Εσεις τι θα κάνατε;

daidalos · #1

Στο διαγώνισμα Μιγαδικών στο τμήμα θετικής κατεύθυνσης του ... Λυκείου ...... όπου τρεις απο τους 21 μαθητές περνούν απο την Β γυμνασίου μέχρι τώρα τουλάχιστον τον Θαλή ανελλιπώς, μαθητές του τμήματος είναι σημαιοφόρος και παραστάτες του σχολείου, ο μέγιστος αναμενόμενος βαθμός είναι 16-17.Χρόνος εξέτασης 90 λεπτά.Παραθέτω ερωτήματα του 4ου ζητήματος: i)Αν |z+1/z|=1 να δειχθεί |z|+1/|z| ≤√5. ii)Αν z ο μιγαδικός του i) ερωτήματος και
1/z^2 -1/z ̅^2 =8i να αποδειχθεί οτι |z|≤1/2 . Όμως το ερώτημα ii είναι ανεξάρτητο του i
(άσκηση 128, σελ 45 Α τόμος του Γ.Λ.Μαυρίδη) . Η συντάξασα το διαγώνισμα είναι βέβαιο οτι πήρε την άσκηση απο το συγκεκριμένο βιβλίο γιατί ήταν στα βιβλία που παρουσιάζονταν στο συνέδριο της ΕΜΕ στην Κοζάνη όπου και αυτή παραβρέθηκε. Στα άλλα θέματα ήταν άσκηση απο Πανελλαδικές και θέμα απο παλιότερο διαγωνισμό ΕΜΕ ή απο την τράπεζα θεμάτων ΕΜΕ . Με υπόθεση οτι το παιδί σας πήρε μέρος στο διαγώνισμα αυτό τι θα κάνατε;

#2

daidalos έγραψε:Στο διαγώνισμα Μιγαδικών στο τμήμα θετικής κατεύθυνσης του ... Λυκείου ...... όπου τρεις απο τους 21 μαθητές περνούν απο την Β γυμνασίου μέχρι τώρα τουλάχιστον τον Θαλή ανελλιπώς, μαθητές του τμήματος είναι σημαιοφόρος και παραστάτες του σχολείου, ο μέγιστος αναμενόμενος βαθμός είναι 16-17.Χρόνος εξέτασης 90 λεπτά.Παραθέτω ερωτήματα του 4ου ζητήματος: i)Αν |z+1/z|=1 να δειχθεί |z|+1/|z| ≤√5. ii)Αν z ο μιγαδικός του i) ερωτήματος και
1/z^2 -1/z ̅^2 =8i να αποδειχθεί οτι |z|≤1/2 . Όμως το ερώτημα ii είναι ανεξάρτητο του i
(άσκηση 128, σελ 45 Α τόμος του Γ.Λ.Μαυρίδη) . Η συντάξασα το διαγώνισμα είναι βέβαιο οτι πήρε την άσκηση απο το συγκεκριμένο βιβλίο γιατί ήταν στα βιβλία που παρουσιάζονταν στο συνέδριο της ΕΜΕ στην Κοζάνη όπου και αυτή παραβρέθηκε. Στα άλλα θέματα ήταν άσκηση απο Πανελλαδικές και θέμα απο παλιότερο διαγωνισμό ΕΜΕ ή απο την τράπεζα θεμάτων ΕΜΕ . Με υπόθεση οτι το παιδί σας πήρε μέρος στο διαγώνισμα αυτό τι θα κάνατε;

Θα του έλεγα....

"Πιθανότατα τα θέματα είναι πιο δύσκολα από τα τυπικά θέματα, αλλά έλα να δούμε πως λύνονται.....

το (i) έτσι...και το (ii) έτσι...

δεν πειράζει αν δεν έγραψες καλά, μην άγχεσαι γι'αυτό, αρχή είναι ακόμα...σε κάθε περίπτωση κακό δεν κάνει να μάθεις και τις συγκεκριμένες τεχνικές....το διάβασμα σου δεν πήγε χαμένο
εγώ στο πρώτο τεστ στη Γ λυκείου έγραψα 12/20....με ταρακούνησε λίγο, αλλά με βοήθησε κιόλας να διαβάζω καλύτερα!"

Τουλάχιστον στην αρχή, δεν πρέπει να αναζητηθούν ευθύνες από κανένα...ούτε από τον καθηγητή...αν έχει κάνει λάθος, θα το καταλάβει και θα προσαρμοστεί....

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Καταρχήν θα πρέπει να ξέρεις ποια είναι η άποψη της καθηγήτριας για το εν λόγω διαγώνισμα: εύκολο, μέτριο, δύσκολο;;;

Με τα δεδομένα που μας αναφέρεις το διαγώνισμα το χαρακτηρίζεις δύσκολο. Εγώ δεν παίρνω θέση, δεδομένου ότι:
* γνωρίζω μόνο το θέμα που αναφέρεις και
* τα θέματα των μιγαδικών στις πανελλήνιες δεν είναι γενικά δύσκολα, πλην ελαχίστων εξαιρέσεων.

Αν λοιπόν το διαγώνισμα χαρακτηρίζεται δύσκολο, το βασικό είναι να το γνωρίζει και να το λάβει ανάλογα υπόψη της στους βαθμούς του τετραμήνου (νομίζω ότι σε αυτό ήθελες να καταλήξεις).

Πάντως δεν είναι κακό να υπάρχουν δύσκολα ερωτήματα στα διαγωνίσματα, έστω και αν είναι πολλά. Κάθε άλλο ...

Ερώτημα: Πως βγαίνει ο μέγιστος αναμενόμενος βαθμός; Αυτός δεν εξαρτάται πάντα από τα θέματα και τον καθηγητή;

#4

[Συμφωνώ με τις απαντήσεις του Αχιλλέα και του Λευτέρη.]

Επί της ουσίας, ας δούμε λίγο το (i)... Απλές πράξεις με συζυγείς δίνουν

$1=|z+\frac{1}{z}|^{2}=(z+\frac{1}{z})(\bar{z}+\frac{1}{\bar{z}})=(|z|+\frac{1}{|z|})^{2}+(\frac{z^{2}+\bar{z}^{2}}{|z|^{2}}-2)$ ,

επομένως αρκεί να παρατηρήσουμε, με z=x+iy

, ότι

$\frac{z^{2}+\bar{z}^{2}}{|z|^{2}}\geq-2\Longleftrightarrow\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\geq-1$ ,

κάτι που βεβαίως αληθεύει (με ισότητα αν και μόνον αν x=0

).

...Αλλά εμένα με απασχόλησε αμέσως το 'παραπανίσιο' ερώτημα: υπάρχουν όντως μιγαδικοί που ικανοποιούν και τις δυο ανισο-ισότητες ως ισότητες, και τι μπορούμε να πούμε γι' αυτούς; [Πιστεύω ότι είναι πολύ καλή ιδέα για τους διδάσκοντες να δίνουν στους μαθητές τέτοιου είδους απαντήσεις ... μετά το διαγώνισμα!]

Από την παραπάνω επεξεργασία φαίνεται καθαρά ότι διπλή ισότητα μπορούμε να έχουμε μόνον για φανταστικούς αριθμούς

που ικανοποιούν και την $|y-\frac{1}{y}|=1$ , δηλαδή για τους αριθμούς $\pm(\frac{\sqrt{5}\pm1}{2})i$ (προσεγγιστικά $\pm0,618i$ & $\pm1,618i$ ).

Γιώργος Μπαλόγλου

k-ser · #5

Το θέμα.
i) Αν για τον μιγαδικό

ισχύει: $\displaystyle \left|z+\frac{1}{z}\right|=1$ να δειχθεί ότι: $\displaystyle |z|+\frac{1}{|z|}\leq \sqrt{5}$ .
ii) Αν για τον μιγαδικό

του i) ερωτήματος, (αυτό δεν είναι αναγκαίο), ισχύει: $\displaystyle \frac{1}{z^2}-\frac{1}{\bar{z}^2}=8i$ να δειχθεί ότι: $\displaystyle |z|\leq \frac{1}{2}$ .
Μία απάντηση.
i)Εύκολα από τη δοσμένη ισότητα προκύπτει: |z^2+1|=|z|

και από την ανισότητα του μέτρου:

$\displaystyle -|z|\leq |z|^2-1\leq|z| \Leftrightarrow |z|^2+|z|-1\geq 0$ και $|z|^2-|z|-1\leq 0$ .
Η επίλυση του συστήματος μας δίνει
$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2} \leq|z|\leq \frac{\sqrt{5}+1}{2}\Rightarrow$

$\displaystyle -\frac{1}{2}\leq |z|-\frac{\sqrt{5}}{2}\leq\frac{1}{2}\Rightarrow$

$\displaystyle \left| |z|-\frac{\sqrt{5}}{2}\Right|\leq\frac{1}{2}\Rightarrow$

$\displaystyle \left| |z|-\frac{\sqrt{5}}{2}\right|^2\leq\frac{1}{4}\Rightarrow$

$\displaystyle |z|^2-\sqrt{5}|z|+1\leq 0\Rightarrow$

$\displaystyle |z|^2+1\leq \sqrt{5}|z|\Rightarrow \bf{|z|+\frac{1}{|z|}\leq \sqt{5}}$

ii)
$\displaystyle \frac{1}{z^2}-\frac{1}{\bar{z}^2}=8i\Rightarrow \left|\frac{1}{z^2}-\frac{1}{\bar{z}^2}\right|=8 \Rightarrow$

$\left|\frac{1}{z^2}\right|+\left|\frac{1}{\bar{z}^2}\Right|\geq 8 \Rightarrow 8|z|^2\leq 2\Rightarrow\bf{|z|\leq\frac{1}{2}}$

Και ένα σχόλιο.

Δύσκολο θέμα, όπως άλλωστε... και τα Μαθηματικά: Δύσκολο μάθημα.

kwstas12345 · #6

Aς βάλω μια προσέγγιση για το δεύτερο ερώτημα ελπίζω σωστή.Είναι:

$\displaystyle \frac{1}{z^{2}}-\frac{1}{\bar{z}^{2}}=8i\Rightarrow \frac{\bar{z}^{2}-z^{2}}{z^{2}\bar{z}^{2}}=8i\Rightarrow \frac{\left|\bar{z}^{2}-z^{2} \right|}{\left|z \right|^{4}}=8$

Όμως από τριγωνική:

$\displaystyle \left|\bar{z}^{2}-z^{2} \right|\leq \left|z^{2} \right|+\left|\bar{z} ^{2}\right|=2\left|z \right|^{2}\Rightarrow 8=\frac{\left|\bar{z}^{2}-z^{2} \right|}{\left|z \right|^{4}}\leq \frac{2}{\left|z \right|^{2}}\Leftrightarrow \left|z \right|^{2}\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \left|z \right|\leq \frac{1}{2}$

Πιστεύω να είμαι σωστός...

Φιλικά,
Κώστας

Ανδρέας Πούλος · #7

Δεν είναι ηθικό ούτε νόμιμο να κρίνουμε και μάλιστα να κατακρίνουμε έναν άνθρωπο μέσω του Διαδικτύου και μάλιστα αν δεν υπάρχουν τρεις βασικές προϋποθέσεις:
1) Επιθυμεί ο ίδιος ο "κρινόμενος" να συμμετέχει στον διάλογο ή στην κριτική που του ασκείται,
2) Γνωρίζει για όσα γράφονται δημόσια για αυτόν και για την κριτική που του ασκείται,
3) Είναι σε θέση να απαντήσει μέσω του Διαδικτύου, αν δηλαδή διαθέστει Η/Υ, γνωρίζει ηλεκτρονική αλληλογραφία
και είναι μέλος του συγκεκριμένου Φόρουμ, δηλαδή είναι μέλος και έχει κωδικό στη δημόσια συζήτηση.

Ο πλέον ενδεδειγμένος και έντιμος τρόπος για θέματα όπως αυτό που επιχειρήθηκε να τεθεί με την ερώτηση "εσείς τι θα κάνατε;"
είναι η άμεση επικοινωνία μεταξύ δύο προσώπων που υποτίθεται ότι έχουν διαφορετικές απόψεις και αντιλήψεις για το συγκεκριμένο ζήτημα.
Αν αυτό δεν είναι δυνατόν, τότε πρέπει να γίνει συζήτηση με τον διευθυντή του σχολείου και με τον αρμόδιο σχολικό σύμβουλο.

