Γ.Τ

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλημέρα σε όλους

Μια άσκηση για το καλωσόρισμα στο μέλος μας Κώστα Δόρτσιο.

Θεωρούμε την εξίσωση:
$\displaystyle{{z^\nu } + {a_{\nu - 1}}{z^{\nu - 1}} + {a_{\nu - 2}}{z^{\nu - 2}} + ... + {a_1}z + {a_0} = 0}$ , $\displaystyle{z \in C}$ , όπου
για τους συντελεστές $\displaystyle{{a_i} \in C,}$ $\displaystyle{i = 0,1,2,...,\nu - 1}$ ισχύει:
$\displaystyle{\left| {{a_i}} \right| \le 1}$ για κάθε $\displaystyle{i = 0,1,2,...,\nu - 1}$ .
Να προσδιορισθεί το χωρίο του μιγαδικού επιπέδου, στο οποίο ανήκουν οι ρίζες της εξίσωσης.

Κώστα καλώς μας ήρθες
Θωμάς

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

με άλλο τρόπο πετυχαίνουμε καλύτερο φράγμα όπως μου το έστειλε ο Θωμάς σε ΠΜ

Α.Κυριακόπουλος · #3

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Καλημέρα σε όλους

Μια άσκηση για το καλωσόρισμα στο μέλος μας Κώστα Δόρτσιο.

Θεωρούμε την εξίσωση:
$\displaystyle{{z^\nu } + {a_{\nu - 1}}{z^{\nu - 1}} + {a_{\nu - 2}}{z^{\nu - 2}} + ... + {a_1}z + {a_0} = 0}$ , $\displaystyle{z \in C}$ , όπου
για τους συντελεστές $\displaystyle{{a_i} \in C,}$ $\displaystyle{i = 0,1,2,...,\nu - 1}$ ισχύει:
$\displaystyle{\left| {{a_i}} \right| \le 1}$ για κάθε $\displaystyle{i = 0,1,2,...,\nu - 1}$ .
Να προσδιορισθεί το χωρίο του μιγαδικού επιπέδου, στο οποίο ανήκουν οι ρίζες της εξίσωσης.

Κώστα καλώς μας ήρθες
Θωμάς

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Αν $\displaystyle{{z_0}}$ μια ρίζα, δείξτε ότι $\displaystyle{\left| {{z_0}} \right| < 2}$

ΛΥΣΗ.
Έστω ότι ένας μιγαδικός αριθμός ρ είναι ρίζα της δοσμένη εξίσωσης. Τότε:
$\displaystyle{\begin{array}{l} {\rho ^\nu } + {\alpha _{\nu - 1}}{\rho ^{\nu - 1}} + ... + {\alpha _1}\rho + {\alpha _0} = 0 \Rightarrow {\left| \rho \right|^\nu } = \left| {{\alpha _{\nu - 1}}{\rho ^{\nu - 1}} + ... + {\alpha _1}\rho + {\alpha _0}} \right| \Rightarrow \\ \Rightarrow {\left| \rho \right|^\nu } \le |{\alpha _{\nu - 1}}||\rho {|^{\nu - 1}} + ... + |{\alpha _1}||\rho | + |{\alpha _0}| \le {\left| \rho \right|^{\nu - 1}} + ... + \left| \rho \right| + 1. \\ \end{array}}$
Έστω ότι |ρ|>1. Τότε:
$\displaystyle{{\left| \rho \right|^\nu } \le \frac{{{{\left| \rho \right|}^\nu } - 1}}{{\left| \rho \right| - 1}} < \frac{{{{\left| \rho \right|}^\nu }}}{{\left| \rho \right| - 1}} \Rightarrow 1 < \frac{1}{{\left| \rho \right| - 1}} \Rightarrow \left| \rho \right| < 2}$ .
Επειδή η τελευταία σχέση ισχύει προφανώς και για $\displaystyle{\left| \rho \right| \le 1}$ , έπεται ότι για κάθε ρίζα ρ της δοσμένης εξίσωσης, ισχύει: |ρ|<2 ( βλ. και « ΥΠΟΨΗΦΙΑΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΩΤΕΡΑ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΕΥΡΑΣ»,Α.Κ.Κ Κυριακοπούλου, σελ.66, ασκήσεις λιμένες: 208 και 209. Δεν πληροφορεί).
• Όμως, έτσι όπως έχει διατυπωθεί η άσκηση ποια είναι η απάντηση:Ότι οι εικόνες των ρίζών ανήκουν στον κυκλικό δίσκο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 2, χωρίς τον κύκλο; Και αν κάποιος έλεγε ότι οι εικόνες των ρίζών ανήκουν στον κυκλικό δίσκο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 100, θα έκανε λάθος; Και βέβαια όχι.
Κάπως αλλιώς θα πρέπει να διατυπωθεί η άσκηση αυτή.
Φιλικά.

#4

Ένα, εκτός σχολικής ύλης, σχόλιο.

Ισχύει γενικότερα το παρακάτω θεώρημα:

Έστω πολυώνυμο $\displaystyle{f(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+...+a_{1}z+a_{0},}$ με $\displaystyle{a_{i}\in \mathbb{C}.}$

Τότε, οι ρίζες του πολυωνύμου βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου

$\displaystyle{\left|z \right|=1+\max_{i}\left|a_{i} \right|.}$

Προφανώς, η άσκηση είναι άμεση εφαρμογή αυτού του θεωρήματος.

Α.Κυριακόπουλος · #5

matha έγραψε:Ένα, εκτός σχολικής ύλης, σχόλιο.

Ισχύει γενικότερα το παρακάτω θεώρημα:

Έστω πολυώνυμο $\displaystyle{f(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+...+a_{1}z+a_{0},}$ με $\displaystyle{a_{i}\in \mathbb{C}.}$

Τότε, οι ρίζες του πολυωνύμου βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου

$\displaystyle{\left|z \right|=1+\max_{i}\left|a_{i} \right|.}$

Προφανώς, η άσκηση είναι άμεση εφαρμογή αυτού του θεωρήματος.

Γιατί εκτός σχολικής ύλης;
Αρκεί να δείξουμε ότι, για κάθε ρίζα ρ του πολυωνύμου f(z), ισχύει: $\displaystyle{|\rho | < 1 + \mathop {\max }\limits_i |{\alpha _i}|.}$
Θέτουμε: $\displaystyle{\theta = \mathop {\max }\limits_i |{\alpha _i}|}$ . Τότε, όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου, από τον δεύτερο και μετά, είναι $\displaystyle{ \le \theta }$ . Αν θ=0, προφανώς ισχύει. Έστω ότι θ>0.Εργαζόμενοι τώρα, όπως ακριβώς εργάστηκα για τη λύση της προηγούμενης άσκησης, φθάνουμε στο ζητούμενο.
Φιλικά.

Γ.Τ

Γ.Τ

Re: Γ.Τ

Re: Γ.Τ

Re: Γ.Τ

Re: Γ.Τ

Μέλη σε σύνδεση