Ο ζυγος...

[Δημήτρης Μυρογιάννης]

ζυγος.PNG (116.84 KiB) Προβλήθηκε 2898 φορές

[cretanman]

Παίρνουμε 8 οποιαδήποτε κέρματα, τα χωρίζουμε σε δύο ομάδες των τεσσάρων και τα ζυγίζουμε. Αν ο ζυγός ισορροπήσει τότε εκείνο που περισσεύει είναι το κάλπικο και τελειώσαμε.

Αν δεν ισορροπήσει τότε σίγουρα το ένα που έμεινε είναι κανονικό κέρμα και ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Με το ζυγό όπως είναι (στην πρώτη ζύγιση) βγάζουμε ένα κέρμα από κάθε μεριά του ζυγού.

Α) Αν η ζυγαριά ισορροπήσει τότε το κάλπικο είναι κάποιο από τα δύο που μόλις βγάλαμε οπότε για να το ανακαλύψουμε η διαδικασία είναι απλή. Απλά συγκρίνουμε το ένα από τα δύο με το κανονικό κέρμα. Αν η ζυγαριά ισορροπήσει τότε το κάλπικο είναι το δεύτερο. Διαφορετικά, αν δεν ισορροπήσει τότε είναι το πρώτο.

Β) Αν η ζυγαριά δεν ισορροπήσει τότε το κάλπικο είναι ακόμη πάνω στο ζυγό

Ξαναβγάζουμε ένα κέρμα από τη κάθε μεριά του ζυγού και επαναλαμβάνουμε τα Α και Β μέχρι να βρεθεί το κάλπικο.

Άρα χρειαζόμαστε τελικά μόνο δύο ζυγίσεις για να ανακαλύψουμε το κάλπικο και είναι φανερό ότι με μία ζύγιση δε μπορούμε να το ανακαλύψουμε. Άρα ο ελάχιστος αριθμός ζυγίσεων είναι 2.

(Φαντάζομαι δε θεωρείται διαφορετική ζύγιση το να αφήσουμε τα κέρματα από την πρώτη ζύγιση πάνω στο ζυγό και να αφαιρούμε νομίσματα έτσι;)

Αλέξανδρος

[Δημήτρης Μυρογιάννης]

Παίρνουμε 8 οποιαδήποτε κέρματα, τα χωρίζουμε σε δύο ομάδες των τεσσάρων και τα ζυγίζουμε. Αν ο ζυγός ισορροπήσει τότε εκείνο που περισσεύει είναι το κάλπικο και τελειώσαμε.

Αν δεν ισορροπήσει τότε σίγουρα το ένα που έμεινε είναι κανονικό κέρμα και ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Με το ζυγό όπως είναι (στην πρώτη ζύγιση) βγάζουμε ένα κέρμα από κάθε μεριά του ζυγού.

Α) Αν η ζυγαριά ισορροπήσει τότε το κάλπικο είναι κάποιο από τα δύο που μόλις βγάλαμε οπότε για να το ανακαλύψουμε η διαδικασία είναι απλή. Απλά συγκρίνουμε το ένα από τα δύο με το κανονικό κέρμα. Αν η ζυγαριά ισορροπήσει τότε το κάλπικο είναι το δεύτερο. Διαφορετικά, αν δεν ισορροπήσει τότε είναι το πρώτο.

Β) Αν η ζυγαριά δεν ισορροπήσει τότε το κάλπικο είναι ακόμη πάνω στο ζυγό

Ξαναβγάζουμε ένα κέρμα από τη κάθε μεριά του ζυγού και επαναλαμβάνουμε τα Α και Β μέχρι να βρεθεί το κάλπικο.

Άρα χρειαζόμαστε τελικά μόνο δύο ζυγίσεις για να ανακαλύψουμε το κάλπικο και είναι φανερό ότι με μία ζύγιση δε μπορούμε να το ανακαλύψουμε. Άρα ο ελάχιστος αριθμός ζυγίσεων είναι 2.

(Φαντάζομαι δε θεωρείται διαφορετική ζύγιση το να αφήσουμε τα κέρματα από την πρώτη ζύγιση πάνω στο ζυγό και να αφαιρούμε νομίσματα έτσι;)

Αλέξανδρος

Αλεξανδρε καλησπερα.
Θεωρω ότι οι ζυγισεις είναι πολλες ….
Επισης ακομα και στον γρηγορο εντοπισμο του καλπικου με τις δυο ζυγισεις υπαρχει περιπτωση να μη καταλαβεις αν το καλπκο είναι ελαφρυτερο ή βαρυτερο.Βεβαια θα μου πεις ότι δε το ζητησα….
Παντως ο ελαχιστος αριθμος των ζυγισεων είναι 3…με αυτονομες ξεχωριστες ζυγισεις.

[Γιώργος Ρίζος]

1η Περίπτωση

1η ΖΥΓΙΣΗ
Στη μια θήκη της ζυγαριάς βάζουμε τρεις λίρες και στην άλλη άλλες τρεις.
Αν ισορροπούν, η κάλπικη βρίσκεται στις άλλες τρεις. Αφήνουμε στην άκρη τις έξι λίρες.

2η ΖΥΓΙΣΗ
Στη μια θήκη της ζυγαριάς βάζουμε μία λίρα και στην άλλη άλλη μία.
Αν ισορροπούν, κάλπικη είναι η λίρα που περισσεύει, δοξάζουμε την τύχη μας και παίζουμε κι ένα τζόκερ...

3η ΖΥΓΙΣΗ
Αν (Α) > (Β): (Α βαρύτερη της Β), αντικαθιστούμε τη Β με την τρίτη λίρα (Γ).
Τότε:
Αν (Α) > (Γ), κάλπικη είναι η (Α) (βαρύτερη των άλλων).
Αν (Α) = (Γ), κάλπικη ήταν η (Β) (ελαφρότερη των άλλων).
Δεν είναι δυνατόν να είναι (Α) < (Γ), γιατί τότε θα ήταν (Γ) > (Α) > (Β), αδύνατο, αφού μόνο μία είναι διαφορετική.

2η Περίπτωση
1η ΖΥΓΙΣΗ
Στη μια θήκη της ζυγαριάς βάζουμε 3 λίρες και στην άλλη άλλες τρεις.
Έστω ότι δεν ισορροπούν. Ονομάζουμε (Α) τη βαρύτερη θήκη και (Β) την ελαφρότερη. Βγάζουμε ένα νόμισμα από κάθε θήκη. (2η ζύγιση).

Αν τώρα ισορροπήσουν, κάλπικο είναι ένα από τα δύο που βγάλαμε.
Ξαναβάζουμε το νόμισμα στη θήκη (Α) και ένα άλλο στη θήκη (Β). 3η ζύγιση).
Αν ισορροπήσουν, κάλπικο ήταν το νόμισμα από τη θήκη (Β) (ελαφρύτερο).
Αν (Α) > (Β), κάλπικο ήταν το νόμισμα από τη θήκη (Α) (βαρύτερο).

Αν εξακολουθεί να είναι (Α) > (Β), κάλπικο είναι ένα από τα τέσσερα που απέμειναν.
Βγάζουμε ένα νόμισμα από κάθε θήκη, επαναλαμβάνοντας το προηγούμενο βήμα, το πολύ δύο φορές. Συνολικά με 4 το πολύ ζυγίσεις, εντοπίζουμε το κάλπικο και μάλιστα το είδος (βαρύτερο ή ελαφρότερο).

Γιώργος Ρίζος

[fmak65]

βαζουμε κλασικα 3 & 3 νομισματα. αν ισορροπουν τοτε το καλπικο ειναι στα αλλα τρια. βαζουμε τα αλλα απο ενα , αν ισοροπουν ειναι καλπικο το αλλο και με μια ζυγιση 1-1 βρισκουμε αν ειναι πιο ελαφρυ η βαρυ. αν δεν ισορροπουν τοτε ζυγιζουμε ενα απο αυτα που βαλαμε πχ. το βαρυτερο με το τριτο , και αν ισοροπουν τοτε αυτο που αφησαμε εκτος το ελαφρυτερο ειναι το καλπικο , αλλιως το βαρυτερο που πηραμε ειναι το καλπικο.
Αν δεν ισορροπουν τα πρωτα τοτε βαζουμε τα τρια βαρυτερα με τα τρια που δεν ζυγιστικαν και βρησκουμε ομοια με παραπανω αν το καλπικο ειναι ελαφρυτερο η βαρυτερο και σε ποια τριαδα ειναι. οποτε με μια ζυγιση το βρισκουμε.
Συνολο σε καθε περιπτωση τρεις ζυγισεις

[Demetres]

Γιατί 9 νομίσματα; Να δείξετε ότι με τρεις ζυγίσεις μπορούμε να βρούμε το κάλπικο ανάμεσα σε 13 νομίσματα. (Ίσως και να το έχουμε ξαναδεί. Δεν θυμάμαι.)

[rek2]

Γιατί 9 νομίσματα; Να δείξετε ότι με τρεις ζυγίσεις μπορούμε να βρούμε το κάλπικο ανάμεσα σε 13 νομίσματα. (Ίσως και να το έχουμε ξαναδεί. Δεν θυμάμαι.)

Δημήτρη, εννοείς, απλά, να βρούμε το κάλπικο ή να βρούμε το κάλπικο και αν είναι βαρύτερο ή ελαφρότερο από το γνήσιο;

[Δημήτρης Μυρογιάννης]

Μια αναλυτικη απαντηση:

ζυγος.PNG (69.67 KiB) Προβλήθηκε 2681 φορές

[Demetres]

Γιατί 9 νομίσματα; Να δείξετε ότι με τρεις ζυγίσεις μπορούμε να βρούμε το κάλπικο ανάμεσα σε 13 νομίσματα. (Ίσως και να το έχουμε ξαναδεί. Δεν θυμάμαι.)

