Γεωμετρία+ανισότητα

#1

Δίνεται τρίγωνο ABC

,το βαρύκεντρό του

καθώς και τυχαίο σημείο

στο εσωτερικό του.

Αν η

τέμνει τις AB,BC,CA

στα

αντίστοιχα, τότε $OA_1 \cdot OB_1 \cdot OC_1\leq TA_1\cdot TB_1 \cdot TC_1$ .

#2

Επαναφορά...

#3

Ας ονομάσουμε $\displaystyle{x,y,z}$ και $\displaystyle{k,l,m}$ τις αποστάσεις των $\displaystyle{T,O}$ από τις πλευρές $\displaystyle{BC,CA,AB}$ αντίστοιχα.

Έχουμε

$\displaystyle{\sin \angle BA_{1}C_{1}=\frac{k}{OA_{1}}=\frac{x}{TA_{1}}}$ , άρα $\displaystyle{\frac{TA_{1}}{OA_{1}}=\frac{x}{k}.}$

Αντίστοιχα βρίσκουμε $\displaystyle{\frac{TB_{1}}{OB_{1}}=\frac{y}{l}}$ και $\displaystyle{\frac{TC_{1}}{OC_{1}}=\frac{z}{m}.}$

Έχουμε τώρα να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\frac{klm}{xyz}\leq 1.}$

Όμως, είναι $\displaystyle{\frac{k}{x}=\frac{(OBC)}{(TBC)}=\frac{3(OBC)}{E},}$ αφού $\displaystyle{(TBC=\frac{1}{3}E,)}$ όπου $\displaystyle{E}$ το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ .

Ομοίως, $\displaystyle{\frac{l}{y}=\frac{3(OCA)}{E}}$ και $\displaystyle{\frac{m}{z}=\frac{3(OAB)}{E}.}$

Άρα

$\displaystyle{\frac{klm}{xyz}=\frac{27(OBC)(OCA)(OAB)}{E^3}\leq 1,}$ και η τελευταία ανισότητα προκύπτει από την ΑΜ-ΓΜ:

$\displaystyle{E^3=((OBC)+(OCA)+(OAB))^3\geq 27(OBC)(OCA)(OAB).}$

Γεωμετρία+ανισότητα

Γεωμετρία+ανισότητα

Re: Γεωμετρία+ανισότητα

Re: Γεωμετρία+ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση