Ελάχιστη τιμή

#41

Κώστα,

τώρα, νομίζω ολοκληρώθηκε ο κύκλος της άσκησης.
Ἰσως αυτό είχε στο νου του ο θεματοδότης.

Γιώργος Ρίζος

#42

rek2 έγραψε:Στο συνημμένο κάνω μια πρόταση για στοιχειώδη λύση. Στην αρχή δεν απλοποιώ το δεύτερο κλάσμα για να φανεί η μέθοδός της.

Κώστα προσοχή, η λύση έχει ένα πολύ λεπτό λογικό σφάλμα που την ακυρώνει.
Ας ξαναδούμε τον συλλογισμό (χωρίς τις πράξεις). Γράφεις (τα σημειώνω με μπλε, για ευκολία του αναγνώστη)

< .... > $\frac{b^2(a+c)+c^2(a+b)}{abc} \ge \frac{2c^2(a+c)}{ac^2} = 2(1+\frac{c}{a})$

και η αντίστοιχη ισότητα ισχύει ακριβώς όταν b=c < ......>

Μέχρι εδώ σωστά. Συνεχίζεις λέγοντας

Για b = c το τρίγωνο είναι ισοσκελές, οπότε $a = c \sqrt{2}$ και $2(1+\frac{c}{a}) = ... = 2 + \sqrt{2}$
που είναι το ζητούμενο ελάχιστο.

Όχι. Το σφάλμα είναι ακριβώς στην τελευταία γραμμή, όπως εξηγώ αμέσως παρακάτω.

Η μεθοδολογία της λύσης είναι η εξής, που για ευκολία θα την παραθέσω με μία μεταβλητή x αντί τρεις, α, β, γ:

Θέλουμε το ελάχιστο της f(x). Πρώτα δείχνουμε ότι $f(x) \ge g(x)$ με ισότητα αν και μόνον αν x = x_0

, άρα το ελάχιστο της f είναι g(x_0).

Το εξής παράδειγμα δείχνει το σφάλμα στον συλλογισμό:

Να βρεθεί το ελάχιστο της f(x) = x^2 + (2x-1)^2

.

Έχουμε $x^2 + (2x-1)^2 \ge (2x-1)^2$ με ισότητα αν και μόνον αν x = 0. Όμως για x = 0 έχουμε (2x-1)^2 = 1

, που είναι το ζητούμενο ελάχιστο (;).

Από την άλλη, για x = ½ παίρνουμε f(1/2) = ¼, δηλαδή τιμή μικρότερη από το υποτιθέμενο ελάχιστο.

Ελπίζω να ξεκαθάρισα το λεπτό σημείο.

Φιλικά,

Μιχάλης

nicolae · #43

Σήμερα βρήκα σε επόμενο περιοδικό, την επίσημη λύση της άσκησης αυτής. Απολαύστε την και εκτοξευθείτε στο διάστημα όπως και εγώ!!

Καταρχήν είναι:
$a^2=b^2+c^2\geq2bc$ οπότε είναι $a\geq\sqrt{2bc}$

Επομένως, σύμφωνα με την ανισότητα Cauchy (AM-GM), είναι:
$\displaystyle P=\frac{b^2(c+a)+c^2(b+a)}{abc}=\frac{bc(b+c)+a(b^2+c^2)}{abc}=\frac{b+c}{a}+\frac{a^2}{bc}\geq \\ \geq\frac{2\sqrt{bc}}{a}+\frac{a\sqrt{2bc}}{bc}=\left(\frac{2\sqrt{bc}}{a}+\frac{a}{\sqrt{bc}}\right)+\frac{a(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{bc}}\geq2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2bc}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{bc}}= \\ =2+\sqrt{2}$

Σε όλες τις περιπτώσεις, η ισότητα ισχύει μόνο για b=c,

άρα η ελάχιστη τιμή της δοσμένης παράστασης είναι $2+\sqrt{2}$

mathfinder · #44

Νίκο , Χριστός Ανέστη και χρόνια πολλά
Το μόνο σχόλιο που μου έρχεται να κάνω για τη λύση αυτή είναι τα λόγια του Sherlock Holmes : << It' s elementary dr Watson , it' s elementary >>

Υπάρχει στο περιοδικό καμμία λύση από μαθητές Γυμνασίου ;

Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση