Γεωμετρία - Γωνία διαμέσου σε ορθογώνιο τρίγωνο

[katepano]

Αγαπητοί, ψάχνω να βρω ( χωρίς τριγωνομετρία όμως) την γωνία β_1 στο συνημμένο σχήμα (αρχείο orth2,png

orth2.png (28.26 KiB) Προβλήθηκε 2944 φορές

). Είναι η γωνία που σχηματίζει η διάμεσος BD ορθογωνίου τριγώνου με ορθή γωνία την Α με την κάθετο ΒΑ. Την λύση δεν την έχω βρει...

Η "ανάγκη" προήλθε από την άσκηση 39 του Ταβανλή η οποία λέει

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ την διάμεσο ΑΟ_1 αυτού, την προβολή Ε του Ο_1 επί την ΑΓ και το μέσον Ζ του ευθ. τμήματος Ο_1Ε. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες ΑΖ και ΒΕ είναι κάθετες μεταξύ τους

της οποίας επισυνάπτω σχήμα (ask_tav_39.png). Κάθε βοήθεια ευπρόσδεκτη!!!

ask_tav_39.png (17.11 KiB) Προβλήθηκε 3073 φορές

[p_gianno]

γωνAOE=90°-ΟΑΓ=ΟΓΑ (1) Φέρω ΒΗ κάθετη (**) στην ΑΓ. Είναι ΒΟ=ΟΓ και ΟΕ//ΒΗ ---- > Ε μέσο της ΗΓ ή ΒΕ διάμεσος του τργ ΒHΓ. Λόγω της (1) τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΕΟ και ΒΗΓ είναι όμοια συνεπώς θα είναι όμοια και τα αντίστοιχα σε αυτά οριζόμενα τρίγωνα από τις διαμέσους. Δηλ τργΒΗΕ όμοιο τργ ΑEΖ συνεπώς γωνΖΑΕ=ΗΒΕ που σημαίνει ότι ΑΗΔΒ εγγράψιμο με συνέπεια γωνΒΔΑ=ΒΗΑ=90° (λόγω **) οεδ

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Τα τρίγωνα ΑΟΕ και ΒΗΓ είναι όμοια και έχουν τις ομόλογες τους πλευρές κάθετες (μετασχηματισμός ομοιότητας με στροφή ορθής γωνίας), επομένως έχουν και τις ομόλογες διαμέσους τους ίσες.

[katepano]

Ευχαριστώ πολύ! δεν πήγε το μυαλό μου να χρησιμοποιήσω ομοιότητα γιατί το συγκεκριμένο βιβλίο είχε αυτή την άσκηση στο κεφ. 3, ενώ τα όμοια τρίγωνα τα ορίζει στο κεφ. 6.

[silouan]

Μια άλλη λύση είναι η εξής :
Αν πάρουμε M το μέσο της ΕΓ, τότε ΖΜ//ΒΓ άρα επομένως το Ζ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Άρα . Όμως , άρα παίρνουμε το ζητούμενο.

[stranton]

Μία αντιμετώπιση σχετικά όμοια με προηγούμενη.

Παίρνουμε το μέσο της . Τα τρίγωνα και είναι όμοια και οι , είναι διάμεσοι των ομόλογων πλευρών τους και .
Τότε , άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο με συνέπεια , δηλαδή .
Στο τρίγωνο είναι . Άρα