Ασυνεχής συνάρτηση
Συντονιστής: emouroukos
Ασυνεχής συνάρτηση
Καλημέρα
Αν ένας σταθερός αρνητικός αριθμός και μια συνάρτηση με , να αποδειχθεί ότι η είναι ασυνεχής.
Αν ένας σταθερός αρνητικός αριθμός και μια συνάρτηση με , να αποδειχθεί ότι η είναι ασυνεχής.
Σπύρος Καπελλίδης
Re: Ασυνεχής συνάρτηση
Γράφω τη βασική ιδέα τη λύσης:
Έστω . Αν μελετήσουμε τη γραφική παράσταση της , τότε αυτή τέμνει τον -άξονα στα σημεία με τετμημένες , και , είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα , και και γνησίως φθίνουσα στο .
Έχει τοπικό μέγιστο στο και τοπ. ελάχιστο στο .
Τώρα, αν δούμε την καμπύλη , τότε αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων, και είναι συμμετρική ως προς αυτήν. Από την παραπάνω μελέτη, έχουμε ότι τα σημεία με τετμημένη μεγαλύτερη του , έχουν τεταγμένη , ενώ τα σημεία με τετμημένη μικρότερη του , έχουν τεταγμένη .
Αν η ήταν συνεχής, από τα παραπάνω, λοιπόν, και το θέωρημα Bolzano (αφού η για και για ), θα είχε μια ρίζα στο . Αναγκαστικά, το σημείο που θα μηδενίζεται θα είναι το , δηλ. .
Αλλά, τότε λόγω συνέχειας και μοναδικότητας της ρίζας, κι αφού για θα είναι για κάθε .
Συνεπώς, θα είναι , άτοπο.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Έστω . Αν μελετήσουμε τη γραφική παράσταση της , τότε αυτή τέμνει τον -άξονα στα σημεία με τετμημένες , και , είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα , και και γνησίως φθίνουσα στο .
Έχει τοπικό μέγιστο στο και τοπ. ελάχιστο στο .
Τώρα, αν δούμε την καμπύλη , τότε αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων, και είναι συμμετρική ως προς αυτήν. Από την παραπάνω μελέτη, έχουμε ότι τα σημεία με τετμημένη μεγαλύτερη του , έχουν τεταγμένη , ενώ τα σημεία με τετμημένη μικρότερη του , έχουν τεταγμένη .
Αν η ήταν συνεχής, από τα παραπάνω, λοιπόν, και το θέωρημα Bolzano (αφού η για και για ), θα είχε μια ρίζα στο . Αναγκαστικά, το σημείο που θα μηδενίζεται θα είναι το , δηλ. .
Αλλά, τότε λόγω συνέχειας και μοναδικότητας της ρίζας, κι αφού για θα είναι για κάθε .
Συνεπώς, θα είναι , άτοπο.
Φιλικά,
Αχιλλέας
-
- Δημοσιεύσεις: 870
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
- Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
- Επικοινωνία:
Re: Ασυνεχής συνάρτηση
Μια διαφορετική προσέγγιση.s.kap έγραψε: Αν ένας σταθερός αρνητικός αριθμός και μια συνάρτηση με , να αποδειχθεί ότι η είναι ασυνεχής.
Από την δοσμένη σχέση: προκύπτουν:
.
και
.
Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής τότε:
Οι διατηρούν σταθερό πρόσημο στα
και θα είναι:
ή για κάθε
και
ή για κάθε
"Κατασκευαστικά" και με τη βοήθεια της οι περιπτώσεις
για κάθε και για κάθε
οδηγούν σε κάτι αδύνατο.
Επομένως θα πρέπει: για κάθε και για κάθε το οποίο, λόγω της συνέχειας της συνάρτησης στο 0, μας δίνει: και το οποίο είναι άτοπο.
Κώστας Σερίφης
Re: Ασυνεχής συνάρτηση
Και μία άλλη προσέγγιση:
Δουλεύουμε με απαγωγή σε άτοπο:
Αν υποθέσουμε ότι η είναι συνεχής,τότε, λόγω της δοθείσας σχέσης θα είναι και 1-1
(εύκολο), άρα γνησίως μονότονη. Συνεπώς θα έχει όρια στο άπειρο. Αν ένα εξ' αυτών είναι πεπερασμένο, ας πούμε , τότε παίρνοντας όρια στην δοθείσα με το x να τείνει στο συν ή πλην άπειρο, έχουμε , άτοπο.
Άρα τα όρια της στο άπειρο είναι μη πεπερασμένα, συνεπώς η έχει σύνολο τιμών το (λόγω της ιδιότητας Darboux), άρα η αντίστροφή της, , ορίζεται στο
Αν θεωρήσουμε την , τότε η δοθείσα σχέση γράφεται και θέτοντας όπου το έχουμε .
Συνεπώς και η είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας που έχει η , άρα η παράγωγός της δεν αλλάζει πρόσημο στο , άτοπο, επειδή .
Σχόλιο:Θα μπορούσαμε με τις ίδιες υποθέσεις να ζητήσουμε να αποδειχθεί ότι η δεν έχει ούτε την ιδιότητα Darboux
Φιλικά
Δουλεύουμε με απαγωγή σε άτοπο:
Αν υποθέσουμε ότι η είναι συνεχής,τότε, λόγω της δοθείσας σχέσης θα είναι και 1-1
(εύκολο), άρα γνησίως μονότονη. Συνεπώς θα έχει όρια στο άπειρο. Αν ένα εξ' αυτών είναι πεπερασμένο, ας πούμε , τότε παίρνοντας όρια στην δοθείσα με το x να τείνει στο συν ή πλην άπειρο, έχουμε , άτοπο.
Άρα τα όρια της στο άπειρο είναι μη πεπερασμένα, συνεπώς η έχει σύνολο τιμών το (λόγω της ιδιότητας Darboux), άρα η αντίστροφή της, , ορίζεται στο
Αν θεωρήσουμε την , τότε η δοθείσα σχέση γράφεται και θέτοντας όπου το έχουμε .
Συνεπώς και η είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας που έχει η , άρα η παράγωγός της δεν αλλάζει πρόσημο στο , άτοπο, επειδή .
Σχόλιο:Θα μπορούσαμε με τις ίδιες υποθέσεις να ζητήσουμε να αποδειχθεί ότι η δεν έχει ούτε την ιδιότητα Darboux
Φιλικά
Σπύρος Καπελλίδης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες