Ελάχιστη τιμή

#21

Νομίζω πως αδικούμαι και μάλιστα κατάφωρα...Δεν καταλαβαίνω πως φάνηκε αλλά πραγματικά δεν ήθελα να θίξω κάποιον. Τη γνώμη μου είπα. Αν μη τι άλλο δε μπορούν να συγκριθούν οι επιτυχίες με τις...αποτυχίες .Κι εδώ εννοώ εμένα. Καληνύχτα σας ....

#22

Χρήστο σου ζητώ συγνώμη, αλλά ίσως με παρεξήγησες: Έκανα χιούμορ λέγοντας μία καλή κουβέντα για τον Σιλουανό, και τίποτα άλλο.

Φιλικά,

Μιχάλης.

#23

Καταθέτω μια ακόμα λύση.

#24

Αγαπητοί φίλοι, επιτρέψτε μου δυο λόγια επειδή το πρόβλημα αυτό με παίδεψε αρκετά και ήδη έχω δημοσιεύσει δύο λανθασμένες (πλην όμως ... κομψές) απαντήσεις.

Κατ΄αρχήν έχουμε δεδομένο ότι το ελάχιστο είναι το $2+\sqrt{2}$ , όταν β = γ.
Αποδείχτηκε από τις αναρτημένες λύσεις. Το είχα επαληθεύσει με τη βοήθεια προγράμματος για τη συνάρτηση f(x) = ημx + συνx + εφx + σφx 0 < x < π/2

Η πλάνη οφειλέται στο ότι γνώριζα το αποτέλεσμα και απλά ήθελα να το τεκμηριώσω.
Επίσης, προσπάθησα να στηριχτώ σε στοιχειώδη εργαλεία, σκεπτόμενος ότι είναι άσκηση Γυμνασίου.

nicolae έγραψε:Φίλε Γιάννη, η άσκηση αλιεύθηκε από ξενόγλωσσο περιοδικό που απευθύνεται σε μαθητές γυμνασίου...άρα πρέπει να υπάρχει στοιχειώδης λύση. Η λύση σου βεβαίως είναι σωστή

Τα πράγματα ξεκαθάρισαν με την διευκρίνηση του Σιλουανού:

smar έγραψε:Αυτό που συμβαίνει εδώ (δλδ το να πάει η μια ανισότητα κατά τη φορά που θέλουμε αλλά η άλλη να αλλάζει δείχνει ότι η ανισότητα είναι σφιχτή , απλά η μία φορά είναι πιο ""ισχυρή"" από την άλλη και αυτό φαίνεται από τη λύση μου (η οποία παρεπιπτόντως δεν σχολιάστηκε...(έχω κάπου λάθος ?))

Θα συνεχίσω το ψάξιμο για μια στοιχειώδη λύση.
Επιτρέψτε μου να αμφιβάλω αν η άσκηση είναι για μαθητές ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (όσο δυνατοί κι αν είναι).
Από το διάλογο που προηγήθηκε πιστεύω αυτό είναι ξεκάθαρο!
Πιστεύω ότι οι αναρτημένες λύσεις δεν είναι επιπέδου Γυμνασίου.
Ο μετασχηματισμός του κλάσματος του Σιλουανού απαιτεί ιδιαίτερη φαντασία και εξοικείωση. Αυτή, νομίζω, είναι η δικαιολογημένη παρατήρηση του Χρήστου, που ασφαλώς και δεν ήθελε να θίξει κανένα.
Η συνύπαρξη στο forum ανθρώπων με διαφορετικά (μαθηματικά) ενδιαφέροντα δίνει ζωντάνια και ενδιαφέρον.

Φιλικά
Γιώργος Ρίζος

#25

chris_gatos έγραψε:Κοιτώντας ξανά την άσκηση και τους διαλόγους των συναδέλφων, έχω να πω προς τον Γιώργο Μπαλόγλου πως πραγματικά δεν καταλαβαίνω τη λύση του (ίσως για τον τρόπο που είναι εκφρασμένη), αλλά και για τη λύση του φίλου smar να πω πως είναι όντως στοιχειώδης, αν και μοιάζει προκάτ αφού ''γνωρίζει'' απο πριν το αποτέλεσμα και το ζητούμενο.Εννοώ φυσικά πως φαίνεται λίγο μαγικό, το πως θεωρεί τη διαφορά και παρουσιάζει το $\displaystyle{\displaystyle 2 + \sqrt 2 }$ .
Κάποιος που θα τη διάβαζε ανυποψίαστος, θα είχε πολλά ερωτηματικά!

Οσον αφορα την λυση του smar κατ' αρχην, συμφωνω με οσα εγραψε ο Παυλος και προσθετω οτι ναι μεν οι αλγεβρικες εκφρασεις που χρησιμοποιηθηκαν ειναι πολυπλοκες εως αντιπαθεις, πλην ομως δειχνουν μεγαλη δεξιοτεχνια.

Θα κανω τωρα μια προσπαθεια να ξαναπαρουσιασω την λυση μου, με αλλη σειρα βηματων αυτην την φορα.

Παρατηρω κατ' αρχην οτι η συναρτηση 2/(χ^.5) + χ ειναι αυξουσα στο [1, οο): αυτο γινεται και *χωρις παραγωγους*, μεσω 1 < χ < ψ -----> 2/(χ^.5) + χ < 2/(ψ^.5) + ψ <------> 2 < (χ^.5 + ψ^.5)*(χψ)^.5. (Πιο αναλυτικα, η 1 < χ < ψ συνεπαγεται την 2 < (χ^.5 + ψ^.5)*(χψ)^.5 που ειναι ισοδυναμη προς την 2/(χ^.5) + χ < 2/(ψ^.5) + ψ (υποθετοντας χ < ψ παντοτε).)

Επομενως επειδη 2 <= [(β^2) + (γ^2)]/βγ, προκυπτει -- με χ = 2, ψ = [(β^2) + (γ^2)]/βγ, χ <= ψ -- οτι

2^.5 + 2 <= [2(βγ)^.5]/(β^2 + γ^2)^.5 + [(β^2) + (γ^2)]/βγ.

Ισχυει ομως και η β + γ >= 2(β^.5)*(γ^.5) = 2(βγ)^.5, οποτε καταληγουμε στην ανισοτητα

2^.5 + 2 <= [2(βγ)^.5]/(β^2 + γ^2)^.5 + [(β^2) + (γ^2)]/βγ <= (β + γ)/(β^2 + γ^2)^.5 + [(β^2) + (γ^2)]/βγ.

Το ακρο δεξιο ακρο της ανωτερω ανισοτητας ειναι *ισο* προς (β + γ)/α + (β^2 + γ^2)/βγ, το οποιο ειναι
*ακριβως* η παρασταση που θελουμε να ελαχιστοποιησουμε.

Αν εξακολουθει να υπαρχει καποιο σκοτεινο σημειο, ενημερωστε παρακαλω.

Γιωργος Μπαλογλου

mathfinder · #26

Μετά φόβου λάθους επισυνάπτω κι άλλη μία λύση για την άσκηση .

Αθανάσιος Μπεληγιάννης

#27

mathfinder έγραψε:Μετά φόβου λάθους επισυνάπτω κι άλλη μία λύση για την άσκηση .

Αθανάσιος Μπεληγιάννης

Σωστη φαινεται, και πολυ ομορφη και γεωμετρικη -- πιο ομορφη και απο το ιδιο το προβλημα

Γιωργος Μπαλογλου

#28

Καλημέρα. Νομίζω πως αν κάποιος πρέπει να ζητήσει συγνώμη, αυτός είμαι σίγουρα εγώ, για την παρουσία μου εδώ μέσα,αλλά
και για την απρόσκοπτη χρήση ειλικρίνειας, που με χαρακτηρίζει. Θα διορθωθώ, άμεσα κιόλας!
Η λύση που αναφέρθηκα νομίζω πως μου δείχνει το δρόμο για μια νέα αποδεικτική μέθοδο, που αγνοούσα μέχρι τώρα.
Μόλις πριν απο λίγο κατάλαβα τι εστί, αυτό το αναθεματισμένο .5 που επικρατούσε στη λύση του Γιώργου Μπαλόγλου.
Είναι .5=1/2, δε χρειάζεται και να είσαι ολυμπιονίκης για να το καταλάβεις, αλλά εγώ ένεκα του οτι είμαι γενικά βραδύκαυστος το άργησα λιγάκι...Όλα καλά,λοιπόν!
Να'στε όλοι καλά!

#29

chris_gatos έγραψε:Καλημέρα. Νομίζω πως αν κάποιος πρέπει να ζητήσει συγνώμη, αυτός είμαι σίγουρα εγώ, για την παρουσία μου εδώ μέσα,αλλά
και για την απρόσκοπτη χρήση ειλικρίνειας, που με χαρακτηρίζει. Θα διορθωθώ, άμεσα κιόλας!
Η λύση που αναφέρθηκα νομίζω πως μου δείχνει το δρόμο για μια νέα αποδεικτική μέθοδο, που αγνοούσα μέχρι τώρα.
Μόλις πριν απο λίγο κατάλαβα τι εστί, αυτό το αναθεματισμένο .5 που επικρατούσε στη λύση του Γιώργου Μπαλόγλου.
Είναι .5=1/2, δε χρειάζεται και να είσαι ολυμπιονίκης για να το καταλάβεις, αλλά εγώ ένεκα του οτι είμαι γενικά βραδύκαυστος το άργησα λιγάκι...Όλα καλά,λοιπόν!
Να'στε όλοι καλά!

Τελος καλο ... ολα καλα

#30

Πολύ όμορφη η λύση του κ.Μπεληγιάννη και εξαιρετική η ιδέα του κ.Παύλου . (κ.Μπάλογλου συγχωρέστε με αλλά δεν διάβασα τη λύση σας καθώς χρειαζόταν να κάνω μια αποκρτογράφηση στην αρχή και ο χρόνος μου ήταν περιορισμένος)
Και καθώς πολύς λόγος έγινε θα απαντήσω στην ερώτηση του chrisgatos (δλδ πώς βρήκα αυτό το $2+\sqrt{2}$ )

Συνήθως όταν έχει μια κυκλικά συμετρική παράσταση ως προς τρία γράμματα και ζητάει το ελάχιστο ή το μέγιστο αυτό που δοκιμάζω πρώτα είναι a=b=c και προσπαθώ να την αποδείξω με τη σταθερά που βρίσκω από εκεί (αν δε δουλέψει τότε αλλάζει η μέθοδος . Αλλά σε μεγάλο ποσοστό δουλεύει) . Στη συγκεκριμμένη περίπτωση προφανώς δεν μπορούμε να έχουμε a=b=c οπότε αυξάνω το βαθμό ελευθερίας και παίρνω να δω την τιμή της παράστασης στο b=c και μετά προσπαθώ να την αποδείξω . Αυτό σε καμία περίπτωση δε μου εξασφαλίζει ότι όντως θα δουλέψει το φράγμα που βρίσκω για b=c αλλά τουλάχιστον ξέρω ότι έχει μεγάλες πιθανότητες να δουλέψει (εξάλλου αν ήμον σίγουρος ότι κάτι τέτοιο θα δούλευε αυτό θα συνεπάγονταν και μια λύση της άσκησης

)
Τέλος να πω ότι τις υποψίες μου ότι για b=c παίρνουμε το φράγμα μας , μου τις έκανε πιο έντονες και το ότι η μία παράσταση ήταν $\geq 2$ και η άλλη $\leq \sqrt{2}$
Hope things are more clear now

#31

smar έγραψε:Πολύ όμορφη η λύση του κ.Μπεληγιάννη και εξαιρετική η ιδέα του κ.Παύλου . (κ.Μπάλογλου συγχωρέστε με αλλά δεν διάβασα τη λύση σας καθώς χρειαζόταν να κάνω μια αποκρτογράφηση στην αρχή και ο χρόνος μου ήταν περιορισμένος)
Και καθώς πολύς λόγος έγινε θα απαντήσω στην ερώτηση του chrisgatos (δλδ πώς βρήκα αυτό το $2+\sqrt{2}$ )

Χασμα γενεων αγαπητε Σιλουανε: προφανως δεν εχεις ζησει τα newsgroups (sci.math, sci.math.research) οπου γραφαμε τα παντα στο λεγομενο ASCII ... αλλα συνηθισες στα μαθηματικα blogs και sites με το LATEX (τελευταια 2-3 χρονια να πω?) ... και καλα κανεις εδω που τα λεμε! [Εδω και πανω απο δεκαετια δεν ειναι πλεον δυνατον να δημοσιευσει κανεις σοβαρη μαθηματικη ερευνα χωρις LATEX -- ως καπως περιθωριακο στοιχειο επεζησα χρησιμοποιωντας το MathWriter, τωρα στα γεραματα μπορει τελικα να καταληξω στο LATEX, θεμα χρονου μαλλον...]

Γιωργος Μπαλογλου

ΥΓ Κατα διαβολικη συμπτωση εχασα σημερα το Operating System 9 στο ηλικιας 4 ετων Macintosh μου (με OS 10 αλλα και με OS 9 στο υποβαθρο), οποτε δεν μπορω πλεον να χρησιμοποιησω το MathWriter

nicolae · #32

Rigio έγραψε: Επιτρέψτε μου να αμφιβάλω αν η άσκηση είναι για μαθητές ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (όσο δυνατοί κι αν είναι).
Από το διάλογο που προηγήθηκε πιστεύω αυτό είναι ξεκάθαρο!

Φιλικά
Γιώργος Ρίζος

Φίλε Γιώργο, η άσκηση αλιεύθηκε από ένα Βιετναμέζικο περιοδικό που είναι αντίστοιχο του δικού μας ''Ευκλείδη Α''. Δεν έχω scanner να το αναρτήσω, όμως στέλνω φωτοτυπία σε όποιον το επιθυμεί.

Ευχαριστώ όλους σας για το χρόνο που διαθέσατε για την άσκηση αυτή!!

#33

nicolae έγραψε: Φίλε Γιώργο, η άσκηση αλιεύθηκε από ένα Βιετναμέζικο περιοδικό που είναι αντίστοιχο του δικού μας ''Ευκλείδη Α''.

Αγαπητέ Νικόλα,

δεν είχα καμμία αμφιβολία ότι η άσκηση όντως ήταν από περιοδικό για Γυμνάσιο, όπως είχες προαναφέρει.
Απλά εξέφρασα τη γνώμη ότι δεν αντιστοιχεί σε δυνατότητες μαθητών Γυμνασίου και επιπλέον ζήτησα τη γνώμη πάνω σ΄αυτό όσων συμμετείχαν στη συζήτηση.
Υπάρχει στο περιοδικό αυτό "μαθητική" λύση;

Φιλικά
Γιώργος Ρίζος

nicolae · #34

Rigio έγραψε: Αγαπητέ Νικόλα,

δεν είχα καμμία αμφιβολία ότι η άσκηση όντως ήταν από περιοδικό για Γυμνάσιο, όπως είχες προαναφέρει.
Απλά εξέφρασα τη γνώμη ότι δεν αντιστοιχεί σε δυνατότητες μαθητών Γυμνασίου και επιπλέον ζήτησα τη γνώμη πάνω σ΄αυτό όσων συμμετείχαν στη συζήτηση.
Υπάρχει στο περιοδικό αυτό "μαθητική" λύση;

Φιλικά
Γιώργος Ρίζος

Δυστυχώς δεν έχω το επόμενο τεύχος...

#35

gbaloglou έγραψε:
mathfinder έγραψε:Μετά φόβου λάθους επισυνάπτω κι άλλη μία λύση για την άσκηση .

Αθανάσιος Μπεληγιάννης
Σωστη φαινεται, και πολυ ομορφη και γεωμετρικη -- πιο ομορφη και απο το ιδιο το προβλημα

Μου δινει μαλιστα και μια ιδεα για μια ασκηση που ειναι, νομιζω, σε πολυ γυμνασιακα πλαισια (και που μπορει να ειναι και γνωστη, εννοειται):

Αν σε τριγωνο ΑΒΓ με υψη ΒΔ, ΓΕ και διαμεσους ΒΖ, ΓΗ οι λογοι ΒΔ/ΒΖ και ΓΕ/ΓΗ ειναι ισοι τοτε ΑΒ = ΑΓ.

Γιωργος Μπαλογλου

#36

gbaloglou έγραψε:
gbaloglou έγραψε:
mathfinder έγραψε:Μετά φόβου λάθους επισυνάπτω κι άλλη μία λύση για την άσκηση .

Αθανάσιος Μπεληγιάννης
Σωστη φαινεται, και πολυ ομορφη και γεωμετρικη -- πιο ομορφη και απο το ιδιο το προβλημα
Μου δινει μαλιστα και μια ιδεα για μια ασκηση που ειναι, νομιζω, σε πολυ γυμνασιακα πλαισια (και που μπορει να ειναι και γνωστη, εννοειται):

Αν σε τριγωνο ΑΒΓ με υψη ΒΔ, ΓΕ και διαμεσους ΒΖ, ΓΗ οι λογοι ΒΔ/ΒΖ και ΓΕ/ΓΗ ειναι ισοι τοτε ΑΒ = ΑΓ.

Οχι, δεν ισχυει -- με ξεγελασε το σχημα*! Για αντιπαραδειγμα θεωρηστε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ με ΑΓ = 1, ΒΓ = 2^.5 (τετραγωνικη ριζα του 2), ΑΒ = 3^.5 (τετραγωνικη ριζα του 3).

*υπαρχει αποδειξη για οξυγωνια τριγωνα με την επιπλεον παραδοχη/συμπτωση οτι αμφοτερες οι διαμεσοι ΒΖ και ΓΗ ειναι πιο κοντα στην ΒΓ απ' οτι τα υψη ΒΔ και ΓΕ.

Γιωργος Μπαλογλου

#37

Αγαπητοί φίλοι, βρήκα λίγο χρόνο και ασχολήθηκα ξανά με το πρόβλημα του nicolae.

Θα παρακαλούσα να ελέγξετε την απάντησή που δίνω παρακάτω, για την οποία προσπάθησα να είναι όσο το δυνατό πιο κοντά σε "σχολικά μαθηματικά".
Τη παραγώγιση δεν την απέφυγα. Εξακολουθώ να πιστεύω ότι δεν αντιστοιχεί σε επίπεδο γυμνασίου.

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με $\hat A = 90^\circ$ . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $P = \frac{{\beta ^2 \left( {\alpha + \gamma } \right) + \gamma ^2 \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\alpha \beta \gamma }}$
Nicolae (mathematica.gr)

Είναι: $P = \frac{{\beta ^2 \left( {\alpha + \gamma } \right) + \gamma ^2 \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\alpha \beta \gamma }} = \frac{{\alpha \left( {\beta ^2 + \gamma ^2 } \right)}}{{\alpha \beta \gamma }} + \frac{{\beta \gamma \left( {\beta + \gamma } \right)}}{{\alpha \beta \gamma }} = \frac{{\alpha ^2 }}{{\beta \gamma }} + \frac{{\beta + \gamma }}{\alpha }$

: elaxisto.png (2.4 KiB) Προβλήθηκε 3436 φορές

Είναι $\left( {\beta + \gamma } \right)^2 = \beta ^2 + \gamma ^2 + 2\beta \gamma \;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\beta + \gamma = \sqrt {\alpha ^2 + 2\beta \gamma } \;\; \Rightarrow P = \frac{{\alpha ^2 }}{{\beta \gamma }} + \sqrt {\frac{{\alpha ^2 + 2\beta \gamma }}{{\alpha ^2 }}}$

Θέτω $\frac{{\beta \gamma }}{{\alpha ^2 }} = x$ , οπότε $P = \frac{1}{x} + \sqrt {1 + 2x}$

Είναι: β = α ημφ, γ = α συνφ άρα $x = \frac{{\beta \gamma }}{{\alpha ^2 }} = \eta \mu \phi \cdot \sigma \upsilon \nu \phi = \frac{{\eta \mu 2\phi }}{2},\;\;\phi \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$

Tο x παίρνει μέγιστη τιμή $\frac{1}{2}$ όταν $\phi = \frac{\pi }{4}$ .
Η συνάρτηση ${\rm P}\left( x \right) = \frac{1}{x} + \sqrt {1 + 2x} ,\;\;x \in \left( {0,\;\frac{1}{2}} \right]$ έχει παράγωγο: ${\rm P}{{\prime}\left( x \right) = - \frac{1}{{x^2 }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 2x} }} = \frac{{x^2 - \sqrt {1 + 2x} }}{{x^2 \sqrt {1 + 2x} }},\;\;x \in \left( {0,\;\frac{1}{2}} \right)$

Είναι $x < \frac{1}{2}\;\; \Rightarrow \;\;x^2 < \frac{1}{4},\;\;\;0 < x\;\; \Rightarrow \;\;\sqrt {1 + 2x} > 1$ , άρα Ρ'(x) < 0, οπότε η P(x) είναι γνήσια φθίνουσα, άρα $P\left( x \right) \ge P\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2 + \sqrt 2$

Γιώργος Ρίζος

Να σημειώσω ότι στην αντμετώπιση του θέματος υπάρχουν κάποιες ομοιότητες με τη λύση του Γ. Μπαλόγλου.

#38

Δυο παρατηρησεις για την λυση του κ. Ριζιου:

1) Δεν χρειαζομαστε τριγωνομετρια για την βγ/(α^2) <= 1/2, καθως 2βγ <= β^2 + γ^2 = α^2

2) Δεν χρειαζομαστε παραγωγους για να δειξουμε οτι η P ειναι φθινουσα στο [0, 1/2] καθως για 0 < χ < ψ η P(χ) > P(ψ) ειναι ισοδυναμη προς την (1+2ψ)^.5 - (1+2χ)^.5 < 1/χ - 1/ψ και, μεσω πολλαπλασιασμου με το συζυγες, προς την 2χψ < (1+2ψ)^.5 + (1+2χ)^.5 ... η οποια βεβαιως ισχυει για χ, ψ στο [0, 1/2].

Γιωργος Μπαλογλου

#39

Rigio έγραψε: Να σημειώσω ότι στην αντiμετώπιση του θέματος υπάρχουν κάποιες ομοιότητες με τη λύση του Γ. Μπαλόγλου.

Οντως υπαρχουν ομοιοτητες, αλλα και μια ελαφρια βελτιωση ... καθοτι στην δικη μου λυση απαιτειται ενα επιπλεον βημα, εστω και τετριμμενο -- αναφερομαι στην δευτερη ανισοτητα παρακατω:

2^.5 + 2 <= [2(βγ)^.5]/(β^2 + γ^2)^.5 + [(β^2) + (γ^2)]/βγ <= (β + γ)/(β^2 + γ^2)^.5 + [(β^2) + (γ^2)]/βγ

Γιωργος Μπαλογλου

#40

Στο συνημμένο κάνω μια πρόταση για στοιχειώδη λύση. Στην αρχή δεν απλοποιώ το δεύτερο κλάσμα για να φανεί η μέθοδός της.

Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση