ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

strat92man · #1

Εγραψα Γενικο Τιτλο μιας και οι ερωτησεις μου στο συγκεκριμένο κεφαλαιο είναι Αρκετες..

Καταρχας:

Δίνεται σε μια άσκηση να βρεθει ο γενικος όρος της ακολουθίας α(ν) όταν a_{2}=0 a_{n}=a_{n-1}_{} +n-1

και εγω βρηκα α_{ν} = α_{ν-2} + 2{ν} - 3 αλλα ούτε αυτο ειναι γενικος τύπος αλλα αναδρομική σχέση σωστα.?
βασικα τι ειναι αυτο που ξεχωριζει τον γενικο τύπο απο αναδρομικη σχέση εχω μπερδευτει..?! μκαι ποιος ειναι τελικα ο γενικος τύπος?

#2

Καταρχήν εννοείς:
a_2=0

και $a_n=a_{n-1}+n-1$ ; Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το n; Μεγαλύτερες ή ίσες του 2 υποθέτω;;;

strat92man · #3

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Καταρχήν εννοείς:
και $a_n=a_{n-1}+n-1$ ; Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το n; Μεγαλύτερες ή ίσες του 2 υποθέτω;;;

nai

#4

Τότε:
* $a_n=a_{n-1}+n-1$
* $a_{n-1}=a_{n-2}+n-2$
* $a_{n-2}=a_{n-3}+n-3$
…
* $a_{4}=a_{3}+3$
* $a_{3}=a_{2}+2$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω, προκύπτει ότι:
$\displaystyle{a_n=a_2+2+3+…+(n-1) \Leftrightarrow a_n=0+\frac{2+(n-1)}{2}\cdot(n-2) \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow a_n=\frac{(n+1)(n-2)}{2},\ n \in \mathbb{N}, n \geq 2}$ ,
ο οποίος είναι ο γενικός τύπος, δεδομένου ότι συνδέει τον νιοστό όρο με τα n.

H αρχική σου σχέση είναι ο αναδρομικός τύπος, αφού συνδέει τον νιοτό όρο με έναν προηγούμενό του.

strat92man · #5

strat92man · #6

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Τότε:
* $a_n=a_{n-1}+n-1$
* $a_{n-1}=a_{n-2}+n-2$
* $a_{n-2}=a_{n-3}+n-3$
…
* $a_{4}=a_{3}+3$
* $a_{3}=a_{2}+2$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω, προκύπτει ότι:
$\displaystyle{a_n=a_2+2+3+…+(n-1) \Leftrightarrow a_n=0+\frac{2+(n-1)}{2}\cdot(n-2) \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow a_n=\frac{(n+1)(n-2)}{2},\ n \in \mathbb{N}, n \geq 2}$ ,
ο οποίος είναι ο γενικός τύπος, δεδομένου ότι συνδέει τον νιοστό όρο με τα n.

H αρχική σου σχέση είναι ο αναδρομικός τύπος, αφού συνδέει τον νιοτό όρο με έναν προηγούμενό του.

AAA! βρήκα που έκανα το λάθος μου..
οταν ητανε π.χ το α(ν-1) εγραφα
α(ν-1)= α(ν-2)+(ν-1)-1
δηλαδη στο ν εγραφα την μορφη που ειναι και το άλλο.. δεν καταλαβα γιατι δεν αλλαζει αυτο το ν και παραμένει σε ολα ν..και το αλλαζα αναλογα με τον όρο που βρισκόμασταν

εκει που γίνεται η προσθεση κατα μέλη δεν καταλαβα τι εγινε το α(ν-3) ..??

#7

strat92man έγραψε:
Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Τότε:
* $a_n=a_{n-1}+n-1$
* $a_{n-1}=a_{n-2}+n-2$
* $a_{n-2}=a_{n-3}+n-3$
…
* $a_{4}=a_{3}+3$
* $a_{3}=a_{2}+2$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω, προκύπτει ότι:
$\displaystyle{a_n=a_2+2+3+…+(n-1) \Leftrightarrow a_n=0+\frac{2+(n-1)}{2}\cdot(n-2) \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow a_n=\frac{(n+1)(n-2)}{2},\ n \in \mathbb{N}, n \geq 2}$ ,
ο οποίος είναι ο γενικός τύπος, δεδομένου ότι συνδέει τον νιοστό όρο με τα n.

H αρχική σου σχέση είναι ο αναδρομικός τύπος, αφού συνδέει τον νιοτό όρο με έναν προηγούμενό του.
AAA! βρήκα που έκανα το λάθος μου..
οταν ητανε π.χ το α(ν-1) εγραφα
α(ν-1)= α(ν-2)+(ν-1)-1
δηλαδη στο ν εγραφα την μορφη που ειναι και το άλλο.. δεν καταλαβα γιατι δεν αλλαζει αυτο το ν και παραμένει σε ολα ν..και το αλλαζα αναλογα με τον όρο που βρισκόμασταν

εκει που γίνεται η προσθεση κατα μέλη δεν καταλαβα τι εγινε το α(ν-3) ..??

Γράψε την επόμενη σχέση και θα δεις...

RodGer · #8

Αν δε δημιουργεί πρόβλημα, θα γράψω εδώ κι εγώ μια απορία που έχω επάνω στις ακολουθίες. Αναρωτιέμαι λοιπόν το πως μπορώ να δείξω που τείνει η ακολουθία $n^{\frac{a}{n}}$ a=σταθερός αριθμός: α>1.

#9

RodGer έγραψε:Αν δε δημιουργεί πρόβλημα, θα γράψω εδώ κι εγώ μια απορία που έχω επάνω στις ακολουθίες. Αναρωτιέμαι λοιπόν το πως μπορώ να δείξω που τείνει η ακολουθία $n^{\frac{a}{n}}$ a=σταθερός αριθμός: α>1.

Πάρε την $x^{a/x}=e^{(a/x)\ln x}$ όπου $x\in\mathbb R$ και βρες το όριό της όταν $x\to+\infty$ . Το όριο που θα βρεις θα είναι το ίδιο και για την περίπτωση που $\mathbb N\ni n\to+\infty$ . Το ίδιο αποτέλεσμα ισχύει γενικότερα για $a\geq0$ .

RodGer · #10

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
RodGer έγραψε:Αν δε δημιουργεί πρόβλημα, θα γράψω εδώ κι εγώ μια απορία που έχω επάνω στις ακολουθίες. Αναρωτιέμαι λοιπόν το πως μπορώ να δείξω που τείνει η ακολουθία $n^{\frac{a}{n}}$ a=σταθερός αριθμός: α>1.
Πάρε την $x^{a/x}=e^{(a/x)\ln x}$ όπου $x\in\mathbb R$ και βρες το όριό της όταν $x\to+\infty$ . Το όριο που θα βρεις θα είναι το ίδιο και για την περίπτωση που $\mathbb N\ni n\to+\infty$ . Το ίδιο αποτέλεσμα ισχύει γενικότερα για $a\geq0$ .

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση. Αναρωτιέμαι αν υπάρχει τρόπος λύσης πιο στενά περιορισμένος στη θεωρία των ακολουθιών χωρίς να χρησιμοποιήσω την λογαριθμική. Μια σχετική ερώτηση είναι αν ορίζεται η μορφή (+άπειρο)^0 (πως γράφουμε το άπειρο στο LaTeX;) στο συμπαγές R. Εγώ θα έλεγα ότι κάνει 1. Ισχύει;

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Re: ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Re: ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Re: ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Re: ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Re: ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Re: ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Re: ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Re: ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Re: ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Μέλη σε σύνδεση