Δημήτρη, εννοείς, απλά, να βρούμε το κάλπικο ή να βρούμε το κάλπικο και αν είναι βαρύτερο ή ελαφρότερο από το γνήσιο;

Ναι, ζητάω μόνο να βρεθεί το κάλπικο. Δεν ψάχνω να δω αν είναι ελαφρύτερο ή βαρύτερο από τα γνήσια.

[Demetres]

Να προσθέσω και μερικά επιπλέον ερωτήματα

(α) Με 12 νομίσματα 3 ζυγίζεις: Να βρεθεί το κάλπικο και να βρεθεί αν είναι ελαφρύτερο ή βαρύτερο
(β) Με 13 νομίσματα 3 ζυγίσεις: Να βρεθεί το κάλπικο.
(γ) Με 6 νομίσματα: Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει σίγουρη μέθοδος για να βρούμε το κάλπικο με 2 ζυγίσεις
(δ) Με 14 νομίσματα: Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει σίγουρη μέθοδος για να βρούμε το κάλπικο με 3 ζυγίσεις
(ε) Με 13 νομίσματα: Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει σίγουρη μέθοδος για να βρούμε το κάλπικο και επίσης να γνωρίζουμε αν είναι ελαφρύτερο/βαρύτερο με 3 ζυγίσεις.

Εννοείται ότι τα κόλπα του Αλέξανδρου, όπως να αφαιρούμε νομίσματα από τους ζυγούς απαγορεύονται. (Θεωρούνται διαφορετικές ζυγίσεις.)

Με κάποιες μικροεπιφυλάξεις ως προς την ορθότητα των ερωτημάτων.

[Δημήτρης Μυρογιάννης]

O Δημητρης ειπε:
-Γιατί 9 νομίσματα; Να δείξετε ότι με τρεις ζυγίσεις μπορούμε να βρούμε το κάλπικο ανάμεσα σε 13 νομίσματα.

-Με 13 νομίσματα: Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει σίγουρη μέθοδος για να βρούμε το κάλπικο και επίσης να γνωρίζουμε αν είναι ελαφρύτερο/βαρύτερο με 3 ζυγίσεις.

Να μας δωσει παρακαλω τη λυση.

[lonis]

Δείτε κι εδώ.

Λεωνίδας

[Demetres]

Λοιπόν, λύσεις για τα (α) και (β) υπάρχουν στον σύνδεσμο που έβαλε ο Λεωνίδας.

Παρεμπιπτόντως είχα ψάξει να βρω την συζήτηση και δεν την βρήκα. Είχα βάλει στην αναζήτηση
Αναζήτηση λέξεων κλειδιών: 13
Αναζήτηση αποστολέα: Demetres
και ενώ έβγαλε άλλες συζητήσεις αυτήν δεν την έβγαλε αν και θα έπρεπε. Μπορεί να ερευνήσει κάποιος γιατί δεν μου την βρήκε;

Θα βάλω μια λύση για το (ε). Οι λύσεις για τα (γ),(δ) είναι παρόμοιες. Ας υποθέσουμε πως κάποιος από εσάς έχει ένα αλγόριθμο. Ας υποθέσουμε πως στην ζύγιση Α βάζετε από ν νομίσματα σε κάθε ζυγό με . Ας υποθέσουμε επιπλέον ότι έχουν το ίδιο βάρος. Μένουν λοιπόν 5 νομίσματα και μεταξύ αυτών υπάρχουν 10 δυνατές απαντήσεις. (1ο νόμισμα βαρύ,1ο νόμισμα ελαφρύ, ...) Έστω ότι κάνετε την ζύγιση Β παίρνετε μια απάντηση και μετά κάνετε την ζύγιση Γ. Με βάση τα αποτελέσματα θα πρέπει να δώσετε την σωστή απάντηση. Επίσης, όποτε παίρνετε τα ίδια αποτελέσματα πρέπει να δίνετε την ίδια απάντηση. Υπάρχουν όμως μόνο 9 πιθανά αποτελέσματα. 3 στην ζύγιση Β και 3 στην ζύγιση Γ (πολλαπλασιάζουμε). Άρα ο αλγόριθμός σας δεν μπορεί να σας δώσει και τις δέκα πιθανές απαντήσεις. Π.χ. ποτέ δεν θα σας πει ότι το 3ο νόμισμα είναι ελαφρύ. Αν όμως είναι τότε έχετε χάσει. Αν λοιπόν ο αλγόριθμος είναι σωστός, τότε στην πρώτη ζύγιση θα έχουμε . Ας υποθέσουμε πως η απάντηση είναι ότι ο αριστερός ζυγός είναι ελαφρύς. Αλλά τότε πάλι υπάρχουν πιθανές απαντήσεις για το πιο νόμισμα είναι κάλπικο. Με την ίδια δικαιολόγηση ο αλγόριθμός σας δεν μπορεί να δουλεύει.