S.E.Louridas NAI!

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

S.E.Louridas NAI!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Κυρ Οκτ 10, 2010 10:14 pm

Καλησπέρα σε όλους.
Μια άσκηση αποκλειστικά για τον Σωτήρη Λουρίδα.
Φίλε Σωτήρη,
η άσκηση είναι στηριγμένη σε μια ιδέα για μια τεχνική στα όρια που συζητάμε με το φίλο, πατριωτάκι και Πα.κάκι, Βασίλη.

Η Άσκηση
Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις \displaystyle{f,g,h,K:R \to R} με \displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1} και \displaystyle{h(x) = {k^2}(x) + \left| x \right| + 1} για κάθε \displaystyle{x \in R}.
Αν ισχύει \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2} να δειχθούν τα εξής:
1. \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}
2. \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {{f^2}(x) + {k^2}(x)} \right) = 0}
3. \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} k(x) = 0}


[Σωτήρη σε ευχαριστώ (ευχαριστούμε) για όλα, είσαι ανεκτίμητος θησαυρός.
Θωμάς
Edit:
Με υπόδειξη του Αχιλλέα και του Κώστα Σερίφη, και τους ευχαριστώ, έγινε αλλαγή στα δεδομένα.
τελευταία επεξεργασία από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς σε Κυρ Οκτ 10, 2010 11:21 pm, έχει επεξεργασθεί 6 φορές συνολικά.


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: S.E.Louridas NAI!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Οκτ 10, 2010 10:30 pm

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:...

Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις \displaystyle{f,g,h:R \to R} με \displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1} και \displaystyle{h(x) = {g^2}(x) + \left| x \right| + 1}.
Αν ισχύει \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2},
να δειχθεί ότι: \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}.
Κάτι δεν πάει καλά αφού

h(x)-g^2(x)=|x|+1\to 1\ne 0 καθώς x\to 0,

οπότε δεν μπορεί να ισχύει

\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: S.E.Louridas NAI!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Κυρ Οκτ 10, 2010 10:40 pm

achilleas έγραψε:
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:...

Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις \displaystyle{f,g,h:R \to R} με \displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1} και \displaystyle{h(x) = {g^2}(x) + \left| x \right| + 1}.
Αν ισχύει \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2},
να δειχθεί ότι: \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}.
Κάτι δεν πάει καλά αφού

h(x)-g^2(x)=|x|+1\to 1\ne 0 καθώς x\to 0,

οπότε δεν μπορεί να ισχύει

\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Αχιλλέα έχεις δίκιο, κράτησα την ιδέα και άλλαξα τα δεδομένα, σε ευχαριστώ.


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: S.E.Louridas NAI!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Κυρ Οκτ 10, 2010 10:54 pm

Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις \displaystyle{f,g,h:R \to R} με\displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1} και \displaystyle{h(x) ={\color{red} {g^2}(x)} + \left| x \right| + 1}.
Αν ισχύει \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2},
να δειχθεί ότι: \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}.
Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις \displaystyle{f,g,h,{\color{red}k}:R \to R} με\displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1} και \displaystyle{h(x) = {\color{red}{k^2(x)}}+ \left| x \right| + 1}.
Αν ισχύει \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2},
να δειχθεί ότι: \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}.

Αυτό είναι μια παραλλαγή η οποία, αν δεν κάνω λάθος, "δουλεύει" .


Κώστας Σερίφης
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: S.E.Louridas NAI!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Κυρ Οκτ 10, 2010 11:05 pm

k-ser έγραψε:
Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις \displaystyle{f,g,h:R \to R} με\displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1} και \displaystyle{h(x) ={\color{red} {g^2}(x)} + \left| x \right| + 1}.
Αν ισχύει \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2},
να δειχθεί ότι: \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}.
Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις \displaystyle{f,g,h,{\color{red}k}:R \to R} με\displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1} και \displaystyle{h(x) = {\color{red}{k^2(x)}}+ \left| x \right| + 1}.
Αν ισχύει \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2},
να δειχθεί ότι: \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}.

