S.E.Louridas NAI!

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλησπέρα σε όλους.
Μια άσκηση αποκλειστικά για τον Σωτήρη Λουρίδα.
Φίλε Σωτήρη,
η άσκηση είναι στηριγμένη σε μια ιδέα για μια τεχνική στα όρια που συζητάμε με το φίλο, πατριωτάκι και Πα.κάκι, Βασίλη.

Η Άσκηση
Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις $\displaystyle{f,g,h,K:R \to R}$ με $\displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1}$ και $\displaystyle{h(x) = {k^2}(x) + \left| x \right| + 1}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ .
Αν ισχύει $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2}$ να δειχθούν τα εξής:
1. $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}$
2. $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {{f^2}(x) + {k^2}(x)} \right) = 0}$
3. $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} k(x) = 0}$

[Σωτήρη σε ευχαριστώ (ευχαριστούμε) για όλα, είσαι ανεκτίμητος θησαυρός.
Θωμάς
Edit:
Με υπόδειξη του Αχιλλέα και του Κώστα Σερίφη, και τους ευχαριστώ, έγινε αλλαγή στα δεδομένα.

#2

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:...

Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις $\displaystyle{f,g,h:R \to R}$ με $\displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1}$ και $\displaystyle{h(x) = {g^2}(x) + \left| x \right| + 1}$ .
Αν ισχύει $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2}$ ,
να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}$ .

Κάτι δεν πάει καλά αφού

$h(x)-g^2(x)=|x|+1\to 1\ne 0$ καθώς $x\to 0$ ,

οπότε δεν μπορεί να ισχύει

$\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #3

achilleas έγραψε:
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:...

Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις $\displaystyle{f,g,h:R \to R}$ με $\displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1}$ και $\displaystyle{h(x) = {g^2}(x) + \left| x \right| + 1}$ .
Αν ισχύει $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2}$ ,
να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}$ .
Κάτι δεν πάει καλά αφού

$h(x)-g^2(x)=|x|+1\to 1\ne 0$ καθώς $x\to 0$ ,

οπότε δεν μπορεί να ισχύει

$\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αχιλλέα έχεις δίκιο, κράτησα την ιδέα και άλλαξα τα δεδομένα, σε ευχαριστώ.

k-ser · #4

Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις $\displaystyle{f,g,h:R \to R}$ με $\displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1}$ και $\displaystyle{h(x) ={\color{red} {g^2}(x)} + \left| x \right| + 1}$ .
Αν ισχύει $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2}$ ,
να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}$ .

Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις $\displaystyle{f,g,h,{\color{red}k}:R \to R}$ με $\displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1}$ και $\displaystyle{h(x) = {\color{red}{k^2(x)}}+ \left| x \right| + 1}$ .
Αν ισχύει $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2}$ ,
να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}$ .

Αυτό είναι μια παραλλαγή η οποία, αν δεν κάνω λάθος, "δουλεύει" .

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #5

k-ser έγραψε:
Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις $\displaystyle{f,g,h:R \to R}$ με $\displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1}$ και $\displaystyle{h(x) ={\color{red} {g^2}(x)} + \left| x \right| + 1}$ .
Αν ισχύει $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2}$ ,
να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}$ .
Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις $\displaystyle{f,g,h,{\color{red}k}:R \to R}$ με $\displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1}$ και $\displaystyle{h(x) = {\color{red}{k^2(x)}}+ \left| x \right| + 1}$ .
Αν ισχύει $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2}$ ,
να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}$ .

Αυτό είναι μια παραλλαγή η οποία, αν δεν κάνω λάθος, "δουλεύει" .

Δουλεύει και πολύ καλά και μπορούμε να βάλουμε και άλλο ερώτημα της ίδιας λογικής.

δηλαδή $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {{f^2}(x) + {k^2}(x)} \right) = 0}$ και στη συνέχεια να δείξουμε ότι
$\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} k(x) = 0}$ .
Θωμάς

S.E.Louridas · #6

Επιτρέψτε μου για την πάρτη μας (με την καλή έννοια) και τις θύμισες:
Από την υπόθεση έχουμε:

$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0:0 < \left| x \right| < \delta \Rightarrow \left| {f^2 (x) + x^4 + k^2 (x) + \left| x \right|} \right| < \varepsilon,$
οπότε προκύπτει ότι:
$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0:0 < \left| x \right| < \delta \ \Rightarrow$ $0 \leqslant f^2 (x) < \varepsilon \;\kappa \alpha \iota \;0 \leqslant k^2 (x) < \varepsilon .$

S.E.Louridas

hsiodos · #7

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Καλησπέρα σε όλους.

Η Άσκηση
Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις $\displaystyle{f,g,h,K:R \to R}$ με $\displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1}$ και $\displaystyle{h(x) = {k^2}(x) + \left| x \right| + 1}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ .
Αν ισχύει $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2}$ να δειχθούν τα εξής:
1. $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}$
2. $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {{f^2}(x) + {k^2}(x)} \right) = 0}$
3. $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} k(x) = 0}$

Βοηθητική άσκηση - Λήμμα

Αν f , g πραγματικές συναρτήσεις ,τέτοιες ώστε , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ να ισχύει $\displaystyle{ f(x) \ge 0\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,g(x) \ge 0}$ και επιπλέον $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [f(x) + g(x)] = 0\,}$ τότε $\displaystyle{ \,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 0}$

Απόδειξη

Για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ ισχύει: $\displaystyle{ 0 \le f(x) \le f(x) + g(x)\,\,\,}$ και επειδή $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [f(x) + g(x)] = 0}$ από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0}$ . Ομοίως βρίσκουμε ότι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 0}$

Λύση της άσκησης του Θωμά

α) Έχουμε: $\displaystyle{ g(x) - 1 = f^2 (x) + x^4 \, \ge 0\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,x \in R\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,h(x) - 1 = k^2 (x) + \left| {\,x\,} \right| \ge 0\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,x \in R\,\,\,}$

και $\displaystyle{ \,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [g(x) + h(x)] = 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [g(x) + h(x) - 2] = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [(g(x) - 1) + (h(x) - 1)] = 0}$

Οι συναρτήσεις $\displaystyle{ f_1 (x) = g(x) - 1\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f_2 (x) = \,h(x) - 1}$ ικανοποιούν τις υποθέσεις του παραπάνω λήμματος οπότε: $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [g(x) - 1] = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 1\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [h(x) - 1] = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} h(x) = 1\,\,}$

β) $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f^2 (x) = \,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [f_1 (x) - x^4 ] = 0\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} k^2 (x) = \,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [f_2 (x) - \left| {\,x\,} \right|] = 0\,}$

γ) Για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ ισχύει: $\displaystyle{ - \left| {\,f(x)\,} \right| \le f(x) \le \left| {\,f(x)\,} \right| \Rightarrow - \sqrt {f^2 (x)} \le f(x) \le \sqrt {f^2 (x)} }$ και τώρα από το κριτήριο παρεμβολής και το β) ερώτημα παίρνουμε ότι $\displaystyle{ \,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0\,}$ . Ομοίως βρίσκουμε ότι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} k(x) = 0}$

Γιώργος

S.E.Louridas NAI!

S.E.Louridas NAI!

Re: S.E.Louridas NAI!

Re: S.E.Louridas NAI!

Re: S.E.Louridas NAI!

Re: S.E.Louridas NAI!

Re: S.E.Louridas NAI!

Re: S.E.Louridas NAI!

Μέλη σε σύνδεση