Υπάρχει;

mathxl · #1

Ψάχνω να βρω ένα παράδειγμα συνάρτησης που έχει τις εξής ιδιότητες
$\displaystyle{\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\prime\left( x \right) = 1 \\ \end{array}}$
Μπορείτε να με βοηθήσετε;

#2

mathxl έγραψε:Ψάχνω να βρω ένα παράδειγμα συνάρτησης που έχει τις εξής ιδιότητες
$\displaystyle{\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\prime\left( x \right) = 1 \\ \end{array}}$
Μπορείτε να με βοηθήσετε;

Βασίλη, δεν γίνεται: Από ΘΜΤ υπάρχει ξ με $f(x+1) - f(x) = f\prime\left( \xi \right)$ .
Πάρε τώρα όριο χ τείνοντος στο άπειρο για να βγάλεις 0 = 1.

Το ίδιο επιχείρημα δείχνει ότι δεν μπορεί να υπάρχει το όριο της f(x) στο άπειρο.
Με πρώτη ματιά πιστεύω ότι πρέπει να ισχύει ${\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

mathxl · #3

Ευχαριστώ Μιχάλη
Σκεφτόμουνα μία συνάρτηση αρνητική με οριζόντια ασύμπτωτη την ψ=0 αλλά κάτι δεν μου άρεσε
Η απορία μου δημιουργήθηκε από εδώ http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1462977#1462977

#4

mathxl έγραψε:Ευχαριστώ Μιχάλη
Σκεφτόμουνα μία συνάρτηση αρνητική με οριζόντια ασύμπτωτη την ψ=0 αλλά κάτι δεν μου άρεσε
Η απορία μου δημιουργήθηκε από εδώ http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1462977#1462977

Βασίλη,
Η πολύ ωραία άσκηση που παραπέμπεις στο mathlinks (και για όσους δεν το πρόσεξαν, η λύση εκεί είναι του ίδιου του Βασίλη) είναι θεώρημα του Hardy. Την έχει και ως άσκηση στο βιβλίο του Pure Mathematics (αλλά άντε βρές την!).

To ενδιαφέρον είναι ότι ο Hardy χρειάστηκε το αποτέλεσμα σε μία από τις ερευνητικές του εργασίες. Η λύση του ήταν τελείως διαφορετική. Δεν την θυμάμαι ακριβώς αλλά θα προσπαθήσω παρακάτω να την ανασυστήσω. Λέει κάτι της εξής μορφής:

Θέλουμε να δείξουμε ότι
Αν $f(x) + f^{\prime}(x)$ τείνει στο 1 καθώς χ τείνει στο άπειρο, τότε f(x)

τείνει στο 1 και $f^{\prime}(x)$ τείνει στο 0.
.

Εξετάζοντας την f(x)-1 στη θέση της f(x), μπορούμε να θεωρήσουμε ότι
$f(x) + f^{\prime}(x)$ τείνει στο 0 καθώς χ τείνει στο άπειρο.

Τώρα, αφού ο Hardy εξετάσει την περίπτωση (είναι η εύκολη περίπτωση) όπου η $f^{\prime}(x)$ διατηρεί το πρόσημο για μεγάλα x, έρχεται στην ενδιαφέρουσα περίπτωση όπου η $f^{\prime}(x)$ αλλάζει πρόσημο σε όλα τα διαστήματα που περιέχουν το +00. Τότε τα σημεία αλλαγής προσήμου είναι ακρότατα της συνάρτησης. Αλλά αφού στα σημεία αυτά τα ακρότατα είναι μικρά (διότι $f(x) + f^{\prime}(x)$ τείνει στο 0 και $f^{\prime}(x)= 0$ ) όλη η συναρτηση θα είναι μικρή.

Αν κάποιος έχει το Pure Mathematics του Hardy, ας το ψάξει. Ασφαλώς θα είναι προς το τέλος των ασκήσεων του κεφαλαίου που περιέχει το "mean value theorem".

Αυτά,

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

bilstef · #5

το Pure Mathematics του Hardy
http://www.archive.org/search.php?query ... 20%20Hardy

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Αν κάποιος έχει το Pure Mathematics του Hardy, ας το ψάξει. Ασφαλώς θα είναι προς το τέλος των ασκήσεων του κεφαλαίου που περιέχει το "mean value theorem".

Με την βοήθεια του Βασίλη (bilstef) βρήκα την άσκηση στον Hardy, την οποία επισυνάπτω.
Να ' σαι καλά Βασίλη, θησαυρός όπως πάντα.

Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου

#7

Νομίζω πως είχε προηγηθεί του θησαυρού, ο συνάδελφος exdx πριν απο λίγες ημέρες κιόλας.
Είναι καλό να απονέμεται δίκαιοσύνη. Πολύ καλημέρα σας...
viewtopic.php?f=6&t=964

#8

Mihalis_Lambrou έγραψε:Αν $f(x) + f^{\prime}(x)$ τείνει στο 1 καθώς χ τείνει στο άπειρο, τότε τείνει στο 1 και $f^{\prime}(x)$ τείνει στο 0.
.

Ένα ασήμαντο σχόλιο !

Η απόδειξη $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) =\lim_{x\to +\infty} \frac {e^xf(x)}{e^x} = .....$

είναι πλήρης, σύμφωνα με μια πιο γενική μορφή του κανόνα de L'Hospital.Αρκεί που ο παρονομαστής e^x

έχει όριο $+ \infty$ χωρίς να μας ενδιαφέρει ο αριθμητής.Σχετική απόδειξη υπάρχει στο βιβλίο των Novak - Kascor.
Ωστόσο , η λύση που έκανε ο Βασίλης στο αγγλικό φόρουμ είναι πιο στοιχειώδης.

#9

υπάρχει και γενίκευση εδώ

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=141734

Υπάρχει;

Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Re: Υπάρχει;

Μέλη σε σύνδεση