Αυτό είναι μια παραλλαγή η οποία, αν δεν κάνω λάθος, "δουλεύει" .
Δουλεύει και πολύ καλά και μπορούμε να βάλουμε και άλλο ερώτημα της ίδιας λογικής.

δηλαδή \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {{f^2}(x) + {k^2}(x)} \right) = 0} και στη συνέχεια να δείξουμε ότι
\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} k(x) = 0}.
Θωμάς


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: S.E.Louridas NAI!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Οκτ 10, 2010 11:53 pm

Επιτρέψτε μου για την πάρτη μας (με την καλή έννοια) και τις θύμισες:
Από την υπόθεση έχουμε:

\forall \varepsilon  > 0,\exists \delta  > 0:0 < \left| x \right| < \delta  \Rightarrow \left| {f^2 (x) + x^4  + k^2 (x) + \left| x \right|} \right| < \varepsilon,
οπότε προκύπτει ότι:
\forall \varepsilon  > 0,\exists \delta  > 0:0 < \left| x \right| < \delta  \  \Rightarrow 0 \leqslant f^2 (x) < \varepsilon \;\kappa \alpha \iota \;0 \leqslant k^2 (x) < \varepsilon .


S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: S.E.Louridas NAI!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Δευ Οκτ 11, 2010 3:56 pm

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Καλησπέρα σε όλους.

Η Άσκηση
Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις \displaystyle{f,g,h,K:R \to R} με \displaystyle{g(x) = {f^2}(x) + {x^4} + 1} και \displaystyle{h(x) = {k^2}(x) + \left| x \right| + 1} για κάθε \displaystyle{x \in R}.
Αν ισχύει \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {g(x) + h(x)} \right) = 2} να δειχθούν τα εξής:
1. \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} g(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} h(x) = 1}
2. \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} \left( {{f^2}(x) + {k^2}(x)} \right) = 0}
3. \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\ell im}\limits_{x \to 0} k(x) = 0}
Βοηθητική άσκηση - Λήμμα

Αν f , g πραγματικές συναρτήσεις ,τέτοιες ώστε , για κάθε \displaystyle{x \in R} να ισχύει \displaystyle{ 
f(x) \ge 0\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,g(x) \ge 0} και επιπλέον \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [f(x) + g(x)] = 0\,} τότε \displaystyle{ 
\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 0}

Απόδειξη

Για κάθε \displaystyle{x \in R} ισχύει: \displaystyle{ 
0 \le f(x) \le f(x) + g(x)\,\,\,} και επειδή \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [f(x) + g(x)] = 0} από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0} . Ομοίως βρίσκουμε ότι \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 0}

Λύση της άσκησης του Θωμά

α) Έχουμε: \displaystyle{ 
g(x) - 1 = f^2 (x) + x^4 \, \ge 0\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,x \in R\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,h(x) - 1 = k^2 (x) + \left| {\,x\,} \right| \ge 0\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,x \in R\,\,\,}

και \displaystyle{ 
\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [g(x) + h(x)] = 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [g(x) + h(x) - 2] = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [(g(x) - 1) + (h(x) - 1)] = 0}

Οι συναρτήσεις \displaystyle{ 
f_1 (x) = g(x) - 1\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f_2 (x) = \,h(x) - 1} ικανοποιούν τις υποθέσεις του παραπάνω λήμματος οπότε:\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [g(x) - 1] = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 1\,\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [h(x) - 1] = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} h(x) = 1\,\,}

β)\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f^2 (x) = \,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [f_1 (x) - x^4 ] = 0\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} k^2 (x) = \,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} [f_2 (x) - \left| {\,x\,} \right|] = 0\,}

γ) Για κάθε \displaystyle{x \in R} ισχύει: \displaystyle{ 
 - \left| {\,f(x)\,} \right| \le f(x) \le \left| {\,f(x)\,} \right| \Rightarrow  - \sqrt {f^2 (x)}  \le f(x) \le \sqrt {f^2 (x)} } και τώρα από το κριτήριο παρεμβολής και το β) ερώτημα παίρνουμε ότι \displaystyle{ 
\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0\,} . Ομοίως βρίσκουμε ότι \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} k(x) = 0}

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης