Άσκηση διαγωνισμού(1)

#1

Θα τη δώσω σπαστή και στο τέλος θα κάνω και τη σχετική αποφώνηση.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει:
f(2)< f '(x)< f(3) για κάθε χ πραγματικό.

Ερώτημα 1ο
Να αποδείξετε πως η f είναι γνησίως αύξουσα.

Nick1990 · #2

chris_gatos έγραψε:Θα τη δώσω σπαστή και στο τέλος θα κάνω και τη σχετική αποφώνηση.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R->R για την οποία ισχύει:
f(2)< f '(x)< f(3) για κάθε χ πραγματικό.

Ερώτημα 1ο
Να αποδείξετε πως η f είναι γνησίως αύξουσα.

Από ΘΜΤ:

για κάποιο

.
Οπότε από τη συνθήκη:
$f(3) - f(2) < f(3) \Rightarrow f(2) > 0$
Άρα για κάθε

:

οπότε είναι γν. αύξουσα.

mtsarduckas · #3

Λανθασμένη λύση...

#4

Ευχαριστώ και πάμε παρακάτω:

2)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (1,2)

#5

chris_gatos έγραψε:Ευχαριστώ και πάμε παρακάτω:

2)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (1,2)

για την ύπαρξη:

η f(x)-xf(2)

είναι γνησίως αύξουσα , 2>1=>f(1)<0

η

είναι γνησίως φθίνουσα , 2<3=>f(2)>0

ακολουθεί ο κύριος Bolzano στο [1,2]

και η μονοτονία για τη μοναδικότητα

#6

Φωτεινή ευχαριστώ.

3)Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ1, ξ2 στο (1,3) με ξ1<ξ2, τέτοια ώστε:

$\displaystyle{ \frac{{f(3)}}{{f'(\xi _2 )}} - \frac{{f(1)}}{{f'(\xi _1 )}} = 2 }$

#7

chris_gatos έγραψε:3)Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ1, ξ2 στο (1,3) με ξ1<ξ2, τέτοια ώστε:

$\displaystyle{ \frac{{f(3)}}{{f'(\xi _2 )}} - \frac{{f(1)}}{{f'(\xi _1 )}} = 2 }$

δύο ΘΜΤ
στο [1,x_o]

για την ύπαρξη του $\xi_1$
στο [x_o,3]

για την ύπαρξη του $\xi_2$ και είμαστε οκ!

Χρήστο,γιατί τη δίνεις σπαστή;
είναι σαν να μας κερνάς ένα γλυκό κουταλιά-κουταλιά

#8

Ήθελα να δω πως είναι στο διάβασμα για κάποιον που την ανοίγει. Νομίζω πως είναι όμορφα.

4)Να βρείτε το $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) }$

Υ.Γ Να συμπληρώσω πως το χο της Φωτεινής (υποθέτω) είναι αυτό του ερωτήματος 2)

mathxl · #9

Καλό βράδυ
Χρησιμοποιώντας τις γνήσια μονότονες συναρτήσεις της Φωτεινής και το χο έχουμε
$\displaystyle{x > {x_0} \Rightarrow f\left( x \right) - xf\left( 3 \right) < 0 - {x_0}f\left( 3 \right) \Rightarrow f\left( x \right) < xf\left( 3 \right) - {x_0}f\left( 3 \right)}$

$\displaystyle{x > {x_0} \Rightarrow f\left( x \right) - xf\left( 2 \right) > 0 - {x_0}f\left( 2 \right) \Rightarrow f\left( x \right) > xf\left( 2 \right) - {x_0}f\left( 2 \right)}$
άρα
$\displaystyle{xf\left( 2 \right) - {x_0}f\left( 2 \right) < f\left( x \right) < xf\left( 3 \right) - {x_0}f\left( 3 \right)}$
και με ΚΠ παίρνουμε ότι το ζητούμενο όριο ισούται με +οο

#10

H άσκηση είναι απο διαγωνισμό στη μνήμη του καθηγητή Βασίλη Ξανθόπουλου.

Δίνω το παρακάτω link κυρίως για τους μαθητές.

------->Πιέστε εδώ

Άσκηση διαγωνισμού(1)

Άσκηση διαγωνισμού(1)

Re: Άσκηση διαγωνισμού(1)

Re: Άσκηση διαγωνισμού(1)

Re: Άσκηση διαγωνισμού(1)

Re: Άσκηση διαγωνισμού(1)

Re: Άσκηση διαγωνισμού(1)

Re: Άσκηση διαγωνισμού(1)

Re: Άσκηση διαγωνισμού(1)

Re: Άσκηση διαγωνισμού(1)

Re: Άσκηση διαγωνισμού(1)

Μέλη σε σύνδεση