Ορθογώνιο τρίγωνο και διάμεσος

#1

Αυτή η άσκηση επιδέχεται πολλές λύσεις, χωρίς να είναι όμως ιδιαίτερα εύκολη.Χαρείτε την !

ΑΣΚΗΣΗ

Σε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή φέρνουμε τη διάμεσο ΒΔ. Η κάθετη από το Α προς την ευθεία ΒΔ τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Ε. Να αποδειχθεί ότι ΒΕ = 2ΕΓ.

Μπάμπης

Eukleidis · #2

Τα σημεία Α,Ε,Κ είναι συνευθειακά οπότε από το θεωρημα του Μενελάου παίρνουμε

$\displaystyle{\frac{{{\text{EB}}}}{{{\text{E}}\Gamma }}\cdot\frac{{{\text{A}}\Gamma }}{{{\text{A}}\Delta }}\cdot\frac{{{\text{K}}\Delta }}{{{\text{KB}}}} = 1}$
ή $\displaystyle{\frac{{{\text{EB}}}}{{{\text{E}}\Gamma }}\cdot2\cdot\frac{{{\text{K}}\Delta }}{{{\text{KB}}}} = 1}$

Όμως $\displaystyle{\Delta {{\rm A}^2} = \Delta {\rm K} \cdot \Delta {\rm B}}$ οπότε $\displaystyle{\frac{{{\rm K}\Delta }}{{{\rm K}{\rm B}}} = \frac{{\Delta {{\rm A}^2}}}{{\Delta {\rm B} \cdot {\rm K}{\rm B}}} = {\left( {\frac{{\Delta {\rm A}}}{{{\rm A}{\rm B}}}} \right)^2} = \frac{1}{4}}$ από όπου επεται το ζητούμενο

p_gianno · #3

Φέρω ΑΜ διάμεσο- ύψος που τέμνει την ΒΔ στο Ζ το οποίο είναι το βαρύκεντρο του τργ ΑΒΓ.
Είναι τότε τργΖΒΜ=τργΕΑΜ (ως ορθογώνια με ΒΜ=ΜΑ ως ίσες πλευρές του ισοσκελούς τργΑΜΒ και ΖΒΜ=ΜΑΕ ως οξείες με πλευρές καθέτους). Συνεπώς ΖΜ=ΜΕ και επομένως γωνΜΖΕ=45 που σημαίνει ότι ΖΕ//ΑΓ ( αφού γωνΜΑΓ=45 επίσης) απ'όπου λόγω Θαλή και βαρυκέντρου έχουμε 2/1=ΒΖ/ΖΔ=ΒΕ/ΕΓ οεδ

#4

: F.png (26.66 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές

Ιστοσελίδα · #5

Στο τρίγωνο ΒΑΕ φέρω το ύψος ΕΚ (ΕΚ//ΓΑ) και έστω Ο το σημείο τομής με την ΒΔ. Το σημείο Ο είναι το ορθόκεντρο του ΒΑΕ. Φέρω το ύψος ΑΜ και λόγω του ισοσκελούς ΑΒΓ το Ο θα είναι το βαρύκεντρο του ΑΒΓ. Από θεώρημα Θαλή θα έχω: $\displaystyle\frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{{\rm E}\Gamma }} = \displaystyle\frac{{{\rm B}{\rm O}}}{{{\rm O}\Delta }} = \displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{2}{3}{\rm B}\Delta }}{{\displaystyle\frac{1}{3}{\rm B}\Delta }} = 2 \Rightarrow {\rm B}{\rm E} = 2{\rm E}\Gamma$ .

: stergioumpampis.jpg (60.29 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές

Ορθογώνιο τρίγωνο και διάμεσος

Ορθογώνιο τρίγωνο και διάμεσος

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο και διάμεσος

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο και διάμεσος

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο και διάμεσος

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο και διάμεσος

Μέλη σε σύνδεση