συνάρτηση πινάκων

[stelmarg]

έτσι μου δώθηκε η άσκηση!
το σύνολο τιμών τις μάλλον εννοεί ότι είναι οι πρώτοι n φυσικοί

Εστω ότι υπάρχει μια συνάρτηση f, επί, με f: , όπου ΄είναι το σύνολο των nxn πινάκων με πραγματικούς όρους

α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα Χ, όπου είναι ο μοναδιαίος
πίνακας.

β) Για κάθε Χ αντιστρέψιμο και για κάθε Y ανήκει στο να αποδειχθεί ότι


γ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι η μοναδική και μάλιστα f=rank

[nsmavrogiannis]

Εστω ότι υπάρχει μια συνάρτηση f, επί, με f:, όπου ΄είναι το σύνολο των nxn πινάκων με πραγματικούς όρους

Mάλλον σήμερα είναι η μέρα που δεν καταλαβαίνω. Μήπως λείπει κάτι; Οι υποθέσεις μου φαίνονται πολύ χαλαρές: Ας πάρουμε την συνάρτηση που σε κάθε αντιστοιχεί το (ακεραιο μέρος της απόλυτης τιμής του στοιχείου που βρίσκεται στην πρώτη γραμμή-πρώτη στήλη).
Μαυρογιάννης

[Mihalis_Lambrou]

Μήπως λείπει κάτι; <...>

Θα συμφωνήσω με τον Νίκο, ότι κάτι δεν πάει καλά. Ας το δούμε και έτσι:

Αν σ αναδιάταξη του {0, 1, 2, ... , n} τότε και η σύνθεση σof είναι επί του {0, 1, 2, ... , n}. Δηλαδή χάνουμε την μοναδικότητα.

Πάω στοίχημα ότι η σωστή διατύπωση είναι να γίνουν τα α) και β) υποθέσεις καί μόνο το γ) συμπέρασμα. Δηλαδή, η σωστή διατύπωση της άσκησης είναι


Έστω f επί συνάρτηση, με , όπου είναι το σύνολο των nxn πινάκων με πραγματικούς όρους, τέτοια ώστε

α) για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα Χ, ισχύει όπου είναι ο μοναδιαίος
πίνακας.

β) Για κάθε Χ αντιστρέψιμο και για κάθε Y που ανήκουν στο ισχύει ότι
f(XY)=f(YX)=f(Y)

Να αποδειχθεί ότι η f είναι η μοναδική και μάλιστα f=rank = η τάξη του πίνακα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

[Mihalis_Lambrou]

Πάω στοίχημα ότι η σωστή διατύπωση είναι να γίνουν τα α) και β) υποθέσεις καί μόνο το γ) συμπέρασμα. Δηλαδή, η σωστή διατύπωση της άσκησης είναι


Έστω f επί συνάρτηση, με , όπου είναι το σύνολο των nxn πινάκων με πραγματικούς όρους, τέτοια ώστε

α) για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα Χ, ισχύει όπου είναι ο μοναδιαίος
πίνακας.

β) Για κάθε Χ αντιστρέψιμο και για κάθε Y που ανήκουν στο ισχύει ότι
f(XY)=f(YX)=f(Y)

Να αποδειχθεί ότι η f είναι η μοναδική και μάλιστα f=rank = η τάξη του πίνακα.

Μερικά σχόλια:

1) Το α) δεν χρειάζεται γιατί έπεται από το β). Πραγματικά, αν Χ αντιστρέψιμος και πάρουμε , το β) δίνει

, όπως θέλαμε.

2) Από το β) μπορούμε να δείξουμε



Ευθύ: Από την Γραμμική Άλγεβρα ξέρουμε υπάρχουν αντιστρέψιμοι P, Q με Α = PBQ. Αλλά τότε από την β) είναι

f(B) = f(PB) = f(PBQ) = f(A).

Αντίστροφο: Έστω O, Α(1), A(2), ... , A(n) πίνακες τάξεων 0, 1, 2, ... , n αντίστοιχα.
Αν υπήρχαν κ, λ διαφορετικά με f(Α(κ)) = f(A(λ)), τότε οι αριθμοί
f(O), f(Α(1)), f(A(2)), ... , f(A(n)) θα ήσαν το πολύ n το πλήθος (όχι n+1).
Αν τώρα Β τυχαίος πίνακας , έστω τάξης μ, τότε rank(Β) = rank(A(μ)). Άρα, από το ευθύ,
f(Β) {f(O), f(Α(1)), f(A(2)), ... , f(A(n))} .
Δηλαδή η εικόνα της f θα είχε n το πολύ στοιχεία, άρα δεν είναι επί του {0, 1, 2, ... , n}. Άτοπο.

3) Πϊσω στην άσκηση: Το παραπάνω δείχνει ότι η τάξη τυχαίου πίνακα Α προσδιορίζει μοναδικά το f(A). Με άλλα λόγια υπάρχει
αναδιάταξη σ του {0, 1, ... , n} με rank = σof

Προσοχή όμως. Δεν μπορούμε να πούμε περισσότερα, όπως έδειξα στο προηγούμενο μήνυμά μου.

Συμπέρασμα: Για να βγεί το ζητούμενο χρειάζεται μία ακόμη υπόθεση. Εννοείται, πρέπει να την αναζητήσουμε ανάμεσα στις ιδιότητες που ξέρουμε ότι έχει η τάξη.
Εύκολα βλέπουμε ότι μία τέτοια είναι η για κάθε δύο nxn πίνακες.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

[Mihalis_Lambrou]

έτσι μου δώθηκε η άσκηση!

Αν είναι εύκολο, μπορείς να μας πεις από που είναι η άσκηση;

Φιλικά,

Μιχάλης

[nsmavrogiannis]

Eπειδή και εγώ αφιέρωσα κάποιο χρόνο σε αυτή την (εσφαλμένη) άσκηση θα ήθελα να μάθω την προέλευση της (βιβλίο; θέμα εξετάσεων; από ποιόν;)
Μαυρογιάννης

[stelmarg]

Βεβαίως και να σας πω και να σας ευχαριστήσω για τις πολύτιμες συμβουλές σας και για το χρόνο σας!
Μας δόθηκε σε μια εργασία στο ανοιχτό πανεπιστήμιο στο "μεταπτυχιακό στα μαθηματικά"

[Demetres]

Την συγκεκριμένη άσκηση είμαι σίγουρος πως την έχω ξαναδεί μόνο που δεν θυμάμαι αν
την είδα με την τροποποίηση που προτείνει ο Μιχάλης ή όχι.

Έψαξα πριν από λίγες μέρες τις σημειώσεις μου της γραμμικής άλγεβρας αλλά δυστυχώς δεν βρήκα αυτήν την άσκηση. Δεν μπορώ να θυμηθώ σε πιο βιβλίο θα μπορούσε να την έχω δει.

[Mihalis_Lambrou]

<...> εργασία στο ανοιχτό πανεπιστήμιο στο "μεταπτυχιακό στα μαθηματικά"

Καλές σπουδές. Είμαι βέβαιος ότι είσαι σε καλά χέρια.

Έψαξα στο διαδίκτυo να βρω περισσότερες πληροφορίες για τις Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά στο ΕΑΠ, αλλά δεν βρήκα σχεδόν τίποτα. Μόνο το

http://www1.eap.gr/schoolNews.jsp?categ ... rentId=133

Όμως πουθενά δεν βλέπω Οδηγό Σπουδών και Καθηγητικό Προσωπικό (πέρα από τους επικεφαλείς). Μπορείς να μας παραπέμψεις σχετικά;

Επίσης, η άσκηση που μας έδωσες είναι σίγουρα λάθος. Αν δοθεί λύση, θα χαρούμε να την εξετάσουμε, ώστε να προσπαθήσουμε να εντοπίσουμε το εσφαλμένο βήμα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

[chris_gatos]

Mιας και το είδα θα πω πως κι εγώ απο το Σεπτέμβρη θα είμαι μεταπτυχιακός φοιτητής στο Ε.Α.Π αφού επιλέχθηκα,μετά απο ηλεκτρονική αίτηση, στους φετινούς επιλαχόντες....Ήταν η πρώτη φορά που έκανα αίτηση και ήταν η τυχέρή!
Δε σας κρύβω, πως παρ'όλες τις δυσκολίες που έχω να αντιμετωπίσω γενικότερα σαν άνθρωπος, το συγκεκριμένο θα το κάνω με νύχια και με δόντια, σα μια προσπάθεια να κάνω ότι έπρεπε να έχω κάνει εδώ και πολύ καιρό και δεν το έκανα...Έστω και χωρίς αντίκρισμα, δε με πειράζει καθόλου...
Κι εγώ δεν ξέρω περισσότερα, αλλά περιμένω πως και πως να μάθω...

[stelmarg]

Σας ευχαριστώ πολύ κύριε Μιχάλη, για τα καλά σας λόγια!
Σας γράφω τη διεύθυνση απ΄που μπορείτε να δείτε όλα τα μεταπτυχιακά του ανοιχτού πανεπιστημίου όπως και τις θεματικές ενότητες που έχουν.

http://class.eap.gr/QuickPlace/info/Mai ... enDocument

Το δικό μου είνα το ΜΣΜ (μεταπτυχιακο στα μαθηματικά) περιλαμβάνει όπως θα δείτε 4 θεματικές ενότητες και μία διπλωματική εργασία.
Κάθε φοιτητής μπορεί να πάρει 1 ή το πολύ 2 θεματικές ενότητες τον χρόνο.
Κάθε θεματική ενότητα έχει 6 εργασίες εκ των οποίων οι 5 είναι υποχρεωτικές και πρέπει μα μαζέψει κανείς 30 μονάδες από τις εργασίες για να έχει στο τέλος το δικαίωμα να να δώσει εξετάσεις των Ιούνιο.
Για να μην σας κουράζω όμως μπορείτε να μπείτε στην διεύθυνση που σας έδωσα να δείτε τις πληροφορίες της κάθε θεματικής ενότητας ξεχωριστά, τα βιβλία, τους διδάσκοντες, καθώς επίσης και όλες τις γενικές πληροφορίες του κανονισμού σπουδων του ανοιχτού πανεπιστημίου.
Κύριε Χρήστο σας ευχομαι καλη επιτυχία στις σουδές σας του χρόνου,και για οποιαδήποτε πληροφορία θα ημουν χαρούμενος να σας απαντήσω, αν την γνωρίζω.

[nsmavrogiannis]

Χρήστο από καρδιάς σου εύχομαι καλή επιτυχία στο επόμενο σου βήμα.
Και άκουσε με, έστω και χάριν διαφοράς ηλικίας, δεν υπάρχουν μετέωρα βήματα.
'Ολα τα βήματα αφήνουν το χνάρι τους. Ακόμα και αν είναι μεγάλα σαν πέταγμα.
Του πελαργού, του σπουργίτη, του αητού αδιάφορο!
Μαυρογιάννης

[chris_gatos]

Νίκο ευχαριστώ...Στη ζωή μου πάντα βάδιζα εχοντας κάποια πρότυπα. Είναι σίγουρο πως κι εσύ είσαι ένα απο αυτά.
Για τις γνώσεις σου, για τους τρόπους σου, για την παιδεία σου και συμπυκνώνοντας όλα αυτά,αν θες,για την αγέρωχη στάση σου απέναντι στη ζωή...Είμαι πολύ τυχερός που σε έχω γνωρίσει, κι εσένα αλλά
και τους άλλους συνάδελφους μέσα απο εδώ...
Πραγματικό σχολείο, ο Νίκος Μαυρογιάννης, έστω κι εκ του μακρώθεν!
Χίλια ευχαριστώ ξανά και είναι σίγουρο πως έχω ακόμα πολλά να...μάθω παρακολουθώντας και ακουγοντάς σε!
Είμαι πραγματικά τρισευτυχισμένος...

[Mihalis_Lambrou]

Σας γράφω τη διεύθυνση απ΄που μπορείτε να δείτε όλα τα μεταπτυχιακά του ανοιχτού πανεπιστημίου όπως και τις θεματικές ενότητες που έχουν.

http://class.eap.gr/QuickPlace/info/Mai ... enDocument

Το δικό μου είνα το ΜΣΜ (μεταπτυχιακο στα μαθηματικά) περιλαμβάνει όπως θα δείτε 4 θεματικές ενότητες και μία διπλωματική εργασία.

Ευχαριστώ. Πολύ ενδιαφέρον το πρόγραμμα. Ας προσθέσω ότι όσους από το διδακτικό προσωπικό τυχαίνει να γνωρίζω, είναι άτομα με σπάνιο ήθος και ιδιαίτερες μαθηματικές ικανότητες.
Διαβίβασε σε παρακαλώ τα θερμά μου χαιρετίσματα στον Μιχάλη Ανούση.

Χρήστο: ολόψυχα σου εύχομαι καλές σπουδές στο ΕΑΠ. Επειδή εκεί αναμφίβολα θα δείξεις το ίδιο μεράκι και πάθος για τα Μαθηματικά που δείχνεις στη Λέσχη μας, οι θυσίες σου για περαιτέρω σπουδές θα σου αποδώσουν ουσιαστικά οφέλη. Μη ξεχνάς ότι
Της παιδείας, φυσίν, την μεν ρίζαν είναι πικράν τον δε καρπόν γλυκύν (Ισοκράτης)

Φιλικά,

Μιχάλης

[chris_gatos]

Μιχάλη, ευχαριστώ απο καρδιάς!
Σας υπερευχαριστώ όλους σας!

[stelmarg]

Το τρίτο θέμα στις εξετάσεις σίμους μοιάζει πολύ