Έξυπνο Επικαμπύλιο.

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Έξυπνο Επικαμπύλιο.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τρί Οκτ 12, 2010 1:02 pm

Να υπολογιστεί το \displaystyle{\bf \oint_{\gamma}\pi\sinh\left(\frac{\pi z}{4}\right)\;\texttt{d}z} όπου \displaystyle{\bf \gamma:i+e^{it}} για \displaystyle{\bf -\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2}}.


What's wrong with a Greek in Hamburg?

Λέξεις Κλειδιά:

Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Έξυπνο Επικαμπύλιο.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Πέμ Οκτ 14, 2010 5:29 pm

Ισχύει \displaystyle{\sinh \left( z \right) = \frac{{{e^\big{z}} - {e^\big{{ - z}}}}}{2},{\text{  }}\cosh \left( z \right) = \frac{{{e^\big{z}} + {e^\big{{ - z}}}}}{2}}, επομένως \displaystyle{{\left( {\sinh \left( z \right)} \right)^\prime } = \cosh \left( z \right)} και \displaystyle{{\left( {\cosh \left( z \right)} \right)^\prime } = \sinh \left( z \right)}.

\displaystyle{I = \int\limits_\gamma  {\pi  \cdot \sinh \left( {\frac{{\pi  \cdot z}}{4}} \right) \cdot dz}  = \int\limits_{{z_1}}^{{z_2}} {\pi  \cdot \sinh \left( {\frac{{\pi  \cdot z}}{4}} \right) \cdot dz} }, με \displaystyle{{z_1} = i + {e^{\big{i} \cdot \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)}} = i - i = 0} και \displaystyle{{z_2} = i + {e^{\big{i} \cdot \dfrac{\pi }{2}}} = i + i = 2 \cdot i}.

Τότε \displaystyle{I = \pi  \cdot \int\limits_0^{2 \cdot i} {{{\left( {\frac{4}{\pi } \cdot \cosh \left( {\frac{{\pi  \cdot z}}{4}} \right)} \right)}^\prime } \cdot dz}  = 4 \cdot \left[ {\cosh \left( {\frac{{\pi  \cdot z}}{4}} \right)} \right]_0^{2 \cdot i} = 4 \cdot \left( {0 - 1} \right) =  - 4}

διότι \displaystyle{\cosh \left( {\frac{{\pi  \cdot \left( {2 \cdot i} \right)}}{4}} \right) = \frac{{{e^{i \cdot \dfrac{\pi }{2}}} + {e^{ - i \cdot \dfrac{\pi }{2}}}}}{2} = \frac{{i - i}}{2} = 0} και \displaystyle{\cosh \left( {\frac{{\pi  \cdot 0}}{4}} \right) = \frac{{{e^0} + {e^0}}}{2} = \frac{{1 + 1}}{2} = 1}


Σεραφείμ Τσιπέλης

Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Έξυπνο Επικαμπύλιο.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Παρ Οκτ 15, 2010 7:02 pm

Άλλος τρόπος , ολοκληρώνουμε επί της παρακάτω κλειστής καμπύλης, όπου θα έχουμε \displaystyle{\oint_{C}f(z)\;\texttt{d}t=0}. Όπου L είναι η ευθεία γραμμή από 2i έως το 0 και \gamma το ημικύκλιο.

[attachment=0]pap.png[/attachment]

\displaystyle{\oint_{C}f(z)\;\texttt{d}z=\oint_{\gamma}f(z)\;\texttt{d}z+\oint_{L}f(z)\;\texttt{d}z\Rightarrow}
\displaystyle{0=\oint_{\gamma}f(z)\;\texttt{d}z+\int_{2}^{0}\pi i\sinh\left(\frac{\pi it}{4}\right) \texttt{d}t\Rightarrow}
\displaystyle{\oint_{\gamma}f(z)\;\texttt{d}z=\int_{0}^{2}\pi\cdot i \sinh\left(\frac{\pi it}{4}\right)\;\texttt{d}t=-4}.
Συνημμένα
pap.png
pap.png (6.63 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές


What's wrong with a Greek in Hamburg?

Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης