Ορθογώνιο τρίγωνο και μεγιστη τιμή!

#1

Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα, να βρεθούν εκείνα για τα οποία μεγιστοποιείται η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{K=\frac{c+h}{a+b}}$ ,

όπου $\displaystyle{a,b}$ οι κάθετες πλευρές, $\displaystyle{c}$ η υποτείνουσα και $\displaystyle{h}$ το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.

#2

Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα εκείνo για τα οποίo μεγιστοποιείται η τιμή της παράστασης K είναι το ισοσκελές.
Αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το K^2

.
Av m είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα τότε
$\displaystyle{2h\leq2m=c}$ . Το ίσον ισχύει μόνο όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Έχουμε

$\displaystyle{K^2=(\frac{c+h}{a+b})^2=\frac{c^2+h^2+2ch}{a^2+b^2+2ab}=\frac{c^2+h^2+4E}{c^2+4E}=1+\frac{h^2}{c^2+4E}=1+\frac{2h^2}{2c^2+4ch}\leq1+\frac{hc}{2c^2+4ch}= 1+\frac{h}{2c+4h}\leq1+\frac{h}{4h+4h}=\frac{9}{8}}$ .

H τιμή 9/8 επιτυγχάνεται μόνο όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα είναι η μέγιστη τιμή του K^2

και το ισοσκελές τρίγωνο είναι αυτό για το οποίο έχουμε το μέγιστο.

Ορθογώνιο τρίγωνο και μεγιστη τιμή!

Ορθογώνιο τρίγωνο και μεγιστη τιμή!

Re: Ορθογώνιο τρίγωνο και μεγιστη τιμή!

Μέλη σε σύνδεση