Γωνίες τριγώνου, ημιπερίμετρος, ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου!

#1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ . Αποδείξτε ότι

$\displaystyle{\frac{9\sqrt{3}R}{2s}\geq \frac{\cos \frac{A}{2}}{\cos \frac{B}{2}}+\frac{\cos \frac{B}{2}}{\cos \frac{C}{2}}+\frac{\cos \frac{C}{2}}{\cos \frac{A}{2}}.}$

kwstas12345 · #2

Mια λύση:
Υψώνονοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη αρκεί να αποδείξω:

$\displaystyle \boxed{\frac{243R^{2}}{4s^{2}}\geq \left(\sum{\frac{cos\frac{A}{2}}{cos\frac{B}{2}}} \right)^{2}}$

Aπό την ανισότητα Caychy-Swartz:

$\displaystyle \left(\sum{\frac{cos\frac{A}{2}}{cos\frac{B}{2}}} \right)^{2}\leq \left(\sum{cos^{2}\frac{A}{2}} \right)\left(\sum{\frac{1}{cos^{2}\frac{A}{2}}} \right)$

Eίναι όμως σε κάθε τρίγωνο: $\displaystyle \sum{cos^{2}\frac{A}{2}}=2+2\prod{sin\frac{A}{2}}\leq 2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$

αφού: $\displaystyle \prod{sin\frac{A}{2}}\leq \left(\frac{1}{3}\sum{sin\frac{A}{2}} \right)^{3}\leq \frac{1}{8}$

και για την κοίλη $\displaystyle f\left(x \right)=sin\frac{x}{2},0<x<\pi$ η ανισότητα Jensen δίνει:

$\displaystyle \sum{sin\frac{A}{2}}\leq 3sin\left(\frac{\pi}{6} \right)=\frac{3}{2}$ .

Τώρα επειδή:

$\displaystyle \sum{\frac{1}{cos^{2}\frac{A}{2}}}=\left(\sum{cos^{2}\frac{A}{2}cos^{2}\frac{B}{2}} \right)\left(\prod{cos^{2}\frac{A}{2}} \right)^{-1}=\frac{s^{2}+\left(4R+r \right)^{2}}{16R^{2}}\cdot\frac{16R^{2}}{s^{2}}=\frac{s^{2}+\left(4R+r \right)^{2}}{s^{2}}$

Άρα μένει να δειχτεί: $\displaystyle \frac{243R^{2}}{4s^{2}}\geq \frac{9}{4}\cdot\frac{s^{2}+\left(4R+r \right)^{2}}{s^{2}}\Leftrightarrow 27R^{2}\geq 16R^{2}+8Rr+r^{2}+s^{2}\Leftrightarrow 11R^{2}\geq 8Rr+r^{2}+s^{2}$ (*)

Eπειδή σε κάθε τρίγωνο ισχύει: $\displaystyle \boxed{s^{2}\leq 9R^{2}-4Rr-r^{2}}$ ,άρα η (*) θα γίνει:

$\displaystyle s^{2}+8Rr+r^{2}\leq 9R^{2}+4Rr\leq 9R^{2}+4R\frac{R}{2}=11R^{2}$ ο.ε.δ

Η ισότητα στην ζητούμενη ισχύει όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο δηλαδή όταν $A=B=C=60^{0}$

Γωνίες τριγώνου, ημιπερίμετρος, ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου!

Γωνίες τριγώνου, ημιπερίμετρος, ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου!

Re: Γωνίες τριγώνου, ημιπερίμετρος, ακτίνα εγγεγραμμένου κύκ

Μέλη σε σύνδεση