Άσκηση σε όριο

Aladdin · #1

Δίνεται συνάρτηση

με $D_{f} = \mathbb{R}$ και $f ^{3}(x)+ f(x) = e^{x}+ x - 1$ . Να βρεθεί το όριο της αντίστροφης της

όταν

τείνει στο 0.
Είναι κατανοητή η εκφώνηση;
Συγνώμη δεν έχω μάθει να χρησιμοποιώ το Latex

A.Spyridakis · #2

Ας επιχειρήσω μία λύση, μη σχολική.
Κατ' αρχήν, η f είναι αντιστρέψιμη, αφού για $x_1, x_2 \in R$ με $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow {f^{3}(x_1)} = {f^{3}(x_2)}$
δηλ. $e^{x_1} + x_1 - 1 = e^{x_2} + x_2 - 1$ (1). Αλλά η h(x) = e^x + x - 1

, παρατηρούμε (εύκολο) ότι είναι
γνησίως αύξουσα, δηλ. 1-1, και η (1) γίνεται $h(x_1) = h(x_2) \Rightarrow x_1=x_2, \ \ \delta \eta \lambda . f \ \ 1-1$ .
Η $f ^{3}(x)+ f(x) = e^{x}+ x - 1$ τώρα, για x=0 δίνει $f(0) \left[ f ^{2}(x)+ 1 \right] = 0 \Rightarrow \boxed{f(0) = 0}$ . Ακόμα,
$\left| f(x) \left[f ^{2}(x)+ 1 \right] \right| = |e^{x}+ x - 1| \Rightarrow \left| f(x)\right| \left[f ^{2}(x)+ 1 \right] = |e^{x}+ x - 1| \Rightarrow \left| f(x)\right| \leq \left| f(x)\right| \left[f ^{2}(x)+ 1 \right] = |e^{x}+ x - 1| \Rightarrow -|e^{x}+ x - 1| \leq f(x) \leq |e^{x}+ x - 1| \ \ \kappa \alpha \iota \ \ \alpha \varphi o\upsilon \displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{ x \to 0} |e^{x}+ x - 1| } = \mathop {\lim }\limits_{x\to 0} (-|e^{x}+ x - 1|) }=0, \ \ \varepsilon \iota \nu \alpha \iota \ \ \kappa \alpha \iota \ \ \boxed{\mathop {\lim }\limits_{x\to 0} f(x) =0.}$ .
Άρα η f είναι συνεχής στο 0, και κατά συνέπεια και η $f^{-1}$ στο f(0).
Αλλά $f(0) = 0 \Leftrightarrow f^{-1}(0)=0.$
Άρα $\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x\to 0} f^{-1}(x) =0}.$

Aladdin · #3

Ευχαριστώ, αλλά ψάχνω μια λύση μέσα στη σχολική ύλη
Ουσιαστικά το όριο της αντίστροφης με δυσκολεύει

A.Spyridakis · #4

Ok, σου βρήκα λύση!

Πήγαινε ΕΔΩ που ο Μιχάλης είχε γράψει

Mihalis_Lambrou έγραψε: Υ.Γ.
Γρηγόρη, έχω μία φυσιολογική απόδειξη. Είναι στα σχολικά πλαίσια και προσιτή στον μαθητή. Θα βρω την ευκαιρία να την γράψω.

και ζήτα του να στη γράψει

.
Εγώ πάω για ψήφοοοοοοοοοοοοο!!!!!!!!!!!

hsiodos · #5

Καλημέρα Μαθηματικέ (γράψε μας το όνομα σου)

Περιγράφω σε βήματα μια λύση εντός σχολικής ύλης . Η άσκηση δεν ενδείκνυται για μαθητές εκτός και αν κάποιος συνάδελφος μας δώσει πιο προσιτή απόδειξη.

1. Αποδεικνύουμε (με τον ορισμό) ότι η f είναι γν. αύξουσα παρατηρώντας ότι το β μέλος είναι γν. αύξουσα συνάρτηση.

2. Αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής και έχει σύνολο τιμών το R με τεχνικές που αναφέρονται ΕΔΩ

3. Τώρα θέτοντας στην δοσμένη όπου χ το $\displaystyle{f^{ - 1} (x)}$ , χ στο R , βρίσκουμε $\displaystyle{e^{f^{ - 1} (x)} + f^{ - 1} (x) - 1 = x^3 + x\,\,\,\,(1)\,\,,x \in R\,}$

4. Αποδεικνύουμε ότι η $\displaystyle{f^{ - 1} }$ είναι γνησίως αύξουσα και ότι $\displaystyle{f^{ - 1} (0) = 0\,}$

5. $\displaystyle{ {\rm A}\nu \,\,x > 0 \Rightarrow f^{ - 1} (x) > f^{ - 1} (0) \Rightarrow f^{ - 1} (x) > 0 \Rightarrow e^{f^{ - 1} (x)} - 1 > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\tau \omega \rho \alpha }$ $\displaystyle{ (1)\mathop \Rightarrow \limits^{x > 0} \,\,\,0 < f^{ - 1} (x) < x^3 + x\,\,\,\,\,\,o\pi o\tau \varepsilon \,({\rm K}\Pi )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } f^{ - 1} (x) = 0}$

$\displaystyle{ {\rm A}\nu \,\,x < 0 \Rightarrow f^{ - 1} (x) < f^{ - 1} (0) \Rightarrow f^{ - 1} (x) < 0 \Rightarrow e^{f^{ - 1} (x)} - 1 < 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\tau \omega \rho \alpha \,}$ $\displaystyle{ (1)\mathop \Rightarrow \limits^{x < 0} \,\,\,x^3 + x\,\,\, < f^{ - 1} (x) < 0\,\,\,o\pi o\tau \varepsilon \,({\rm K}\Pi )\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } f^{ - 1} (x) = 0}$

$\displaystyle{ \,\,\Sigma \upsilon \nu \varepsilon \pi \omega \varsigma \,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f^{ - 1} (x) = 0}$

Γιώργος

Aladdin · #6

Καλημέρα και Ευχαριστώ για τη βοήθεια
Αγαπητέ Γιώργο ας μου επιτραπεί να μη συστηθώ γιατί,
το διαδύκτιο πιστεύω ότι μας δίνει την δυνατότητα να επικοινωνούμε εξ αποστάσεως
Δηλαδή : Να ξαναμάθουμε να στεκόμαστε στις καταστάσεις και όχι στα πρόσωπα
Εις το επανηδείν

#7

Το διαδίκτυο μπορεί να μας δίνει την δυνατότητα να επικοινωνούμε εξ αποστάσεως
αλλά καλό και ευγενικό είναι να ξέρουμε με ποιον μιλάμε.

Χρήστος Τσιφάκης

mathxl · #8

Ας μην ξεχνάμε μερικά βασικά θέματα σαν αυτό που έβαλε ο Θωμάς εδώ viewtopic.php?uid=149&f=55&t=1236&start=0 μέσα στο οποίο έχει και ένα λινκ για μια άσκηση που έβαλε ο Νίκος

A.Spyridakis · #9

Μαθηματικός έγραψε:Καλημέρα και Ευχαριστώ για τη βοήθεια
Αγαπητέ Γιώργο ας μου επιτραπεί να μη συστηθώ γιατί,
το διαδύκτιο πιστεύω ότι μας δίνει την δυνατότητα να επικοινωνούμε εξ αποστάσεως
Δηλαδή : Να ξαναμάθουμε να στεκόμαστε στις καταστάσεις και όχι στα πρόσωπα
Εις το επανηδείν

Μετά απ' αυτή τη δήλωση, έχω να κάνω κι εγώ μία, φίλε "μαθηματικέ": Δεν ξανασχολούμαι με καμία άσκηση που δίνεις, έτσι, για να σου δώσω τη δυνατότητα να γίνεις κάποτε μαθηματικός, χωρίς εισαγωγικά.

ΥΓ Sorry, αλλά έχω ΑΠΗΥΔΗΣΕΙ με την ανωνυμία στο δίκτυο

................................

Aladdin · #10

Κύριε Α. Sryridaki δεν ήθελα να απαντήσω γιατί δεν είχα κάποιο λόγο να το κάνω.
Αλλά, οι μαθητές μου με διέταξαν και γι αυτό το κάνω.
Γι αυτούς είμαι μαθηματικός, για εμένα ας το αφήσουμε καλύτερα.
Κάθε φορά που τους δίνω μια άσκηση τους αναφέρω το συγγραφέα ή κάθε φορά που λύνω μια άσκηση, που κάποιος μου έχει υποδείξει, τους αναφέρω ποιος το έκανε. Αυτό τους συγχίζει και με παρακάλεσαν να μην το κάνω γιατί τελικά τους ενδιαφέρουν μόνο τα μαθηματικά.
Όταν τους είπα ότι για τις απορίες τους (μου) θα ζητήσω τη βοήθεια του mathematica μου υπέδειξαν το όνομα Μαθηματικός.Ποιός Μαθηματικός; ρώτησα. O ένας φυσικά, αυτός που όλοι αγαπήσαμε, μου απάντησαν.Εγώ συμφώνησα, υποψιαζόμενος τους ενήλικους κινδύνους.Μπορείς να τα βάλεις με τα παιδιά;
Τελικά τα παιδιά δε θέλουν να προσβάλουν κανέναν, ζητούν συγνώμη αν φάνηκαν αγενείς και παρακαλούν αν είναι να τιμωρηθούν αυτό να γίνει με μία άσκηση.
Υ.Γ. Ονομάζομαι Χρονόπουλος Πέτρος

A.Spyridakis · #11

Κύριε Χρονόπουλε καλημέρα.

Κατ' αρχήν, ελπίζω αυτό να είναι το αληθινό σας όνομα, όχι για τίποτ' άλλο, αλλά για να δείτε ότι στο mathematica ούτε δαγκώνουμε, ούτε λοιδωρούμε, ούτε καταδικάζουμε ανθρώπους για την ειλικρίνειά τους.

Ο λόγος που θεωρώ ότι στο (δια-)δίκτυο πρέπει να αυτοσυστηνόμαστε είναι απλός: Το δίκτυο είναι ένας αληθινός κόσμος, όπου, όπως και στον "κανονικό", ψέματα, μισές αλήθειες, μυστικοπάθειες ή υπεκφυγές έχουν έναν μόνο σκοπό: να μας γλιτώσουν από τις -όποιες- ευθύνες μας. Αυτό είναι πλέον αποδεδειγμένο.
Επίσης, είναι σαν να σας γνώρισα σε μια συνάντηση μαθηματικών, να συστήθηκα, κι εσείς να μου λέτε "δε σας λέω τ' όνομά μου, γιατί έχω λόγους". Με συγχωρείτε, αλλά αυτό δε θα μου άρεσε.

Κοιτάξτε τώρα και το εξής:
Αν είστε πράγματι μαθηματικός, και σας αρέσει που είστε εδώ στο mathematica, πιστεύω ότι θα μας χαρίσετε κάποια εμπνευσμένη άσκηση ή λύση που θα έχετε σε κάποια άσκηση συναδέλφου. Γιατί λοιπόν να μην ξέρουμε το όνομά σας, ώστε να σας επιβραβεύσουμε, έστω και μόνο στο μυαλό και τη συνείδησή μας? Εκτός κι αν δεν θέλετε να εκτεθείτε στη βάσανο της κριτικής των συναδέλφων σε περίπτωση λανθασμένης, ανεπαρκούς ή κακώς διατυπωμένης άσκησης ή λύσης. Κάτι δηλ. που όλοι οι υπόλοιποι εδώ υφιστάμεθα (και το ξέρουμε ότι θα το υποστούμε), είτε είμαστε νέοι μαθηματικοί, είτε πιο έμπειροι, είτε συνταξιούχοι, είτε καθηγητές παν/μίων, είτε νικητές χρυσών μεταλλίων σε Ολυμπιάδες. Αλλά δε φοβόμαστε να εκτεθούμε, να απλώσουμε τα χαρτιά και τις σκέψεις μας, να γίνουμε αντικείμενο κριτικής. Ίσα-ίσα, που νομίζω ότι αυτό μας βοηθά να γίνουμε και καλύτεροι: Προσέχουμε περισσότερο και τη λύση, και τη διατύπωση. Και περιμένουμε την κριτική των άλλων. Διότι ίσως κάτι δεν είδαμε. Διότι ίσως κάναμε μια πατάτα. Ένα σοβαρό μαθηματικό λάθος (ουδείς... άσφαλτος που λέει και η γνωστή αοιδός).

Επίσης θα ήθελα να ξέρω ποιοι είναι εκείνοι οι μαθητές που είτε διατάζουν, είτε υποδεικνύουν στον καθηγητή τους την ανωνυμία (μάλλον ιστοριούλες για παιδάκια, ε?).

Αυτά. Αυτή είναι η θέση μου περί της ανωνυμίας, και μόνο ένα πολύ καλό επιχείρημα θα με έκανε να την αλλάξω.

Αντώνης Σπυριδάκης
Γ. Λύκειο Αρκαλοχωρίου Κρήτης

#12

Καλημέρα σας
Το ζήτημα της ανωνυμίας αντιμετωπίζεται από τον κανονισμό μας ως εξής

Δεν επιτρέπεται η χρήση ύβρεων, επιθετικών εκφράσεων και προσωπικών επιθέσεων από μέλος προς μέλος. Ειδικότερα, δεν επιτρέπεται η αξιοποίηση της ανωνυμίας για οποιαδήποτε αρνητική συμπεριφορά. (άρθρο 11)

Αν δεν έχετε ιδιαίτερους λόγους προτιμήστε να αποφύγετε την ανωνυμία. Επιδιώκουμε να είμαστε μία μεγάλη παρέα. Ας γνωριστούμε. Σε περίπτωση που έχετε επιλέξει την ανωνυμία δεν πρέπει να κάνετε κατάχρησή της. Ειδικότερα να αποφεύγετε να ασκείτε έντονη κριτική για μη καθαρά μαθηματικά ζητήματα σε μέλη που επιλέγουν την επωνυμία και αναλαμβάνουν την ευθύνη όσων γράφουν (κανόνες δεοντολογίας, 2) )

Σε αυτά έχουν καταλήξει τα ιδρυτικά μέλη του mathematica και με αυτά πορευόμαστε όλοι. Τα επιπλέον είναι προσωπικές απόψεις μελών. Προσωπικά αλλά όπως είναι εύκολο να διαπιστωθεί και πολλά άλλα μέλη του mathematica δεν έχουμε καμία δυσκολία να συνομιλούμε με ανθρώπους που δεν υπογράφουν τα μηνύματα τους. Η πείρα έχει δείξει ότι πολλά μέλη στην αρχή "βγήκαν" με ψευδώνυμο και μετά δήλωσαν ποιοι είναι. Κάποιοι όμως για απολύτως σεβαστούς λόγους επιλέγουν να κρατήσουν την ανωνυμία τους.
Το ζήτημα δεν είναι νέο. Έχει ξανατεθεί εδώ:
viewtopic.php?f=40&p=48075#p48075
Μαυρογιάννης

hsiodos · #13

Καλημέρα

Βλέπω ότι υπήρξε ένα θέμα με τον Πέτρο (Μαθηματικό) . Αν και με κάλυψε ο Νίκος , γράφω επειδή δική μου προτροπή ήταν η αφορμή.
Από τον Πέτρο ζήτησα να μας πει , αν ήθελε ,(μόνο) το όνομα του .
Απλά για να μπορώ να του λέω -όταν αναφέρομαι σε κάποιο μήνυμα του- καλημέρα Πέτρο (αντί του Καλημέρα Μαθηματικέ).
Κατά τα άλλα ο καθένας έχει το δικαίωμα να διατηρήσει την ανωνυμία του τηρώντας βέβαια τον κανονισμό.

Γιώργος

ΥΓ. Πέτρο καλωσόρισες στην παρέα.

A.Spyridakis · #14

Επειδή συνάδελφε Μαυρογιάννη, είναι ευνόητο ότι η γνώμη μου βαρύνει εμένα και μόνο εμένα,
αλλά και επειδή δε μου αρέσει να δέχομαι απειλητικά και υβριστικά e-mails από -πάλι- ανώνυμους για τις θέσεις μου, θέλω να δηλώσω πως θα λέω τη γνώμη μου ευθαρσώς και κοσμίως, είτε αρέσει σε κάποιους είτε όχι. Εξάλλου στο τέλος του μηνύματός μου άφησα ανοιχτό το ενδεχόμενο να δεχτώ ένα αντίθετο επιχείρημα.

Αν, παρ' όλ' αυτά, προσθέσετε στον κανονισμό και τα πιο εκλεπτυσμένα τμήματα τού Savoir Vivre, ευχαρίστως να ακολουθήσω το δρόμο που χάραξε ο προηγούμενος Αντώνης (το όνομα φαίνεται το 'χει!

).

Αντώνης Σπυριδάκης
Από το "βλαχοχώρι" μου (όπως γράφει ο αποστολέας του e-mail)

Aladdin · #15

Καλημέρα σε όλους

Aladdin · #16

Καλημέρα σε όλους
Κύριε Σπυριδάκη δεν ήθελα να απαντήσω γιατί δεν είχα κάποιο λόγο να το κάνω.
Αλλά, οι μαθητές μου με διέταξαν και γι αυτό το κάνω.
Τί σημαίνει διαταγή;
Για να δούμε , δια και ταγή. Ταγή είναι η τάξις, η διάταξη, η διευθέτηση, η παράταξη
Ποιοι είναι αυτοί που διατάζουν;
Είπαμε, οι μαθητές. Δηλαδή το ένα μέλος της ισοδυναμίας της εκπαίδευσης. Τι να κάνουμε έχουν και αυτοί τα δεδομένα τους, να τα αγνοήσουμε; πως θα προχωρήσουμε;
Και τι διατάζουν;
Να μπεί ο καθηγητής σε τάξη, διάταξη, διευθέτηση, παράταξη
Πώς διατάζουν;
Αρχικά με την παρουσία τους, έπειτα με το βλέμμα τους τελικά με τις απορίες τους
Kαι να γίνει τί;
O καθηγητής να πράξει
Τί να πράξει;
Μα ακριβώς το ίδιο με αυτούς. Να διατάξει, με τα δικά του δεδομένα από το άλλο μέλος της ισοδυναμίας
Δηλαδή ;
Να διατάξει τώρα εκείνος δηλαδή να παύσει τις τυχόν παρενέργειες των διαταγών των μαθητών που είναι η σύγχηση και η ταραχή
στους νόες τους

Αυτή για εσάς, όπως γράφετε είναι μια ιστοριούλα για παιδάκια, το σέβομαι
Για εμένα και τους μαθητές μου είναι η ζωή μας

Χρονόπουλος Πέτρος Πανεπιστήμιο Πατρών 1991 - 1996

#17

A.Spyridakis έγραψε:Επειδή συνάδελφε Μαυρογιάννη, είναι ευνόητο ότι η γνώμη μου βαρύνει εμένα και μόνο εμένα,
αλλά και επειδή δε μου αρέσει να δέχομαι απειλητικά και υβριστικά e-mails από -πάλι- ανώνυμους για τις θέσεις μου, θέλω να δηλώσω πως θα λέω τη γνώμη μου ευθαρσώς και κοσμίως, είτε αρέσει σε κάποιους είτε όχι. Εξάλλου στο τέλος του μηνύματός μου άφησα ανοιχτό το ενδεχόμενο να δεχτώ ένα αντίθετο επιχείρημα.

Αν, παρ' όλ' αυτά, προσθέσετε στον κανονισμό και τα πιο εκλεπτυσμένα τμήματα τού Savoir Vivre, ευχαρίστως να ακολουθήσω το δρόμο που χάραξε ο προηγούμενος Αντώνης (το όνομα φαίνεται το 'χει! ).

Αντώνης Σπυριδάκης
Από το "βλαχοχώρι" μου (όπως γράφει ο αποστολέας του e-mail)

Συνάδελφε Σπυριδάκη η γνώμη σου βαρύνει μόνο εσένα και φυσικά μόνο εσένα αλλά δίνει και κάποιο τόνο έτσι δεν είναι;
Παρεμπιπτόντως θα ήθελα να σου υπενθυμίσω ότι όταν ήλθες στο mathematica σε γνωρίσαμε και σε καλωσορίσαμε ως antonis1971 πάλι έτσι δεν είναι;
Τα υπόλοιπα σχετικά με το Savoir Vivre τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά κάποιων ονομάτων και τους δρόμους που χαράζουν ας τα προσπεράσουμε. Αφορούν εσένα και μόνο.
Πάντως μιας και είναι ακόμη η αρχή της μέρας ας έχουμε κάπως χαμηλωμένους τόνους. Καλό κάνει κακό δεν κάνει.
Μαυρογιάννης

A.Spyridakis · #18

Συνάδελφε Μαυρογιάννη,

Μήπως μπερδεύεις το pathfinder με το mathematica? Γιατί ακόμα και στον κανονισμό λειτουργίας είμαι με το παρόν όνομά μου? Εξάλλου, το "antonis1971" λέει και όνομα και ηλικία.

Πάντως η έκφραση Παρεμπιπτόντως θα ήθελα να σου υπενθυμίσω ότι όταν ήλθες στο mathematica σε γνωρίσαμε και σε καλωσορίσαμε δείχνει ένα ιδιοκτησιακό αίσθημα, κάτι που δε μου αρέσει. Αν θεωρείς ότι επειδή είσαι γενικός συντονιστής, το mathematica σου ανήκει και διαγράφεις όποιον δε σου αρέσει, πες το μου να τελειώνουμε. Ποτέ δεν ψάρωνα με την εξουσία.

Πάντως σε ευχαριστώ που έδωσες τόση σημασία σε απειλές και σε ύβρεις που δέχτηκα για τις θέσεις μου.

#19

A.Spyridakis έγραψε:Συνάδελφε Μαυρογιάννη,

Μήπως μπερδεύεις το pathfinder με το mathematica? Γιατί ακόμα και στον κανονισμό λειτουργίας είμαι με το παρόν όνομά μου? Εξάλλου, το "antonis1971" λέει και όνομα και ηλικία.

Πάντως η έκφραση Παρεμπιπτόντως θα ήθελα να σου υπενθυμίσω ότι όταν ήλθες στο mathematica σε γνωρίσαμε και σε καλωσορίσαμε δείχνει ένα ιδιοκτησιακό αίσθημα, κάτι που δε μου αρέσει. Αν θεωρείς ότι επειδή είσαι γενικός συντονιστής, το mathematica σου ανήκει και διαγράφεις όποιον δε σου αρέσει, πες το μου να τελειώνουμε. Ποτέ δεν ψάρωνα με την εξουσία.

Πάντως σε ευχαριστώ που έδωσες τόση σημασία σε απειλές και σε ύβρεις που δέχτηκα για τις θέσεις μου.

Συνάδελφε Σπυριδάκη
Ασφαλώς και αντιλήφθηκες ότι το "γνωρίσαμε και σε καλωσορίσαμε" (που φυσικά αναφέρεται στον πρόδρομο του mathematica δηλαδή το pathfinder) έχει χρονική σημασία και καμία άλλη.
Είθισται όταν κάποιος έρχεται σε μία παρέα, γιατί αυτό επιδιώκουμε να είμαστε, οι υπόλοιποι να τον καλωσορίζουν και να τον καλοδέχονται. Λέω "είθισται" γιατί υπάρχουν και οι εξαιρέσεις.
Επιπλέον όπως γνωρίζεις το mathematica δεν ανήκει σε κανένα απολύτως φυσικό πρόσωπο αλλά μόνο στα διευθύνοντα μέλη του στα οποία συμπεριλαμβάνεσαι και εσύ. Και φυσικά δεν ανήκει ούτε σε ανθρώπους που έχουν, στην παρούσα φάση, εκλεγεί για να κάνουν κάποια δουλειά.
Επίσης θα γνωρίζεις ότι αποφάσεις για διαγραφές κτλ δεν μπορούν να ληφθούν από κανένα μεμονωμένο πρόσωπο.
Επομένως τα γραφόμενα μου με τίποτε δεν μπορούν να θεωρηθούν σαν "πάσα" για να δηλώσεις την διάθεση σου να μην υποτάσσεσαι σε καμία εξουσία. Διάθεση για την οποία φυσικά δεν αμφιβάλλω αλλά πως να το κάνουμε δεν είναι δα και πεδίο εφαρμογής της το mathematica.
'Οσον αφορά το θέμα των mail ξέρεις πολύ καλά ότι ούτε εγώ μπορώ να κάνω κάτι για ανώνυμα mail που δέχεσαι ούτε εσύ μπορείς να βοηθήσεις κάποιον άλλο που αντιμετωπίζει ανάλογο πρόβλημα.
Επειδή όλοι μας έχουμε αφανή αποθέματα επιθετικότητας θα έλεγα να βάλουμε εδώ ένα τέρμα σε αυτή την κουβέντα.
Αν θες γράψε εσύ δυο τρεις αράδες παραπάνω αλλά μάλλον δεν θα έχω να προσθέσω κάτι. Και ελπίζω να είναι έτσι τα πράγματα.
Μαυρογιάννης

A.Spyridakis · #20

Μπα, δεν έχω τίποτα να προσθέσω. Όλα καλά. Όπως ξέρεις, σε έχω παραδεχτεί και θαυμάσει δημοσίως για τις θέσεις σου, χωρίς φόβο και πάθος. Όπως δηλ. μίλησα και πιο πάνω, άσχετα αν ήταν προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Πάλι φίλοι:

Δε τσι ζηλεύω τσ' ομορφιές γιατί κι αυτές χαλούνε
μόνο ζηλεύω τσι φιλιές που μια ζωή κρατούνε.

Άσκηση σε όριο

Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Re: Άσκηση σε όριο

Μέλη σε σύνδεση