Eύρεση ορίου

#1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{ f:\mathbb R \to (0, + \infty ) }$
τέτοια ώστε:

$\displaystyle{ f(x)\ln (f(x)) = e^x ,\forall x \in \mathbb R }$

Να βρείτε (αν υπάρχει) το όριο:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (1 + \frac{{\ln x}}{{f(x)}})^{\frac{{f(x)}}{x}} }$

ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΚΩΔΙΚΑ ΣΕ LATEX

#2

Είναι $\displaystyle {f(x)>e^{\frac{x}{2}}}, \ x>0$ :

Αν $\displaystyle {f(x_0)\leq e^{\frac{x_0}{2}}}$ για κάποιο x_0>0

τότε $\displaystyle {e^{x_0}=f(x_0)\ln (f(x_0))<\frac{x_0}{2}e^{\frac{x_0}{2}} }$ ή $\displaystyle {e^{\frac{x_0}{2}}<\frac{x_0}{2} }$ , άτοπο αφού $e^x>x, x \in \mathbb{R}$ .

Έτσι, για x>1

είναι $\displaystyle {\frac{f(x)}{\ln x}>\frac{e^{\frac{x}{2}}}{\ln x}}$ , οπότε $\displaystyle {\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{\ln x}}=+\infty$ .

Το ζητούμενο όριο είναι, λοιπόν, $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(1 + \frac{{\ln x}}{{f(x)}}\right)^{\frac{{f(x)}}{x}} =\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(1 + \frac{{\ln x}}{{f(x)}} \right)^{\frac{{f(x)}}{\ln x} \cdot \frac{\ln x}{x}}=e^0=1 }$

καθώς $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x=e}$ και $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{\ln x}{x}=0$ .

#3

Ωραίος ο Θανάσης!
Όλα τα λεφτά στο όριο είναι αυτό με το $\displaystyle{ e^{\frac{x}{2}} }$

Εγώ έχω μία ''αντίστροφη'' λύση.
Είναι απο Ρουμανία (1986)

Διόρθωση σε κώδικα Latex

parmenides51 · #4

chris_gatos έγραψε:...
Εγώ έχω μία ''αντίστροφη'' λύση.

Θα χαιρόμουν να την δω

#5

parmenides51 έγραψε: Θα χαιρόμουν να την δω

Καλησπέρα.
Όταν θα έχω όρεξη, ευχαρίστως να τη δώσω.Πάντως υπάρχει μέσα στο ''Παγκόσμια θεματογραφία Ανάλυσης'' του Γ.Μπαϊλάκη.
All time classic...
Δεν έχω(ούτε τότε είχα) να προσθέσω κάτι καινούργιο στη λύση που είχα διαβάσει.

S.E.Louridas · #6

$\begin{array}{*{20}c} {x > 1 \Rightarrow 0 < \ln \left( {1 + \frac{{\ln x}} {{f\left( x \right)}}} \right) < \frac{{\ln x}} {{f\left( x \right)}}\;\left( 1 \right),\;o\pi \dot o\tau \varepsilon \;\gamma \iota \dot \alpha \;x > 1\;\pi \alpha \dot \iota \rho \nu o\upsilon \mu \varepsilon :} \\ {\left( 1 \right) \Rightarrow 0 < \ln \left( {1 + \frac{{\ln x}} {{f\left( x \right)}}} \right)^{\frac{{f\left( x \right)}} {x}} < \frac{{\ln x}} {x}\mathop \to \limits^{x \to \infty } 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \;\left( {1 + \frac{{\ln x}} {{f\left( x \right)}}} \right)^{\frac{{f\left( x \right)}} {x}} = 1.} \\ \end{array}$

(*) Αρκεί βέβαια να αποδειχθεί ότι: $\ln \left( {1 + x} \right) < x,\;\gamma \iota \alpha \;x > 0\;\left( {\varepsilon \dot \upsilon \kappa o\lambda o} \right).$

S.E.Louridas

Eύρεση ορίου

Eύρεση ορίου

Re: Eύρεση ορίου

Re: Eύρεση ορίου

Re: Eύρεση ορίου

Re: Eύρεση ορίου

Re: Eύρεση ορίου

Μέλη σε σύνδεση