Θεωρώ ότι τέτοιου είδους πρακτικές και "ανώνυμες" "καταγγελίες" ή και απλά παράπονα, κατά τα άλλα ίσως δίκαια και ανθρώπινα,
δεν είμαι σε θέση να γνωρίζω και δεν θέλω να μάθω, δεν νομίζω ότι σχετίζονται ούτε με τους σκοπούς, ούτε με τη φιλοσοφία του Mathematica.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ιστοσελίδα · #8

daidalos έγραψε:Στο διαγώνισμα Μιγαδικών στο τμήμα θετικής κατεύθυνσης του ... Λυκείου ...... όπου τρεις απο τους 21 μαθητές περνούν απο την Β γυμνασίου μέχρι τώρα τουλάχιστον τον Θαλή ανελλιπώς, μαθητές του τμήματος είναι σημαιοφόρος και παραστάτες του σχολείου, ο μέγιστος αναμενόμενος βαθμός είναι 16-17.Χρόνος εξέτασης 90 λεπτά.Παραθέτω ερωτήματα του 4ου ζητήματος: i)Αν |z+1/z|=1 να δειχθεί |z|+1/|z| ≤√5. ii)Αν z ο μιγαδικός του i) ερωτήματος και
1/z^2 -1/z ̅^2 =8i να αποδειχθεί οτι |z|≤1/2 . Όμως το ερώτημα ii είναι ανεξάρτητο του i
(άσκηση 128, σελ 45 Α τόμος του Γ.Λ.Μαυρίδη) . Η συντάξασα το διαγώνισμα είναι βέβαιο οτι πήρε την άσκηση απο το συγκεκριμένο βιβλίο γιατί ήταν στα βιβλία που παρουσιάζονταν στο συνέδριο της ΕΜΕ στην Κοζάνη όπου και αυτή παραβρέθηκε. Στα άλλα θέματα ήταν άσκηση απο Πανελλαδικές και θέμα απο παλιότερο διαγωνισμό ΕΜΕ ή απο την τράπεζα θεμάτων ΕΜΕ . Με υπόθεση οτι το παιδί σας πήρε μέρος στο διαγώνισμα αυτό τι θα κάνατε;

Συμφωνώ καταρχήν με την οπτική του Αχιλλέα, αλλά μπορώ και να φανταστώ τις επιδιώξεις του καθηγητή σου. Νομίζω ότι το καλύτερο που έχεις να κάνεις - και μαντεύω ότι θα γίνει με πρωτοβουλία του καθηγητή - είναι να συζητήσετε μαζί του την επίλυση του διαγωνίσματος, καθώς επίσης ενδεχομένως και κατ' ιδίαν ο κάθε μαθητής τις επιδιώξεις του και τους στόχους τους για το συγκεκριμένο διαγώνισμα, εφόσον δεν σας καλύψει η γενικότερη συζήτηση που θα έχει προηγηθεί...
Καθένας μας, όταν βάζει ένα συγκεκριμένο διαγώνισμα ή και θέμα ακόμα έχει στο μυαλό του συγκεκριμένα πράγματα...
Εγώ για παράδειγμα αρκετές φορές θέλω να διαγιγνώσκω και να επιλύω μέσω διαγωνισμάτων-ασκήσεων-τεστ αδυναμίες που εντοπίζω στους μαθητές μου με στόχο να τους βοηθήσω να τις ξεπεράσουν και να τις αντιμετωπίσουν αποτελεσματικά στις εξετάσεις. Τα διαγωνίσματα είναι καλό σημείο για να γίνει κάτι τέτοιο διότι το λάθος στο διαγώνισμα βοηθά να εντυπωθεί στη μνήμη του μαθητή και να αποφευχθεί αργότερα. Εννοείται ότι αποτελούν δευτερεύοντα παράγοντα για την αξιολόγηση του τετραμήνου -συνήθως για τους περισσότερους καθηγητές έχω την εντύπωση - και λαμβάνεται υπόψη η γενικότερη εικόνα της τάξης στο διαγώνισμα. Είναι και τα διαγωνίσματα - τεστ αναπόσπαστη διαδικασία της μάθησης πιστεύω.
Υπάρχουν πολλές οπτικές πάνω σ'αυτό : άλλες φορές πχ κάποιος μπορεί να προετοιμάζει με δύσκολα διαγωνίσματα (σε ποιότητα ή ποσότητα ως προς το χρόνο) για να είναι ευκολότερα αντιμετωπίσιμες οι εξετάσεις ή και πολλές ακόμα οπτικές.
Γι' αυτό λέω ότι είναι απαραίτητη και η κρισιμότερη η συζήτηση μαθητών - καθηγητή σχετικά με το διαγώνισμα, ώστε να ολοκληρωθεί ο παιδαγωγικός του χαρακτήρας...Νομίζω ότι όλοι θα έχετε απαντήσεις...

Ανδρέας Πούλος · #9

Σωτήρη,
ο daidalos δεν είναι παιδί. Είναι 51 ετών!!
Οπότε ...

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ιστοσελίδα · #10

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Σωτήρη,
ο daidalos δεν είναι παιδί. Είναι 51 ετών!!
Οπότε ...

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

sorry !!!
Τότε νομίζω - εφόσον είναι γονέας - σε πρώτη φάση δεν έχει κανένα λόγο να ανακατευθεί...
ας εξηγήσει στο παιδί ότι πρέπει να μιλήσει ΕΚΕΙΝΟ με τον καθηγητή του στα πλαίσια που ανέφερα παραπάνω...

daidalos · #11

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Σωτήρη,
ο daidalos δεν είναι παιδί. Είναι 51 ετών!!
Οπότε ...

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Σας ευχαριστώ για τις τοποθετήσεις σας. Φυσικά και δεν τίθεται θέμα καταγγελίας κλπ Τη γνώμη σας ήθελα και
τίποτε περισσότερο.

Ιστοσελίδα · #12

Δίνω άλλη μια αντιμετώπιση για το Α ερώτημα:
Αν . $\left| {z + \frac{1}{z}} \right| = 1$ . να αποδειχτεί ότι $\left| z \right| + \left| {\frac{1}{z}} \right| \le \sqrt 5$
Λύση
Από τριγωνική ισχύει ότι $\left| {\left| z \right| - \left| {\frac{1}{z}} \right|} \right| \le \left| {z + \frac{1}{z}} \right|$ οπότε λόγω του ότι $\left| {z + \frac{1}{z}} \right| = 1$ θα έχουμε ότι
$\begin{array}{l} \left| {\left| z \right| - \left| {\frac{1}{z}} \right|} \right| \le 1 \Rightarrow {\left| {\left| z \right| - \left| {\frac{1}{z}} \right|} \right|^2} \le 1 \Rightarrow {\left| z \right|^2} - 2\left| z \right|\left| {\frac{1}{z}} \right| + {\left| {\frac{1}{z}} \right|^2} \le 1 \Rightarrow {\left| z \right|^2} + {\left| {\frac{1}{z}} \right|^2} \le 3 \Rightarrow \\ {\left( {\left| z \right| + \left| {\frac{1}{z}} \right|} \right)^2} - 2\left| z \right|\left| {\frac{1}{z}} \right| \le 3 \Rightarrow {\left( {\left| z \right| + \left| {\frac{1}{z}} \right|} \right)^2} \le 5 \Rightarrow \left| z \right| + \left| {\frac{1}{z}} \right| \le \sqrt 5 \\ \end{array}$
Μίλτος Π.

k-ser · #13

Μίλτο μπράβο!
Η χρήση της ταυτότητας a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

μας δίνει μια εύκολη, σε σχέση με τη δύσκολη και μακροσκελή δική μου, λύση.

#14

daidalos έγραψε:Στο διαγώνισμα Μιγαδικών στο τμήμα θετικής κατεύθυνσης του ... Λυκείου ...... όπου τρεις απο τους 21 μαθητές περνούν απο την Β γυμνασίου μέχρι τώρα τουλάχιστον τον Θαλή ανελλιπώς, μαθητές του τμήματος είναι σημαιοφόρος και παραστάτες του σχολείου, ο μέγιστος αναμενόμενος βαθμός είναι 16-17.Χρόνος εξέτασης 90 λεπτά.Παραθέτω ερωτήματα του 4ου ζητήματος: i)Αν |z+1/z|=1 να δειχθεί |z|+1/|z| ≤√5. ii)Αν z ο μιγαδικός του i) ερωτήματος και
1/z^2 -1/z ̅^2 =8i να αποδειχθεί οτι |z|≤1/2 . Όμως το ερώτημα ii είναι ανεξάρτητο του i
(άσκηση 128, σελ 45 Α τόμος του Γ.Λ.Μαυρίδη) . Η συντάξασα το διαγώνισμα είναι βέβαιο οτι πήρε την άσκηση απο το συγκεκριμένο βιβλίο γιατί ήταν στα βιβλία που παρουσιάζονταν στο συνέδριο της ΕΜΕ στην Κοζάνη όπου και αυτή παραβρέθηκε. Στα άλλα θέματα ήταν άσκηση απο Πανελλαδικές και θέμα απο παλιότερο διαγωνισμό ΕΜΕ ή απο την τράπεζα θεμάτων ΕΜΕ . Με υπόθεση οτι το παιδί σας πήρε μέρος στο διαγώνισμα αυτό τι θα κάνατε;

Λοιπόν αν καταλάβαμε καλά έχουμε ένα τμήμα που έγραψε ένα διαγώνισμα και κάποιοι (ποιοι; μαθητές, γονείς, φροντιστές;) ανησυχούν τι βαθμό θα πάρουν κάποιοι μαθητές. Αυτό δεν είναι όλο;
Το μήνυμα αυτό το σκοπό δεν είχε;
'Η μήπως είχε ακόμη σκοπό φωτογραφίζοντας την καθηγήτρια (ως και οι κινήσεις της σε κάποιο συνέδριο ήσαν γνωστές) και εκμαιεύοντας κάποιες γνώμες από το mathematica να ασκηθεί κάποια πίεση στην καθηγήτρια;
Και ενώ η καθηγήτρια "φωτογραφίζεται" (με την έννοια ότι οι ενδιαφερόμενοι θα καταλάβουν περί ποίας πρόκειται ο (ή μήπως η) daidalos δεν μας λέει τι ρόλο και τι εμπλοκή έχει στην όλη ιστορία. Είναι μαθητής, μαθήτρια, μητέρα, πατέρας, νονά, νονός, φροντιστής, μπατζανάκης τι επιτέλους; Τόσο πλούσιο ρεπορτάζ και ούτε ένα στοιχείο για τον (την) ρεπόρτερ;
Βέβαια ενδέχεται σκοπός της αποστολής να είναι το μαθηματικό ενδιαφέρον και μόνο. Τότε γιατί το μέλος daidalos δεν λέει την μαθηματική του γνώμη όπως έκαναν τόσοι συνάδελφοι πιο πάνω.
Τελειώνοντας. Αν το μέλος daidalos ήθελε να κάνει μαθηματική κουβέντα θα έστελνε μόνο τα θέματα και θα έμπαινε σε αυτήν. Κάτι άλλο τον ενδιαφέρει και σε αυτό δεν είναι σωστό (και εδώ συμφωνώ με τον Ανδρέα Πούλο) να χρησιμοποιείται το mathematica. Πρόκειται βέβαια για την προσωπική μου γνώμη και όχι για την γνώμη των συντονιστών. Την έχω εκθέσει και σε ανάλογες περιπτώσεις:
viewtopic.php?f=51&p=17753#p17753
viewtopic.php?f=35&p=22155#p22155
viewtopic.php?f=23&p=42797#p42797
και λυπάμαι που λόγοι ηθικοί αλλά και αισθητικοί με αναγκάζουν να την ξαναπώ.
Μαυρογιάννης

Εσεις τι θα κάνατε;

Εσεις τι θα κάνατε;

Re: Εσεις τι θα κάνατε;

Re: Εσεις τι θα κάνατε;

Re: Εσεις τι θα κάνατε;

Re: Εσεις τι θα κάνατε;

Re: Εσεις τι θα κάνατε;

Re: Εσεις τι θα κάνατε;

Re: Εσεις τι θα κάνατε;

Re: Εσεις τι θα κάνατε;

Re: Εσεις τι θα κάνατε;

Re: Εσεις τι θα κάνατε;

Re: Εσεις τι θα κάνατε;

Re: Εσεις τι θα κάνατε;

Re: Εσεις τι θα κάνατε;

Μέλη σε σύνδεση