Όριο αθροίσματος (4)

#1

Ας βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\ln(\ln n)}\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k\ln k}}$ .

#2

Έστω $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{1}{{x \cdot \ln \left( x \right)}}}$ , η οποία (εύκολα αποδεικνύεται) είναι φθίνουσα και κυρτή στο διάστημα $\displaystyle{\left( {1, + \infty } \right)}$ , με $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = 0}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 + } f\left( x \right) = + \infty }$ .

Έστω $\displaystyle{{S_n} = \frac{1}{{2 \cdot \ln \left( 2 \right)}} + \frac{1}{{3 \cdot \ln \left( 3 \right)}} + {\text{ }}..{\text{ }} + \frac{1}{{\left( n \right) \cdot \ln \left( n \right)}} = \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{k \cdot \ln \left( k \right)}}} }$

: Όριο αθροίσματος (4).jpg (14.52 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

Από το σχήμα προκύπτει ότι $\displaystyle{\int\limits_2^n {\frac{1}{{x \cdot \ln \left( x \right)}} \cdot dx} \leqslant \frac{1}{{2 \cdot \ln \left( 2 \right)}} + \frac{1}{{3 \cdot \ln \left( 3 \right)}} + {\text{ }}..{\text{ }} + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right) \cdot \ln \left( {n - 1} \right)}} \Rightarrow \int\limits_2^n {\frac{1}{{x \cdot \ln \left( x \right)}} \cdot dx} \leqslant {S_n} - \frac{1}{{n \cdot \ln \left( n \right)}}}$ καθώς και ότι $\displaystyle{\frac{1}{{3 \cdot \ln \left( 3 \right)}} + \frac{1}{{4 \cdot \ln \left( 4 \right)}} + {\text{ }}..{\text{ }} + \frac{1}{{\left( n \right) \cdot \ln \left( n \right)}} \leqslant \int\limits_2^n {\frac{1}{{x \cdot \ln \left( x \right)}} \cdot dx} \Rightarrow {S_n} - \frac{1}{{2 \cdot \ln \left( 2 \right)}} \leqslant \int\limits_2^n {\frac{1}{{x \cdot \ln \left( x \right)}} \cdot dx} }$

Άρα $\displaystyle{\int\limits_2^n {\frac{1}{{x \cdot \ln \left( x \right)}} \cdot dx} + \frac{1}{{n \cdot \ln \left( n \right)}} \leqslant {S_n} \leqslant \int\limits_2^n {\frac{1}{{x \cdot \ln \left( x \right)}} \cdot dx} + \frac{1}{{2 \cdot \ln \left( 2 \right)}}}$

Επίσης $\displaystyle{\int\limits_2^n {\frac{1}{{x \cdot \ln \left( x \right)}} \cdot dx} = \int\limits_2^n {{{\left( {\ln \left( {\ln \left( x \right)} \right)} \right)}^\prime } \cdot dx} = \ln \left( {\ln \left( n \right)} \right) - \ln \left( {\ln \left( 2 \right)} \right)}$

Τότε $\displaystyle{\ln \left( {\ln \left( n \right)} \right) - \ln \left( {\ln \left( 2 \right)} \right) + \frac{1}{{n \cdot \ln \left( n \right)}} \leqslant {S_n} \leqslant \ln \left( {\ln \left( n \right)} \right) - \ln \left( {\ln \left( 2 \right)} \right) + \frac{1}{{2 \cdot \ln \left( 2 \right)}} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow 1 - \frac{{\ln \left( {\ln \left( 2 \right)} \right)}}{{\ln \left( {\ln \left( n \right)} \right)}} + \frac{1}{{n \cdot \ln \left( n \right) \cdot \ln \left( {\ln \left( n \right)} \right)}} \leqslant \frac{1}{{\ln \left( {\ln \left( n \right)} \right)}} \cdot \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{k \cdot \ln \left( k \right)}}} \leqslant 1 - \frac{{\ln \left( {\ln \left( 2 \right)} \right)}}{{\ln \left( {\ln \left( n \right)} \right)}} + \frac{1}{{2 \cdot \ln \left( 2 \right) \cdot \ln \left( {\ln \left( n \right)} \right)}}}$

που φανερά δίνει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{{\ln \left( {\ln \left( n \right)} \right)}} \cdot \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{k \cdot \ln \left( k \right)}}} } \right) = 1}$ .

Αναστάση είχες δίκιο

Όριο αθροίσματος (4)

Όριο αθροίσματος (4)

Re: Όριο αθροίσματος (4)

Μέλη σε σύνδεση