Βρείτε το λόγο (5)

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και ο εγγεγραμμένος κύκλος του (Κ, Λ, Μ, Ν εφαπτόμενα σημεία). Έστω Π, Ρ τα σημεία τομής της ΚΓ με την ΒΔ και ΒΝ αντίστοιχα. Βρείτε το λόγο των γωνιών $\displaystyle\frac{x}{y}$ .

: logos5.jpg (168.52 KiB) Προβλήθηκε 1368 φορές

Δημήτρης Μυρογιάννης · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημήτρης Μυρογιάννης · #3

: Capture.PNG (603.37 KiB) Προβλήθηκε 1336 φορές

#4

Στο ισοσκελές τρίγωνο ΒΚΝ ΤΟ Π είναι ορθόκεντρο. Άρα η γωνία χ ως εξωτερική του τριγώνου ΚΝΠ είναι ίση με 2ψ.

#5

Για ποικιλία μία ακόμα λύση με απλές συγκρίσεις τριγώνων.

: 26-10-2010 Geometry.png (376.91 KiB) Προβλήθηκε 1273 φορές

Τα τρίγωνα ΓΔΚ και ΒΓΝ είναι ίσα ως ορθογώνια με ΓΔ = ΒΓ = α και ΔΚ = ΓΝ = α/2.

Έστω $\displaystyle \widehat{\Delta {\rm K}\Gamma } = \widehat{\Gamma {\rm N}{\rm B}} = \phi$ , οπότε $\displaystyle \widehat{\Delta \Gamma {\rm K}} = \widehat{\Gamma {\rm B}{\rm N}} = 90^\circ - \phi$

Αφού ΒΔ διαγώνιος τετραγώνου είναι: y + 90° - φ = 45° άρα y = φ - 45°.

Τα τριγ. ΠΔΚ, ΝΔΠ είναι ίσα, αφού έχουν ΔΚ = ΔΝ = α/2, ΔΠ κοινή και $\displaystyle \widehat{{\rm K}\Delta \Pi } = \widehat{{\rm N}\Delta \Pi } = 45^\circ$ , οπότε $\displaystyle \widehat{\Delta {\rm N}\Pi } = \phi$ και ως εξωτερική στο ΝΓΠ είναι:
φ = x + 90° - φ άρα x = 2φ - 90° = 2y. Οπότε $\displaystyle \frac{x}{y} = 2$ .

Γιώργος Ρίζος

Και μια συμπλήρωση, αφιερωμένη σ' αυτούς που έβγαλαν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς διπλασίου τόξου από τo Λύκειο:
Υπολογίστε τις εφαπτομένες των γωνιών x και y.

Ιστοσελίδα · #6

Να σας ευχαριστήσω όλους για τις λύσεις σας.
Μια απάντηση στο συμπληρωματικό ερώτημα του Γιώργου (χρησιμοποιώντας το σχήμα του).

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΝ ισχύουν οι σχέσεις: $\varepsilon \varphi \varphi = 2,\,\,\sigma \varphi \varphi = \displaystyle\frac{1}{2},\,\,0 < \varphi < {90^ \circ }$ .
Από την ισότητα $x = 2\varphi - {90^ \circ }$ έπεται ότι ${90^ \circ } - \varphi = \varphi - x$ , οπότε:
$\begin{array}{l} \varepsilon \varphi ({90^ \circ } - \varphi ) = \varepsilon \varphi (\varphi - x) \Rightarrow \\ \Rightarrow \sigma \varphi \varphi = \displaystyle\frac{{\varepsilon \varphi \varphi - \varepsilon \varphi x}}{{1 + \varepsilon \varphi \varphi \cdot \varepsilon \varphi x}} \Rightarrow \\ \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{{2 - \varepsilon \varphi x}}{{1 + 2\varepsilon \varphi x}} \Rightarrow \boxed{\varepsilon \varphi x = \displaystyle\frac{3}{4}} \end{array}$

Εφόσον x = 2y

από τον τύπο της εφαπτομένης διπλάσιας γωνίας θα έχουμε:
$\displaystyle\frac{3}{4} = \varepsilon \varphi x = \varepsilon \varphi 2y = \displaystyle\frac{{2\varepsilon \varphi y}}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}y}}$ , απ’ όπου προκύπτει το τριώνυμο $3\varepsilon {\varphi ^2}y + 8\varepsilon \varphi y - 3 = 0$ με δεκτή λύση την $\boxed{\varepsilon \varphi y = \displaystyle\frac{1}{3}}$ .

Βρείτε το λόγο (5)

Βρείτε το λόγο (5)

Re: Βρείτε το λόγο (5)

Re: Βρείτε το λόγο (5)

Re: Βρείτε το λόγο (5)

Re: Βρείτε το λόγο (5)

Re: Βρείτε το λόγο (5)

Μέλη σε σύνδεση