Έξυπνο Επικαμπύλιο.

Ωmega Man · #1

Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\bf \oint_{\gamma}\pi\sinh\left(\frac{\pi z}{4}\right)\;\texttt{d}z}$ όπου $\displaystyle{\bf \gamma:i+e^{it}}$ για $\displaystyle{\bf -\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2}}$ .

#2

Ισχύει $\displaystyle{\sinh \left( z \right) = \frac{{{e^\big{z}} - {e^\big{{ - z}}}}}{2},{\text{ }}\cosh \left( z \right) = \frac{{{e^\big{z}} + {e^\big{{ - z}}}}}{2}}$ , επομένως $\displaystyle{{\left( {\sinh \left( z \right)} \right)^\prime } = \cosh \left( z \right)}$ και $\displaystyle{{\left( {\cosh \left( z \right)} \right)^\prime } = \sinh \left( z \right)}$ .

$\displaystyle{I = \int\limits_\gamma {\pi \cdot \sinh \left( {\frac{{\pi \cdot z}}{4}} \right) \cdot dz} = \int\limits_{{z_1}}^{{z_2}} {\pi \cdot \sinh \left( {\frac{{\pi \cdot z}}{4}} \right) \cdot dz} }$ , με $\displaystyle{{z_1} = i + {e^{\big{i} \cdot \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)}} = i - i = 0}$ και $\displaystyle{{z_2} = i + {e^{\big{i} \cdot \dfrac{\pi }{2}}} = i + i = 2 \cdot i}$ .

Τότε $\displaystyle{I = \pi \cdot \int\limits_0^{2 \cdot i} {{{\left( {\frac{4}{\pi } \cdot \cosh \left( {\frac{{\pi \cdot z}}{4}} \right)} \right)}^\prime } \cdot dz} = 4 \cdot \left[ {\cosh \left( {\frac{{\pi \cdot z}}{4}} \right)} \right]_0^{2 \cdot i} = 4 \cdot \left( {0 - 1} \right) = - 4}$

διότι $\displaystyle{\cosh \left( {\frac{{\pi \cdot \left( {2 \cdot i} \right)}}{4}} \right) = \frac{{{e^{i \cdot \dfrac{\pi }{2}}} + {e^{ - i \cdot \dfrac{\pi }{2}}}}}{2} = \frac{{i - i}}{2} = 0}$ και $\displaystyle{\cosh \left( {\frac{{\pi \cdot 0}}{4}} \right) = \frac{{{e^0} + {e^0}}}{2} = \frac{{1 + 1}}{2} = 1}$

Ωmega Man · #3

Άλλος τρόπος , ολοκληρώνουμε επί της παρακάτω κλειστής καμπύλης, όπου θα έχουμε $\displaystyle{\oint_{C}f(z)\;\texttt{d}t=0}$ . Όπου είναι η ευθεία γραμμή από έως το και $\gamma$ το ημικύκλιο.

[attachment=0]pap.png[/attachment]

$\displaystyle{\oint_{C}f(z)\;\texttt{d}z=\oint_{\gamma}f(z)\;\texttt{d}z+\oint_{L}f(z)\;\texttt{d}z\Rightarrow}$
$\displaystyle{0=\oint_{\gamma}f(z)\;\texttt{d}z+\int_{2}^{0}\pi i\sinh\left(\frac{\pi it}{4}\right) \texttt{d}t\Rightarrow}$
$\displaystyle{\oint_{\gamma}f(z)\;\texttt{d}z=\int_{0}^{2}\pi\cdot i \sinh\left(\frac{\pi it}{4}\right)\;\texttt{d}t=-4}$ .

mathematica.gr

Έξυπνο Επικαμπύλιο.

Έξυπνο Επικαμπύλιο.

Re: Έξυπνο Επικαμπύλιο.

Re: Έξυπνο Επικαμπύλιο.

Μέλη σε σύνδεση