Όριο ολοκληρώματος

Κική · #1

Στο βιβλίο των ΣΚΥΦΑ-ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΥ-ΓΙΑΝΝΑΚΟΥ υπάρχει η λυμένη άσκηση:
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R με f(0)=2004 , τότε να υπολογίσετε το όριο

$\lim_{x\rightarrow 0}\int_{a}^{b}{f(xt)}dt$

Θέτουμε u=xt.....
Αναρωτιέμαι γιατί δεν μπορεί να γίνει αντικατάσταση εφόσον η f είναι συνεχής στο 0
Αν μπορεί κάποιος να με βοηθήσει

#2

Γιατί από τις σχολικές γνώσεις δεν προκύπτει ότι κατά την εναλλαγή ορίου και ολοκλήρωσης η σειρά δεν παίζει ρόλο. Δηλαδή οι μαθητές δεν ξέρουν ότι το όριο "μπαίνει μέσα" στο ολοκλήρωμα. Βέβαια υπό αρκετά γενικές υποθέσεις αυτό ισχύει και η απόδειξη μπορεί να βρεθεί σε όλα σχεδόν τα βιβλία Ανάλυσης.
Αυτο δηλαδή που δεν μπορεί να αποδειχθεί στο σχολικό επίπεδο είναι ότι
$\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }\int_{a}^{b}u\left( x,t\right) dt=\int_{a}^{b}\left( \lim\limits_{x\rightarrow \sigma }u\left( x,t\right) \right) dt$
Στην συγκεκριμένη άσκηση αυτό που πραγματικά συμβαίνει είναι ότι για κάθε

, κάθε φορά, ολοκληρώνουμε την συνάρτηση $g_{x}$ με $g_{x}(t)=f(xt)$ και μετά ορίζεται η συνάρτηση
$h:x\rightarrow \int_{a}^{b}g_{x}\left( t\right) dt$
και αυτής της συνάρτησης αναζητούμε το όριο για $x\rightarrow 0$
Ελπίζω να βοήθησα
Μαυρογιάννης

#3

Κική έγραψε:Στο βιβλίο των ΣΚΥΦΑ-ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΥ-ΓΙΑΝΝΑΚΟΥ υπάρχει η λυμένη άσκηση:
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R με f(0)=2004 , τότε να υπολογίσετε το όριο

$\lim_{x\rightarrow 0}\int_{a}^{b}{f(xt)}dt$

Θέτουμε u=xt.....
Αναρωτιέμαι γιατί δεν μπορεί να γίνει αντικατάσταση εφόσον η f είναι συνεχής στο 0
Αν μπορεί κάποιος να με βοηθήσει

H χρήση της αντικατάστασης χρησιμοποιεί την ιδιότητα ότι για κάθε σταθερό t ισχύει
$\lim_{x\rightarrow 0}{f(xt)} = f(0)$ . Οπότε αυτό που προσιορίζει είναι το
$\int_{a}^{b}\lim_{x\rightarrow 0}{f(xt)}dt$ .
Όμως, γενικά, είναι
$\lim_{x\rightarrow 0}\int_{a}^{b}{f(xt)}dt \ne \int_{a}^{b}\lim_{x\rightarrow 0}{f(xt)}dt$ .

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα τέτοιων περιπτώσεων. Στην βιβλιογραφία το φαινόμενο αυτό αναφέρεται ως "γενικά δεν επιτρέπεται η εναλλαγή ορίου και ολοκλήρωσης" .

Όμοια, "γενικά δεν επιτρέπεται η εναλλαγή ορίου και παραγώγισης" . Π.χ. δείξε

Άσκηση: $\lim_{a\rightarrow 0} \frac {d}{dx}\frac{sin(ax)}{a} \ne \frac {d}{dx}\lim_{a\rightarrow 0}\frac{sin(ax)}{a}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Νίκο, με πρόλαβες όσο έγραφα. Το αφήνω όμως.

Κική · #4

Κύριοι, σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας.
Κατάλαβα τι εννοείτε.

#5

Eπισυνάπτω μία περικοπή από το βιβλίο του Brand: Μαθηματική Ανάλυση που έχει εκδόσει η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (έχω κάνει μοντάζ από δύο σελίδες). Επίζω το θέμα να φαίνεται πιό καθαρά.

brand.pdf: (216.81 KiB) Μεταφορτώθηκε 253 φορές

Mihalis_Lambrou έγραψε: Νίκο, με πρόλαβες όσο έγραφα. Το αφήνω όμως.

Μιχάλη και εγώ δεν είδα το μήνυμα σου γιατί έψαχνα να βρώ κάποια παραπομπή. Στο mathematica κατά κανόνα δεν έχουμε επικαλύψεις. Αλλά και να έχουμε τι έγινε;

Μαυρογιάννης

#6

nsmavrogiannis έγραψε: Στο mathematica κατά κανόνα δεν έχουμε επικαλύψεις. Αλλά και να έχουμε τι έγινε;

Νίκο,
ο ίδιος βλέπω με πολύ χαρά τις σχεδόν ταυτόχρονες απαντήσεις. Έτσι, ένας τρίτος παρατηρεί τις ομοιότητες και διαφορές απαντήσεων που δεν επηρεάστηκαν η μία από την άλλη. Τι πιο όμορφο.
Στο κάτω κάτω ένας κήπος δεν είναι πιο όμορφος αν έχει πολλά διαφορετικά λουλούδια;

Φιλικά,
Μιχάλης

Όριο ολοκληρώματος

Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση