Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Νομίζω ότι υπάρχει ενδιαφέρον για συζήτηση των (β) και (γ) ερωτημάτων, που μου γίνονται συχνά μέσα στην τάξη, αφού τους αποδείξω αρχικά το (α) ερώτημα.

α. Να αποδείξετε ότι το $\displaystyle{\sqrt 2 }$ δεν είναι ρητός αριθμός (εφαρμογή βιβλίου - γνωστή)

β. Μπορούμε να αποδείξουμε (με γνώσεις Α΄ Λυκείου) ότι και το $\displaystyle{\sqrt 3 }$ δεν είναι ρητός αριθμός;

γ. Όμοια και για το $\displaystyle{\sqrt 5 }$

nickthegreek · #2

Νομίζω ότι πέρα από την κλασσική απόδειξη (έστω $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ ,όπου το κλάσμα είναι ανάγωγο κτλ...), έχω να δώσω μια ακόμη σκέψη:

Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x)=x^2-2

.Σύμφωνα με το θεώρημα των ρητών ριζών,αν $\frac{x}{y}$ είναι μια ρίζα ,όπου το κλάσμα είναι ανάγωγο, τότε πρέπει το y να διαιρεί τον συντελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου (εδώ το 1) και το x να διαιρεί το 2.Άρα πιθανές ρίζες είναι οι $\pm 1,\pm 2$ .Αφού καμιά από τις παραπάνω τιμές δεν είναι ρίζα της εξίσωσης και αφού γνωρίζουμε ότι στην πραγματικότητα η εξίσωση έχει λύση το $\pm\sqrt{2}$ ,καταλήγουμε ότι ο αριθμός ρίζα 2 είναι άρρητος!!!Όμοια και για το 3 και το 5.

Ελπίζω να μην χάνω κάπου...

Φιλικά,
Νίκος

Δημήτρης Μυρογιάννης · #3

nickthegreek έγραψε:

Νομίζω ότι πέρα από την κλασσική απόδειξη (έστω $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ ,όπου το κλάσμα είναι ανάγωγο κτλ...), έχω να δώσω μια ακόμη σκέψη:

Θεωρούμε το πολυώνυμο .Σύμφωνα με το θεώρημα των ρητών ριζών,αν $\frac{x}{y}$ είναι μια ρίζα ,όπου το κλάσμα είναι ανάγωγο, τότε πρέπει το y να διαιρεί τον συντελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου (εδώ το 1) και το x να διαιρεί το 2.Άρα πιθανές ρίζες είναι οι $\pm 1,\pm 2$ .Αφού καμιά από τις παραπάνω τιμές δεν είναι ρίζα της εξίσωσης και αφού γνωρίζουμε ότι στην πραγματικότητα η εξίσωση έχει λύση το $\pm\sqrt{2}$ ,καταλήγουμε ότι ο αριθμός ρίζα 2 είναι άρρητος!!!Όμοια και για το 3 και το 5.

Ελπίζω να μην χάνω κάπου...

Φιλικά,
Νίκος

Kλασικη και ωραια λυση!

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Νίκο μια χαρά για το (α) ερώτημα, αλλά το θέμα μου είναι το (β) και (γ) με γνώσεις (αν γίνεται) Α΄ Λυκείου!

Το $\displaystyle{\sqrt 2 }$ μας βολεύει στην απόδειξη με τους άρτιους κτλ, αλλά στο $\displaystyle{\sqrt 3 }$ πως σκεφτόμαστε; Είναι κλασική ερώτηση των μαθητών της Α Λυκείου!

#5

Από ένα παλιό φυλλάδιο του κ. Μιχάλη Λάμπρου:

(Conway) Έστω ότι ο $\sqrt{N}=p/q$ δεν είναι ακέραιος. Από την υπόθεση εύκολα βλέπουμε ότι θα ισχύει και $\sqrt{N}= Nq/p$ . Αφού οι ρητοί (και μη ακέραιοι) αριθμοί $\sqrt{N}= p/q$ και Nq/p

είναι ίσοι σημαίνει ότι και τα κλασματικά τους μέρη θα είναι ίσα. Τα κλασματικά αυτά μέρη είναι της μορφής q'/q

και

αντίστοιχα, όπου 0 < p'< p

και

. Δηλαδή ισχύει q'/q = p'/p

και άρα $p'/ q' = p/q = \sqrt{N}$ . Με άλλα λόγια γράψαμε τον $\sqrt{N}$ ως κλάσμα με μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή από ότι αρχικά. Επειδή η διαδικασία αυτή μπορεί να επαναληφθεί επ΄ άπειρον, καταλήγουμε σε άτοπο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

p_gianno · #6

Δύο ακόμη αποδείξεις από το διαδίκτυο με την πρώτη αρκετά μικρή.
http://mathforum.org/library/drmath/view/52619.html
http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/Number ... y_of_3.htm

Μάκης Χατζόπουλος · #7

Για λόγους πληρότητας γίνεται να τις γράψουμε στα Ελληνικά;

Θα βοηθούσα αλλά τα Αγγλικά μου δεν με βοηθάνε!

#8

Μια απόδειξη με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής:

Γράφουμε το

ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Έστω $N = p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k}$ όπου τα $p_1,\ldots,p_k$ είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Αν ο

δεν είναι τέλειο τετράγωνο, τότε κάποιο r_i

, έστω το

θα είναι περιττός. Ας υποθέσουμε ότι $\sqrt{N} = a/b$ . Τότε a^2 = b^2N

. Όμως η μεγαλύτερη δύναμη του p_1

που διαιρεί το a^2

είναι άρτια αλλά η μεγαλύτερη δύναμη που διαιρεί το b^2N

είναι περιττή, άτοπο.

p_gianno · #9

Μια μετάφραση στα γρήγορα

Έστω ότι

3 = p^2/q^2

Όπου p και q ακέραιοι και p/q ανάγωγο. Τότε

3 q^2 = p^2

Επομένως p^2 διαιρείται με το 3 που σημαίνει ότι και το p διαιρείται με το 3 συνεπώς το p^2 διαιρείται με το 9

Συνεπώς

q^2 = p^2/3

και q^2 διαιρείται με το 3.

Αυτό όμως σημαίνει ότι και οι δύο (p ,q) διαιρούνται με το 3 και δεν ήταν επομένως το p/q ανάγωγο , που σημαίνει ότι έχουμε αντίφαση.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Έστω ρίζα (3)=a/b όπου a,b ακέραιοι.
Τετραγωνίζοντας κατά μελη έχουμε 3=α^2 / b^2 ή 3β^2=α^2 (2)
Αν ο b είναι περιττός το ίδιο θα συμβαίνει και με το b^2 και το a.
Ομοίως αν b άρτιος τότε b^2 και a άρτιοι και σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να απλοποιήσουμε διαιρώντας με το 2
και να καταλήξουμε σε κλάσμα με περιττούς όρους και μάλιστα ανάγωγο.
Με τα a , b περιττούς γράφουμε
a = 2m + 1 και b = 2n +1 με m,n ακέραιους
Αντικαθιστώντας στη 2 παίρνουμε
3(4n^2 + 4n + 1) = 4m^2 + 4m + 1 ……. ή 6n^2 + 6n + 1 = 2(m^2 + m)
Φθάσαμε σε ισότητα της οποίας το αριστερό μέλος είναι περιττός αριθμός και το δεξί άρτιος .
Φθάσαμε στην αντίφαση αυτή γιατί θεωρήσαμε ότι υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε ρίζα (3)=a/b

#10

Και μια γεωμετρική απόδειξη. Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ και έστω Α' πάνω στην ΒΔ τέτοιο ώστε Α'Δ = ΑΔ. Έστω Δ' πάνω στην ΒΓ ώστε η Α'Δ' να είναι κάθετη πάνω στην ΒΔ. Τότε Α'Β = Α'Δ'. Έστω Γ' τέτοιο ώστε Α'ΒΓ'Δ' τετράγωνο. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία σχηματίζοντας τετράγωνα Α''ΒΓ''Δ'' κ.ο.κ.

Αν λοιπόν τώρα το $\sqrt{2}$ είναι ρητός, τότε θα υπάρχει κάποιος αριθμός χ ώστε τα |ΑΒ| και |ΒΔ| να είναι ακέραια πολλαπλάσια του χ. Όμως και το |Α'Β| = |ΒΔ| - |Α'Δ| = |ΒΔ| - |ΑΒ| πρέπει να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του χ. Αλλά και το |Β'Δ'| = |ΒΓ| - |Δ'Γ| = |ΒΓ| - |Α'Δ'| πρέπει να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του χ. (Έχουμε |Δ'Γ| = |Α'Δ'| από την σύγκριση των τριγώνων Δ'Α'Δ και Δ'ΓΔ.)

Με παρόμοιο τρόπο όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που κατασκευάσαμε είναι ακέραια πολλαπλάσια του χ. Όμως τα τμήματα γίνονται συνέχεια μικρότερα και αυτό δεν μπορεί να συνεχιστεί επ' άπειρον.

Υπάρχει παρόμοια απόδειξη και για το $\sqrt{3}$ αλλά δεν την θυμάμαι. Νομίζω υπάρχει στο Hardy & Wright.

Ιστοσελίδα · #11

Demetres έγραψε:Και μια γεωμετρική απόδειξη. Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ και έστω Α' πάνω στην ΒΔ τέτοιο ώστε Α'Δ = ΑΔ. Έστω Δ' πάνω στην ΒΓ ώστε η Α'Δ' να είναι κάθετη πάνω στην ΒΔ. Τότε Α'Β = Α'Δ'. Έστω Γ' τέτοιο ώστε Α'ΒΓ'Δ' τετράγωνο. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία σχηματίζοντας τετράγωνα Α''ΒΓ''Δ'' κ.ο.κ.

Αν λοιπόν τώρα το $\sqrt{2}$ είναι ρητός, τότε θα υπάρχει κάποιος αριθμός χ ώστε τα |ΑΒ| και |ΒΔ| να είναι ακέραια πολλαπλάσια του χ. Όμως και το |Α'Β| = |ΒΔ| - |Α'Δ| = |ΒΔ| - |ΑΒ| πρέπει να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του χ. Αλλά και το |Β'Δ'| = |ΒΓ| - |Δ'Γ| = |ΒΓ| - |Α'Δ'| πρέπει να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του χ. (Έχουμε |Δ'Γ| = |Α'Δ'| από την σύγκριση των τριγώνων Δ'Α'Δ και Δ'ΓΔ.)

Με παρόμοιο τρόπο όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που κατασκευάσαμε είναι ακέραια πολλαπλάσια του χ. Όμως τα τμήματα γίνονται συνέχεια μικρότερα και αυτό δεν μπορεί να συνεχιστεί επ' άπειρον.

Υπάρχει παρόμοια απόδειξη και για το $\sqrt{3}$ αλλά δεν την θυμάμαι. Νομίζω υπάρχει στο Hardy & Wright.

Για το $\sqrt{3}$ νομίζω Δημήτρη ότι προκύπτει και γεωμετρικά από τη γνωστή κατασκευή πάνω στον κοχλία του Θεαίτητου...

#12

Επισυνάπτω ένα κειμενάκι που είχα γράψει παλιά και μοίραζα στους φοιτητές στο Πανεπιστήμιο Κρήτης. Σε αυτό αναφέρεται ο Αχιλλέας, παραπάνω.

Περιέχει μερικά ιστορικά σχόλια και 12 αποδείξεις (*), οι περισσότερες προσιτές σε μαθητές Α΄Λυκείου.

Ποια είναι η πιο κομψή απόδειξη είναι βέβαια θέμα γούστου. Ο Αχιλλέας έδειξε ότι η 4) του αρέσει ιδιαίτερα, ενώ άλλοι έλκονται από την 5) που οφείλεται στον Dedekind. Την 8) την βρήκα μόνος μου, αλλά κάποιος μου είπε ότι την έχει δει και αλλού.

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) Την απόδειξη του nickthegreek παραπάνω, την έχω υπόψη αλλά την άφησα σκόπιμα έξω. Ο λόγος είναι γιατί η απόδειξη του θεωρήματος που χρησιμοποιεί (για της ρητές ρίζες πολυωνυμικών με ακέραιους συντελεστές) είναι ακριβώς η ίδια με την κλασική απόδειξη του αρρήτου της ρίζας 2, οπότε ουσιαστικά δεν είναι νέα απόδειξη.

#13

Mihalis_Lambrou έγραψε:Επισυνάπτω ένα κειμενάκι που είχα γράψει παλιά και μοίραζα στους φοιτητές στο Πανεπιστήμιο Κρήτης. Σε αυτό αναφέρεται ο Αχιλλέας, παραπάνω.

Περιέχει μερικά ιστορικά σχόλια και 12 αποδείξεις (*), οι περισσότερες προσιτές σε μαθητές Α΄Λυκείου.

.....

Ας μου επιτραπεί μια μικρή πρόσφατη ιστοριούλα για το παραπάνω αρχείο.

Την πρώτη ημέρα σε τμήμα της Β Λυκείου έκανα παρατήρηση σε ένα μαθητή διότι μιλούσε με την μπροστινή του. Μου δικαιολογείται πως απλώς της εξηγεί ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητος. Του λέω πως δεν έχει χρόνο κι ας το αφήσει για άλλη στιγμή.

Την επόμενη ημέρα τον συνάντησα στην αίθουσα του φωτοτυπικού και του είπα ότι του έφερα ένα άρθρο, αυτό του κ. Μιχάλη, με 12 απόδειξεις για το ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητος!!

Εντυπωσιάστηκε και μου είπε: "Πολύ καλά κάνατε, κύριε. Η αλήθεια είναι, όμως, ότι απλώς μιλούσαμε κι εγώ σας είπα αυτό επειδή μας πιάσατε για να δικαιολογηθώ! Καλά κάνατε, όμως, και το φέρατε."

Απ'ότι μου είπε το διάβασε, αλλά δεν τις κατάλαβε όλες....όπως είναι φυσικό για μαθητή της Β' Λυκείου...

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Re: Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Re: Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Re: Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Re: Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Re: Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Re: Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Re: Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Re: Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Re: Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Re: Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Re: Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Re: Αποδείξτε ότι δεν είναι ρητός αριθμός

Μέλη σε σύνδεση