Εύρεση τιμής συνάρτησης

chris · #1

Δίνεται μια συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $|f(a)-f(b)|<|a-b|,\forall a,b \in \mathbb{R},a\neq b$

Αν ισχύει f(f(f(0)))=0

να δειχθεί οτι: f(0)=0

EDIT:Διόρθωσα την εκφώνηση...Θάνο ευχαριστώ!!

#2

Μία λίγο μπελαλίδικη λύση:

Καταρχάς, αν $\displaystyle{f(f(0))=0,}$ προκύπτει $\displaystyle{f(0)=0.}$

Ας είναι τώρα, $\displaystyle{f(f(0))\ne 0.}$ Τότε, είναι και $\displaystyle{f(0)\ne 0.}$ Πράγματι, αν ήταν $\displaystyle{f(0)=0}$ , θα είχαμε και $\displaystyle{f(f(0))=f(0)=0,}$ άτοπο.

Είναι λοιπόν, $\displaystyle{f(0)f(f(0))\ne 0.}$
Ακόμα έχουμε $\displaystyle{f(f(0))\ne f(0),}$ αφού αν υποθέσουμε το αντίθετο, προκύπτει $\displaystyle{f(f(f(0)))=f(f(0)) \Rightarrow f(f(0))=0,}$ άτοπο.

Έχουμε λοιπόν τους 3 διαφορετικούς ανά δύο αριθμούς $\displaystyle{x=0, y=f(0), z=f(f(0)).}$

Θέτοντας στην αρχική $\displaystyle{a=y,b=x}$ προκύπτει $\displaystyle{\left|z-y \right|<\left|y \right|.}$

Θέτοντας στην αρχική $\displaystyle{a=z,b=y}$ προκύπτει $\displaystyle{\left|z \right|<\left|z-y \right|.}$

Θέτοντας στην αρχική $\displaystyle{a=z,b=x}$ προκύπτει $\displaystyle{\left|y \right|<\left|z \right|.}$

Προφανώς, αυτές οι 3 οδηγούν σε άτοπο.

chris · #3

Θάνο την είχα ξεχάσει...να δώσω και εγώ μια ιδέα:

Είναι $f(f(f(0)))=0\Rightarrow f(f(f(f(0))))=f(0)$ (1)

$\bullet$ Αν $f(f(0))=f(0)\Rightarrow f(f(f(0)))=f(f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=f(f(0))=0$ και το ζητούμενο ισχύει.
$\bullet$ Αν $f(f(f(0)))=f(f(0))\Rightarrow f(f(0))=0\Rightarrow f(0)=f(f(f(0)))=0$ και το ζητούμενο ισχύει και πάλι.

Υποθέτουμε οτι $f(0)\neq 0$ και άρα $f(f(0))\neq f(0)$ και $f(f(f(0)))\neq f(f(0))$

Κάνοντας χρήση της αρχικής σχέσης και της (1)

έχουμε:

$|f(0)|\stackrel{(1)}=|f(f(f(f(0))))-0|=|f(f(f(f(0))))-f(f(f(0)))|<|f(f(f(0)))-f(f(0))|<|f(f(0))-f(0)|<|f(0)-0|=|f(0)|\Rightarrow |f(0)|<|f(0)|$
άτοπο

369 · #4

Απο Γενικούς Συντονιστές: Το μήνυμα μεταφέρθηκε σε αθέατο τόπο γιατί είναι άσχετο με τα παραπάνω.
Αγαπητέ 369 σε έχουμε ειδοποιήσει περί αυτού, αλλά μας αγνοείς.

#5

Κάποιες ακόμα προσεγγίσεις για ετούτη την όμορφη ασκησούλα εδώ.

Εύρεση τιμής συνάρτησης

Εύρεση τιμής συνάρτησης

Re: Εύρεση τιμής συνάρτησης

Re: Εύρεση τιμής συνάρτησης

Re: Εύρεση τιμής συνάρτησης

Re: Εύρεση τιμής συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση