Βοήθεια....Απορία στα supremum,infimum

MANOLISMATHS · #1

Τώρα το πως κατέληξα να καταλαβαινω την εννοια του supremum αλλα να μην μπορω να εκφρασω σωστα τυπικα τις λύσεις στις ασκησεις ,,,ειναι θέμα που δεν απτεται της ωρας,,,απλα θα αρκεστω οτι καθε καθηγητης σε μια σχολή δεν ειναι παντα και τελειος

έχω λοιπόν την εξής απορία
Έχουμε και λέμε
$A= \left\{\frac{n}{2n+1} :n \epsilon N \right\}$
Να βρω εδω τα supremum και τα infimum
και λέω

Έστω

$supA=a \\\\ \forall n\epsilon N, \frac{n}{2n+1}\leq a\Leftrightarrow n\leq 2an+a\Leftrightarrow n(1-2a)\leq a$
Άν τώρα $\\a<\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2a-1<0\Leftrightarrow 1-2a>0\Rightarrow \\ \\n(1-2a)\leq a\Leftrightarrow n\leq \frac{a}{1-2a}, \forall n \epsilon N$
Άτοπο γιατι το συνολο των φυσικων αριθμων δεν ειναι ανω φραγμενο
αρκεί τώρα το $\frac{n}{2n+1}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2n\leq 2n+1\Leftrightarrow 0\leq 1$
που ισχύει
για το ιnfimum εγώ βλέπω προφάνες το 0 έστω οτι εχει infA=b>0

και στο τέλος καταλήγω $\frac{b}{1-2b} \leq \ n, \forall n \epsilon N, \forall n \epsilon N$ όμως χάνεται η περιπτωση n=0

άρα

Βλέπω οτι απο την μια πάω να κάνω κατι και από την άλλη το κάνω μπακαλίστικα....
Τι πρέπει να λέω

MANOLISMATHS · #2

και πες οτι αυτό παλεύεται στο
$B= \left \{ \frac{n}{m}:n,m\ \epsilon N \ kai \ n+m\leq 10\right \}$
εγώ λέω οτι infB=1/9

και

Αλλά αντε να το εξηγήσω
Βοήθεια στην απόγνωση

ΠΩΣ ΝΑ ΤΟ ΑΠΟΔΕΙΞΩ?

#3

MANOLISMATHS έγραψε:και πες οτι αυτό παλεύεται στο
$B= \left \{ \frac{n}{m}:n,m\ \epsilon N \ kai \ n+m\leq 10\right \}$
εγώ λέω οτι και
Αλλά αντε να το εξηγήσω
Βοήθεια στην απόγνωση

ΠΩΣ ΝΑ ΤΟ ΑΠΟΔΕΙΞΩ?

Χρησιμοποιούμε τον ορισμό είναι $s=\sup B$ αν

(α) το

είναι άνω φράγμα του

και
(β) αν

ένα άνω φράγμα του

ισχύει $b\geq s$

Πράγματι, αν $n/m \in B$ , τότε πολλαπλσιάζοντας κατά μέλη τις
$\frac{1}{m}\leq 1$ και $n+m\leq 10$ ,

παίρνουμε $\frac{n+m}{m}\leq 10$ απ'οπου έπεται ότι $\frac{n}{m}\leq 9$ .

Έστω $b\geq \frac{n}{m}$ για κάθε $n/m \in B$ . Θέλουμε να δείξουμε ότι $b\geq 9$ .
Ας υποθέσουμε ότι b<9

. Τότε $b\leq 8$ και $(b+1)/1 \in B$ με b< (b+1)/1

, άτοπο. Άρα, s=9

.

Ομοίως για το inf είναι $\ell=\inf B$ αν

(α) το $\ell$ είναι κάτω φράγμα του

και
(β) αν

ένα κάτω φράγμα του

ισχύει $\ell\geq a$ .

Πράγματι, αν $n/m \in B$ , τότε πολλαπλσιάζοντας κατά μέλη τις
$\frac{1}{n}\leq 1$ και $n+m\leq 10$ , παίρνουμε $\frac{n+m}{n}\leq 10$ απ'οπου έπεται ότι $\frac{m}{n}\leq 9$ , κι άρα $n/m\geq 1/9$ για κάθε $n/m \in B$ .

Έστω $a\leq \frac{n}{m}$ για κάθε $n/m \in B$ . Τότε αφού $1/9 \in B$ έχουμε ότι $a\leq 1/9$ , όπως θέλουμε να δείξουμε. Άρα, a=1/9

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

MANOLISMATHS · #4

Ας υποθέσουμε ότι b<9

. Τότε $b\leq 8$ και $(b+1)/1 \in B$ με b< (b+1)/1

, ότι και καλά ειναι προφανές οτι το 8<9,,άτοπο. Άρα, s=9

]

Μπορείς να το εξηγήσεις σε χάνω λίγο στο τέλος

#5

MANOLISMATHS έγραψε:Ας υποθέσουμε ότι. Τότε $b\leq 8$ και $(b+1)/1 \in B$ με , ότι και καλά ειναι προφανές οτι το 8<9,,άτοπο. Άρα,]

Μπορείς να το εξηγήσεις σε χάνω λίγο στο τέλος

Το

είναι ένα άνω φράγμα του

. Το

ανήκει στο Β, οπότε από την υπόθεση για το

θα πρέπει να ισχύει $b\geq (b+1)/1=b+1$ ...εκεί είναι το άτοπο.

Πριν το "άρα" ολοκληρώνεται και το (β) για το sup. Δηλ. καταληξαμε σε άτοπο υποθέτοντας ότι άνω φράγμα

του

είναι μικρότερο του 9.

Αφού, λοιπόν, το 9 είναι άνω φράγμα του Β και αφού κάθε άλλο άνω φράγμα είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 9, πρέπει $\sup B=9$

(Αλλοιώς, χωρίς απαγωγή σε άτοπο αφού $9/1\in B$ από την υπόθεση για το

έχουμε αμέσως ότι $b\geq 9$ ).

Φιλικά,

Αχιλλέας

#6

MANOLISMATHS έγραψε:...
$A= \left\{\frac{n}{2n+1} :n \epsilon N \right\}$
Να βρω εδω τα supremum και τα infimum ...

Για το infimum.....

Αν θεωρείς το 0 στο σύνολο των φυσικών, τότε το infimum είναι 0, αν ξεκινάς από το 1, το infimum είναι το 1/3.

Εξ ορισμού είναι $\ell:=\inf B$ αν

(α) το $\ell$ είναι κάτω φράγμα του

και
(β) αν

ένα κάτω φράγμα του

ισχύει $\ell\geq a$ .

Προφανώς το (α) ικανοποιείται αφού το 0 (αντίστοιχα, το 1/3) είναι κάτω φράγμα του Α, αφού $n\geq 0$ , (αντίστοιχα $n\geq 1$ ).
Έστω

κάτω φράγμα του Α, δηλ. $a\leq n/(2n+1)$ . Θέλουμε να δείξουμε ότι $a\leq 0$ (αντίστοιχα, $a\leq 1/3$ , που προφανώς ισχύει αφού $0\in A$ (αντίστοιχα, $1/3 \in A$ .
Άρα inf A=0

(αντίστοιχα, inf A=1/3

).

Φιλικά,

Αχιλλέας

MANOLISMATHS · #7

Ναι βάζω και το μηδεν στους φυσικούς
δηλαδή λέμε θα δείξω οτι το m=infA=0
έστω οτι υπάρχει πιο μεγάλο κατωτερο πέρας (m), εστω
α>0
για καθε ν που ανηκει στο Α αληθευει οτι 0<(n/(2n+1))

και αν πουμε οτι υπάρχει καλύτερο (m')=α>m=0 αρκεί να βρώ ένα αριθμό

από το σύνολο Α που να ισχύει οτι (m')>x και απλα τυχαίνει το x=0=infA??????????????????

#8

MANOLISMATHS έγραψε:Ναι βάζω και το μηδεν στους φυσικούς
δηλαδή λέμε θα δείξω οτι το m=infA=0
έστω οτι υπάρχει πιο μεγάλο κατωτερο πέρας (m), εστω
α>0
για καθε ν που ανηκει στο Α αληθευει οτι
και αν πουμε οτι υπάρχει καλύτερο (m')=α>m=0 αρκεί να βρώ ένα αριθμό από το σύνολο Α που να ισχύει οτι (m')>x και απλα τυχαίνει το x=0=infA??????????????????

Δε χρειάζεται απαγωγή σε άτοπο. Αν

κάτω φράγμα του, τότε αφού $0\in A$ , προφανώς $a\leq 0$ και το (β) ικανοποείται. Έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη ότι $\ell=0$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

irakleios · #9

Νομίζω ότι supA=1/2.
Mπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το ε-ψιλοντικό ορισμό . δηλάδη x = supA τότε για κάθε ε>0 ύπάρχει α στο Α ώστε x - ε < α. Κάθε α στο Α όμως έχει τη μορφή n/(2n +1) άρα πρέπει να βρώ n ώστε 1/2 - ε < n/(2n + 1) ισοδύναμα: n > (1-2ε)/4ε τέτοιο n όμως μπορώ να βρώ γιατί διαφορετικά το σύνολο των φυσικών θα ήταν άνω φραγμένο.

#10

irakleios έγραψε:Νομίζω ότι supA=1/2.
....

Ναί, δεν το είχα προσέξει πως απαντήθηκε...αλλά και πάλι βγαίνει με τον ορισμό των προηγούμενων μηνύματων:

Το 1/2 είναι άνω φράγμα του

αφού $n/(2n+1)\leq 1/2$ για κάθε $n\geq 0$ και αν

ένα άνω φράγμα του

τότε $b\geq 1/2$ . Πράγματι, αν b<1/2

, τότε για οποιοδήποτε ακέραιο m> b/(1-2b)

ισχύει

, άτοπο, από την επιλογή του

και το ότι $m/(2m+1)\in A$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#11

Για αυτές τις έννοιες (sup,inf) ρίξε μια ματιά στο συνημμένο

Βοήθεια....Απορία στα supremum,infimum

Βοήθεια....Απορία στα supremum,infimum

Re: Βοήθεια....Απορία στα supremum,infimum

Re: Βοήθεια....Απορία στα supremum,infimum

Re: Βοήθεια....Απορία στα supremum,infimum

Re: Βοήθεια....Απορία στα supremum,infimum

Re: Βοήθεια....Απορία στα supremum,infimum

Re: Βοήθεια....Απορία στα supremum,infimum

Re: Βοήθεια....Απορία στα supremum,infimum

Re: Βοήθεια....Απορία στα supremum,infimum

Re: Βοήθεια....Απορία στα supremum,infimum

Re: Βοήθεια....Απορία στα supremum,infimum

Μέλη σε σύνδεση