδικότητα είναι "προφανής" με σκέψεις ανάλογες αυτές του Χρήστου.

Αν μειώσεις τον εκθέτη στον παρονομαστή $x^{2012}$ , τότε το όριο είναι 0, ενώ αν τον αυξήσεις το όριο δεν υπάρχει.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#9

achilleas έγραψε:
Δεν το έχω σκεφτεί, αλλά υπάρχει κάποια "λυκειακή" απόδειξη του παραπάνω ορίου;

Φιλικά,

Αχιλλέας

Μπορεί να αποδειχθεί με χρήση της $\displaystyle{x-x^3/6<\sin x< x}$ για $\displaystyle{x\in(0,\delta)}$ (και αντίστοιχα για τα αρνητικά) σχολικά.

ΛΑΘΟΣ

#10

Ο Δημήτρης έχει δίκιο, οπότε πρέπει να τροποπoιήσω την παραπάνω "απόδειξη" ως εξής:
.......

Πράγματι, από L'Hospital έχουμε το ζητούμενο όριο θα ισούται με

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{2010\sin^{2009}x \cos x -2010 x^{2009} \cos (x^{2010})}{2012x^{2011}}=\lim_{x\to 0} \frac{2010}{2012}\left( \Big[ \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2009}-1+\frac{2009}{6} x^2\Big]\frac{\cos x}{x^2} -\frac{2009}{6}\cos x+ \frac{\cos x -\cos x^{2010}}{x^2} \right)}$

που είναι ίσο με

$\displaystyle{\frac{2010}{2012}\left(0-\frac{2009}{6}-\frac{1}{2}\right)\ne 0}$

....

Η ερώτηση παραμένει, αφού το πρόβλημα είναι στο φάκελο λυκείου.

Υπάρχει "λυκειακή" λύση;

Φιλικά,

Αχιλλέας

#11

Απολογούμαι για την κάπως λακωνική απάντηση προηγουμένως και επανέρχομαι προσπαθώντας να δώσω μια λυκειακή απάντηση στο όριο. Θα χρησιμοποιήσω τον τύπο $a^{2009} - 1 = (a-1)(1 + a + a^2 + \cdots + a^{2008})$ ο οποίος πρέπει να θεωρείται γνωστός (προκύπτει από το άθροισμα γεωμετρικής σειράς.)

Άρα $\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left( \left(\frac{\sin{x}}{x} \right)^{2009} - 1\right) \frac{1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin{x} - x}{x^3} \right) \left( 1 + \frac{\sin{x}}{x} + \cdots + \left(\frac{\sin{x}}{x} \right)^{2008} \right)}$

Όμως $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin{x} - x}{x^3} \right) = -\frac{1}{6} }$ εφαρμόζοντας δυο φορές l'Hopital, και $\displaystyle{\lim_{x \to 0}\left( 1 + \frac{\sin{x}}{x} + \cdots + \left(\frac{\sin{x}}{x} \right)^{2008} \right) = 2009}$ χρησιμοποιώντας γνωστές ιδιότητες για τα αθροίσματα και γινόμενα ορίων.

#12

Παιδιά συγνώμη αλλά πως καταρρίπτεται το συμπέρασμα '' αν το n<2010 έχω όριο το μηδέν...''

Ειλικρινά σηκώνω τα χέρια ψηλά!

#13

Πάρα πολύ ωραία!

Το θέμα φαίνεται να έχει ιδιαίτερες απαιτήσεις,
οπότε το θεωρώ πάρα πολύ δύσκολο για μαθητές.

Εκτός αν υπάρχει πιο απλή λύση στο αρχικό ερώτημα που δεν τη βλέπω.

Αχιλλέας

#14

chris_gatos έγραψε:Παιδιά συγνώμη αλλά πως καταρρίπτεται το συμπέρασμα '' αν το n<2010 έχω όριο το μηδέν...''

Ειλικρινά σηκώνω τα χέρια ψηλά!

Αν κατάλαβα καλά το ερώτημα έχουμε το εξής για n<2012

:

Ο λόγος γράφεται

$\displaystyle{\frac{\sin^{2010}x-\sin x^{2010}}{x^{^{n}}}=x^{2012-n} \cdot \frac{\sin^{2010}x-\sin x^{2010}}{x^{2012}}}$ που τείνει στο 0 καθώς $x\to 0$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#15

Έστω Αχιλλέα εξ'άλλου εγώ το είχα φτάσει μέχρι το 2010. Εσύ το πήγες...λίγο παρακάτω!

#16

Okay, Χρήστο, συμφωνούμε...δεν καταρρίπτεται το συμπέρασμα, αφού σωστό είναι...

Είμαι περίεργος να μάθω, όμως, αν έδωσε κάποιος την άσκηση σε μαθητές και πως την έλυσε τότε.

Αχιλλέας

#17

Κοντός ψαλμός αλληλούϊα.

Αν μπεί ο APOSTOLAKIS ας μας πεί την έκβαση!

#18

achilleas έγραψε:Είναι .

Αρκεί να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2010}x-\sin x^{2010}}{x^{2012}} \ne 0}$ .

....

Ένας δεύτερος τρόπος υπολογισμού χρησιμοποιεί το Θέμα 20 από ένα παλιό (με μαύρο εξώφυλλο)) βιβλίο του Μπαϊλάκη, σελ. 290:

$\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{x^n-\sin^n x}{x^{n+2}}=\frac{n}{6}}$ (όπου $n\geq 1$ , ακέραιος)

(η ιδέα της λύσης αυτού του θέματος είναι όμοια με αυτή του Δημήτρη παραπάνω).

Γράφουμε

$\displaystyle{\frac{\sin^{2010} x-\sin (x^{2010})}{x^{2012}}=\frac{x^{2010}-\sin (x^{2010})}{x^{2012}}-\frac{x^{2010}-\sin^{2010} x}{x^{2012}}$ (*)

Με κανόνα L'Hospital εύκολα παίρνουμε

$\displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{x^{2010}-\sin (x^{2010})}{x^{2012}}=\frac{2010}{2012}\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos (x^{2010})}{x^2}=0}$ . (1),

ενώ από το προανεφερθέν Θέμα είναι

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{x^{2010}-\sin^{2010} x}{x^{2012}}=-\frac{2010}{6}}$ . (2)

Συνεπώς, από (1) και (2), η (*) μας δίνει

$\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2010}x-\sin x^{2010}}{x^{2012}} =-\frac{2010}{6}$ .

(το οποίο είναι ίσο με $\displaystyle{\frac{2010}{2012}\left(0-\frac{2009}{6}-\frac{1}{2}\right)}$ που βρήκαμε πριν.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Να βρεθεί το n.

Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Re: Να βρεθεί το n.

Μέλη σε σύνδεση