Aπειροστικος Λογισμος

369 · #1

1.Στο μάθημα του Απειροστικού Λογισμού Ι τέθηκε το ερώτημα στους φοιτητές: «αν δύο συναρτήσεις f και g ορισμένες στο [-1,1] ταυτίζονται σε όλο το πεδίο ορισμού τους εκτός από πεπερασμένο πλήθος σημείων, και lim x->0 της g ισουται με 1 τι συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε για το όριο της f στο 0 ; Απαντήστε στο ίδιο ερώτημα αν διαφέρουν σε αριθμήσιμο πλήθος σημείων.»
Παρακάτω δίνονται οι απαντήσεις 3 φοιτητών :
Φ1 : «Εφόσον οι συναρτήσεις πιθανώς να μην ταυτίζονται σε κάποια σημεία κοντά στο 0 έπεται ότι τα όρια δεν είναι κατά ανάγκη ίσα. Για τον ίδιο λόγο ούτε στην άλλη περίπτωση μπορούμε να έχουμε συμπέρασμα για την ισότητα ή μη των δυο ορίων».
Φ2 : «Στο όριο x->0 της f το x μπορεί να διατρέξει κάποια από τα σημεία στα οποία οι δυο συναρτήσεις δεν ταυτίζονται (είτε αυτά είναι πεπερασμένα στο πλήθος είτε αριθμήσιμα), π.χ αν f(x)=2 σε κάθε x που οι f,g διαφέρουν είναι προφανές ότι για κάθε τέτοιο x έχουμε :
|f(x)-1| ≥ 2-1=1, άρα δεν μπορεί να ισχυριστούμε ότι το οριο της f καθως το x τεινει στο 0 ισουτε με 1 (εφόσον καθώς το x τείνει στο 0 κάποια στιγμή η f θα πάρει και τις τιμές για τις οποίες f διαφορετικη της g )».
Φ3 : «εφόσον ΄το όριο είναι τοπική έννοια οι συναρτήσεις ακόμα και αν διαφέρουν σε αριθμήσιμο πλήθος σημείων τα όρια τους τελικά θα ταυτίζονται οπότε και στις δυο περιπτώσεις (πεπερασμένη ή άπειρη αριθμήσιμη) συμπεραίνουμε ότι τα ορια των δυο συναρτησεων καθως το x τεινει στο 0 ειναι ισα »

α) Βαθμολογήστε τις απαντήσεις των τριών φοιτητών
β) Σχολιάστε αναλυτικά την απάντηση κάθε φοιτητή κάνοντας τις απαραίτητες διορθώσεις. Τι νομίζετε ότι έχει παρανοήσει όποιος φοιτητής έδωσε λανθασμένη απάντηση και σε τι πιστεύετε ότι οφείλεται η παρανόηση του αυτή;

θα ηθελα να ακουσω καμια ιδεα.

#2

Χμμμ...

Διδακτικό επεισόδιο!

Τι μου θυμίζει, τι μου θυμίζει...

Α, αυτά τα θεματάκια που μπαίνουν στο ΑΣΕΠ.

Πανεπιστήμιο Αθηνών είπες;

Ίσως βρήκαμε το θεματοδότη του διαγωνισμού...

Δές και αυτό ---->Hardy

Tαιριάζει ταμάμ!

Καλά να είσαι, μάλλον μου άνοιξες τα μάτια. Ελπίζω και σε όλους τους αυριανούς υποψήφιους του διαγωνισμού.

Και φυσικά εννοώ το που να εστιάσουν.

369 · #3

chris_gatos έγραψε:Χμμμ...

Διδακτικό επεισόδιο!

Τι μου θυμίζει, τι μου θυμίζει...

Α, αυτά τα θεματάκια που μπαίνουν στο ΑΣΕΠ.

Πανεπιστήμιο Αθηνών είπες;

Ίσως βρήκαμε το θεματοδότη του διαγωνισμού...

Δές και αυτό ---->Hardy

Tαιριάζει ταμάμ!

Καλά να είσαι, μάλλον μου άνοιξες τα μάτια. Ελπίζω και σε όλους τους αυριανούς υποψήφιους του διαγωνισμού.

Και φυσικά εννοώ το που να εστιάσουν.

το διαστημα [-1,1] κατι πρεπει να μας δινει νομιζω για τις f,g.

#4

Και οι τρεις φοιτητές απάντησαν λάθος (σε κάποιο βαθμό).

Περίπτωση πεπερασμένου πλήθους σημείων ασυμφωνίας των $\displaystyle{f\left( x \right){\text{ }}\& {\text{ }}g\left( x \right)}$ .

Έστω τα σημεία (σε διάταξη) $\displaystyle{{x_1} < {x_2} < .. < {x_k} = 0 < {x_{k + 1}} < .. < {x_n}}$ (κάποιο ταυτίζεται με το μηδέν), ή $\displaystyle{{x_1} < {x_2} < .. < {x_k} < 0 < {x_{k + 1}} < .. < {x_n}}$

(κανένα δεν ταυτίζεται με το μηδέν). Και στις δύο περιπτώσεις υπάρχει σύνολο $\displaystyle{\Delta }$ της μορφής $\displaystyle{\left( { - \varepsilon ,\varepsilon } \right) - \left\{ 0 \right\}}$ , ώστε στο $\displaystyle{\Delta }$ να ισχύει $\displaystyle{f = g}$ , οπότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)}$ .

Δεν μας ενδιαφέρει η τιμή της $\displaystyle{f\left( x \right)}$ στο μηδέν.

Περίπτωση άπειρου πλήθους ασυμφωνίας των $\displaystyle{f\left( x \right){\text{ }}\& {\text{ }}g\left( x \right)}$ (αριθμήσιμου ή υπεραριθμήσιμου).

Έστω $\displaystyle{A = \left\{ {{a_i}/i \in I} \right\}}$ με

κάποιο σύνολο δεικτών είναι το σύνολο των σημείων ασυμφωνίας.

1) Αν το μηδέν ΔΕΝ είναι σημείο συσσώρευσης του Α, όπως πριν $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)}$ .

2) Αν το μηδέν είναι σημείο συσσώρευσης, και για κάθε υπακολουθία $\displaystyle{{\left\{ {{a_{{n_k}}}} \right\}_{k = 1,2,3...}} \subseteq A}$ με $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left( {{a_{{n_k}}}} \right) = 0}$ ισχύει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } f\left( {{a_{{n_k}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)}$ τότε έχουμε ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)}$ . Παράδειγμα $\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( x \right),x \notin Q} \\ {g\left( 0 \right) + x,x \in Q} \\ \end{array} } \right\}}$ , $\displaystyle{A = {Q^*}}$ (απειροσύνολο) αλλά $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)}$ .

3) Αν το μηδέν είναι σημείο συσσώρευσης, και υπάρχει υπακολουθία $\displaystyle{{\left\{ {{a_{{n_k}}}} \right\}_{k = 1,2,3...}} \subseteq A}$ με $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left( {{a_{{n_k}}}} \right) = 0}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } f\left( {{a_{{n_k}}}} \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)}$ τότε δεν υπάρχει το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)}$ . Παράδειγμα $\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( x \right),x \notin Q} \\ {g\left( 0 \right) + 1 + x,x \in Q} \\ \end{array} } \right\}}$ , $\displaystyle{A = {Q^*}}$ (απειροσύνολο) αλλά το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)}$ .δεν υπάρχει.

4) Αν το σύνολο $\displaystyle{A}$ είναι διάστημα «γύρω» από το μηδέν, τότε είναι δυνατόν να έχουμε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } f\left( {{a_{{n_k}}}} \right) = \lambda \ne \mu = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)}$

5) κ.λ.π.

Γίνεται φανερό ότι στην περίπτωση αριθμήσιμου συνόλου (απειροσύνολου), σημείων ασυμφωνίας, δεν μπορούμε να γνωρίζουμε τίποτα για το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)}$ .

369 · #5

αλλη μια

2. Ένας καθηγητής (Κ.) έθεσε το παρακάτω πρόβλημα στους μαθητές του :

Αν f συνεχής με πεδίο ορισμού το [α,β] και f(α) > 0, f(β) < 0, τότε τι συμπέρασμα βγάζετε σχετικά με τις ρίζες της συνάρτησης : έχει ρίζες και αν πόσες ρίζες μπορεί να έχει ;

Μετά ακολούθησε η παρακάτω συζήτηση:
Μ (μαθητής) : Από το θεώρημα Bolzano έχουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον μια ρίζα της συνάρτησης στο ανοικτό (α,β).
Κ. : Μπορεί η συνάρτηση να τέμνει τον άξονα παραπάνω από μια φορά ;
Μ. : Ναι, μπορεί να τον τέμνει 3 ή 5 ή 7 ... φορές οπότε έχει τρεις ρίζες ή πέντε ρίζες κλπ
Κ. : Δηλαδή μόνο περιττό πλήθος ριζών ;
Μ. : Ναι
Κ. : Γιατί ;
Μ. :Γιατί αν είχε ας πούμε δυο ρίζες τότε θα έπρεπε να τέμνει τον άξονα χ´χ δυο φορές αλλά αυτό δεν γίνεται λόγω της υπόθεσης
Κ. : Γιατί ;
Μ. :Επειδή, αφού λόγω υπόθεσης η συνάρτηση είναι πάνω από τον άξονα των χ στο x=α και αντίστοιχα από κάτω στο x=β, προκύπτει ότι αν τον έτεμνε δυο φορές θα έπρεπε αρχικά να κατέβει από το α για την πρώτη ρίζα, να περάσει στις αρνητικές τιμές των y, μετά να ανέβει για να τμήσει τον άξονα στην δεύτερη ρίζα οπότε θα περάσει στα θετικά y οπότε για να γυρίσει στο αρνητικό f(β) θα έπρεπε να ξανακατέβει άλλη μια φορά και αυτό θα έκανε την συνάρτηση να τμήσει τον άξονα για τρίτη φορά.

α) Ποιοι είναι οι διδακτικοί στόχοι που θέλει να εκπληρώσει ο καθηγητής με το παραπάνω πρόβλημα ; Ποια διδακτική μέθοδο πιστεύετε ότι είναι αυτή που εφαρμόζει ο καθηγητής και πόσο αποτελεσματική την θεωρείτε; Δικαιολογήστε την άποψη σας.
β) Θα συνεχίζατε το διάλογο από το παραπάνω σημείο ; Αν με ποιο τρόπο , αν όχι δικαιολογήστε την απάντησης σας
γ) Πόσο σημαντικό ρόλο θεωρείτε ότι παίζει η επιλογή και χρήση κατάλληλων λέξεων σε ένα μάθημα μαθηματικών;
δ) Θεωρείτε το διάλογο στην τάξη ως μέσο κατασκευής της γνώσης. Δικαιολογήστε την άποψη σας.

και αλλη μια

4. Στο μάθημα της συνέχειας ο καθηγητής έδωσε στους μαθητές να
διαπραγματευτούν το παρακάτω ανοικτό πρόβλημα :
«Αν f, g πραγματικές συναρτήσεις στο R, των οποίων τα τετράγωνα είναι ίσα (δηλαδή ισχύει f^2(x) = g^2(x) για κάθε x στο R), να βρεθεί η σχέση μεταξύ των συναρτήσεων f και g. Απαντήστε στο ίδιο ερώτημα αν οι συναρτήσεις είναι συνεχείς.»
Ένας μαθητής απάντησε ως εξής :
«Εφόσον f^2(x) = g^2(x) για κάθε x στο R για δυο τυχαίες συναρτήσεις f, g (όχι κατ’ανάγκη συνεχείς) προκύπτει, ότι f(x) = g(x) ή f(x) = - g(x) για κάθε x στο R. Αν επιπλέον είναι συνεχείς συναρτήσεις τότε η f είναι ίση με την g ή με την – g γιατί λόγω συνέχειας δεν μπορούμε να έχουμε για ορισμένα x : f(x) = g(x) και σε άλλα f(x) = - g(x).»
Μετά ακολούθησε συζήτηση πάνω στις απαντήσεις των μαθητών.

α) Βαθμολογήστε την απάντηση του μαθητή και σχολιάστε την.
β) Τι διδακτικούς στόχους θεωρείτε ότι είχε ο Κ. θέτοντας το πρόβλημα στους
μαθητές του; Πιστεύετε ότι με την μέθοδο που ακολούθησε θα τους πετύχει ;
γ) Πόσο αποτελεσματική θεωρείτε τη χρήση ανοικτών προβλημάτων στη διδασκαλία;
Ποια πιστεύετε ότι είναι τα σημαντικότερα πλεονεκτήματα και ποια τα
μειονεκτήματα της;

Aπειροστικος Λογισμος

Aπειροστικος Λογισμος

Re: Aπειροστικος Λογισμος

Re: Aπειροστικος Λογισμος

Re: Aπειροστικος Λογισμος

Re: Aπειροστικος Λογισμος

Μέλη σε σύνδεση