Όριο

MANOLISMATHS · #1

Να βρεθεί το ακόλουθο όριο
$\lim_{x\to\infty }\frac{1}{xcos^{2}(x)}$

#2

MANOLISMATHS έγραψε:Να βρεθεί το ακόλουθο όριο
$\lim_{x\to\infty }\frac{1}{xcos^{2}(x)}$

για $x=(2n+1)\pi/2$ με $n\in\mathbb N$ η ποσότητα απειρίζεται. Για $x=n\pi$ πάει στο

καθώς $n\to+\infty$ . Το όριο δεν υπάρχει.

MANOLISMATHS · #3

Το έβαλα γιατι το είδα σε ασκηση και λέω
τι γινεται δεν μπορω να υπολογίσω όρια,,,
και εγω καταλαβαινα οτι δεν υπαρχει...
κύριε λαμπρου για να μην παρεκλίνουμε απο το γεγονος οτι ειναι στην Γ λυκείου θέλετε να μου στείλετε αυτό με το σημείο συσσωρεύσεως

#4

MANOLISMATHS έγραψε:Να βρεθεί το ακόλουθο όριο
$\lim_{x\to\infty }\frac{1}{xcos^{2}(x)}$

Προσοχή, σύμφωνα με τον ορισμό του σχολικού βιβλίου η συνάρτηση πρέπει να ορίζεται τουλάχιστον σε περιοχή
του απείρου. Εδώ δεν συμβαίνει αυτό, οπότε έχουμε πρόβλημα. Δηλαδή, δεν έχουμε καλά ορισμένη συνάρτηση.

Αν θέλουμε να ξεφύγουμε από το σχολικό βιβλίο (και άρα να μην διαβάσουν τα παρακάτω οι μαθητές, και μπερδευτούν) καταθέτω:

Αν θεωρήσουμε ότι γενικότερα (όπως γίνεται σε πιο προχωρημένα βιβλία Ανάλυσης που δεν ακολουθούν την απλοποίηση του σχολικού βιβλίου) μας αρκεί το άπειρο να είναι σημείο συσσώρευσης, τότε δεν έχουμε πρόβλημα ως προς τον ορισμό. Σε αυτή την περίπτωση το πρόβλημα επιδέχεται λύση. Η απάντηση είναι, όπως έγραψε ο Αναστάσης, "το όριο δεν υπάρχει". Αναλυτικότερα, για χ = 2νπ, η παράσταση ισούται με 1/2νπ που τείνει στο 0. Για άλλα χ το πράγμα αλλάζει. Ένας τρόπος να το δούμε είναι (για χ στο πεδίο ορισμού) και από την |χ| < = |tanx| έχουμε (όπως σημείωσε ο Αναστάσης)

$\frac {1}{x \cos ^2x} = \frac {\tan ^2x +1}{x} > \frac {\tan ^2x }{x} > \tan x$

που για χ κοντά στο 2νπ + π/2 παίρνει αυθαίρετα μεγάλες τιμές.

Άρα το όριο δεν υπάρχει.

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

Εγω απλά ξαναθυμίζω αυτό

Να κι ένα βιβλίο προχωρημένης ανάλυσης (A course of pure mathematics) που στηρίζει το σχολικό!

Καλό μεσημέρι.

#6

chris_gatos έγραψε:Εγω απλά ξαναθυμίζω αυτό

Να κι ένα βιβλίο προχωρημένης ανάλυσης (A course of pure mathematics) που στηρίζει το σχολικό!

Καλό μεσημέρι.

Χρήστο, επειδή δεν έχω καταλάβει τι εννοείς θα σε παρακαλούσα να ήσουν λίγο πιο αναλυτικός. Π.χ.
τι ακριβώς εννοείς όταν λές ότι ο Hardy στηρίζει το σχολικό βιβλίο;

Σε αυτό το σημείο θα ήθελα ένα σχόλιο: Δεν είναι αλήθεια ότι οι ορισμοί στα Μαθηματικά είναι καθολικοί, ενιαίοι και ότι τους ακολουθούν όλοι ταυτόσημα. Περίεργο αλλά αληθινό.

Συνήθως ναι, συμβαίνει αυτό. Όχι όμως πάντα: Είναι αρκετά συνηθισμένο σε ένα πιο προχωρημένο βιβλίο να διευρύνεται ένας ορισμός για να συμπεριλάβει και άλλες περιπτώσεις που, για ευκολία, σε ένα προηγούμενο στάδιο τις απεύφευγαν.

Ο ορισμός του ορίου είναι ένα παράδειγμα. Στο σχολικό (ΚΑΛΩΣ και παγκοσμίως) ο ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης στο α, απαιτεί η συνάρτηση να ορίζεται τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής (α - δ, α)U(α, α+δ).
Σε βιβλία Ανάλυσης όμως, αυτό θεωρείται ότι είναι πολύ περιοριστικό και ο ορισμός χαλαρώνει την απαίτηση. Απαιτούν το α να είναι (ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ) σημείο συσσώρευσης.

Άλλο παράδειγμα, από πολλά: Σε όλο το φάσμα των Μαθηματικών μέχρι, π.χ. το τρίτο έτος σπουδών, το "μηδέν επί άπειρο" θεωρείται απροσδιόριστη μορφή. Μόλις όμως αρχίσει κανείς Θεωρία Μέτρου, αίρεται αυτό και ΟΡΙΖΟΥΝ "μηδέν επί άπειρο ίσον μηδέν." Ο ορισμός αυτός έχει πολλά πλεονεκτήματα στη Θεωρία Μέτρου, και είναι καθιερωμένος παγκοσμίως. Δεν έχω δει ούτε ένα βιβλίο Θεωρίας Μέτρου που να μην τον υιοθετεί.

Εννοείται, ότι θα νόμιζε κανείς ότι έτσι μπερδεύει το πράγμα. Δεν συμβαίνει όμως, αρκεί να έχεις συναίσθηση του τι λες. Αν μιλάς περί Θεωρίας Μέτρου, πρέπει να θυμάσαι την έξτρα σύμβαση, και αυτό γίνεται θέμα ρουτίνας. Αν μιλάς σε άλλο κεφάλαιο της Ανάλυσης, επιστρέφεις στην κλασσική σύμβαση.

Αυτά,

Φιλικά,

Μιχάλης.

#7

Μιχάλη δεν εννοώ τίποτα παραπάνω απο αυτά που αναλύεις με το δκό σου πολύ όμορφο τρόπο.

Ο Hardy δικαιώνει με τον τρόπο του το σχολικό (μάλλον το αντίθετο θα έλεγα) ενώ π.χ ο Rudin του δίνει μια κλωτσιά και

πάει παρακάτω.

Τώρα έχοντας διαβάσει λίγο περισσότερο καταλαβαίνω απόλυτα αυτά που λες.

Οι συμβάσεις τελικά είναι για να πηγαίνουν μπροστά κάποια πράγματα.

Το ωραίο για μένα είναι πως τις ανακαλύπτω.Αυτό σημαίνει πως ενημερώνομαι.Αρα υπάρχω.

Καλό μεσημέρι.

#8

chris_gatos έγραψε:Οι συμβάσεις τελικά είναι για να πηγαίνουν μπροστά κάποια πράγματα.

Εκτός από τις συμβάσεις εργασίας...

369 · #9

να βρεθει το οριο lim exp^(sinx) καθως το χ->απειρο.

Ωmega Man · #10

Δεν υπάρχει, είναι περιοδική με περίοδο 2π και άνω και κάτω φραγμένη.

369 · #11

Ωmega Man έγραψε:Δεν υπάρχει, είναι περιοδική με περίοδο 2π.

thanks
αυτο:

lim (x+sinx*cosx) καθως χ->απειρο.

Ωmega Man · #12

Το $\displaystyle{\bf \cos(x)\cdot \sin(x)}$ είναι φραγμένο , το όριο του $\displaystyle{\bf x}$ καθώς $\displaystyle{\bf x\rightarrow +\infty}$ είναι άπειρο , άρα το όριο είναι το άπειρο.

369 · #13

ευχαριστω
θα βαλω ολη την ασκηση:
δινονται:f=x+cosx*sinx και g=(exp^sinx)*(x+cosx*sinx) και ζητα να βρεθει το lim f/g καθως το χ->απειρο

Ωmega Man · #14

Εσύ τι βήματα έκανες για να βρεις το όριο; Γράψε σε $\displaystyle{\rm\LaTeX}$ , γιατί μπορεί να έχουμε παρανοήσεις.

369 · #15

δε ξερω latex

Ωmega Man · #16

Ευκαιρία να μάθεις στείλε μου τις σκέψεις σου σε πμ και θα σου πω τι να κάνεις.

369 · #17

f>x-1 και g>(e^-1)(x-1) για καθε x>1
αρα f,g πανε στο απειρο.εφαρμ. de l' hospital f '=2(cosx)^2 και g '=((e^sinx)cosx)(2cosx+f)
και βγαινει νομιζω 0.

αυτος ο τροπος ειναι σωστος;

Μήνυμα από Γενικούς Συντονιστές: Παρακαλώ να τοποθετείς τις ερωτήσεις σε νέο ποστ. Όχι ως συνέχεια προηγούμενου. Επίσης, η γραφή σε ΤΕΧ είναι υποχρεωτική.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση