σ-Αλγεβρα

#1

Ας βάλω και εγώ μια άσκηση υπό μορφή ερώτησης, για όποιον δεν το έχει ήδη υπόψιν του.

Υπάρχει άπειρη αριθμήσιμη σ-Αλγεβρα;

(Αυτή η ερώτηση μου υπεβλήθη κατά τη συνέντευξη για την επιλογή μεταπτυχιακών φοιτητών στο μαθηματικό της Αθήνας, όπου ομολογώ πως με έπιασαν απροετοίμαστο...Μια άλλη ερώτηση που μου υπεβλήθη, αντίστοιχου επιπέδου δυσκολίας ήταν αν η |x|

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ ......

)

χρηστος ευαγγελινος · #2

καθε απειρη σ-αλγεβρα ειναι κατ αναγκην υπεραριθμησιμη.

η αποδειξη γινεται αποδυκνυοντας οτι καθε αριθμησιμη σ-αλγεβρα ειναι πεπερασμενη,οριζοντας μια σχεση ισοδυναμιας στο συνολο Χ επι του οποιου οριζεται η σ-αλγεβρα Α.η σχεση ειναι η εξης

$x\sim y\Leftrightarrow \{\forall A \in \mathbb{A} ,x\in \mathbb{A} \Leftrightarrow y \in A\}$

υστερα δειχνουμε για το συνολο Ε των κλασεων ισοδυναμιας αυτης της σχεσης οτι το συνολο Β ολων των ενωσεων απο μελη της ειναι υπεραριθμησιμο (υποθετοντας προς ατοπο οτι το Ε ειναι απειρο) και βρισκεεται μεσα στην αρχικη σ-αλγεβρα Α.αυτο ομως ειναι ατοπο αρα η Ε ειναι πεπερασμενη.μετα ευκολα δειχνουμε οτι Β=Α αρα η Α ειναι πεπερασμενη.

αν η Α εξ αρχης ειναι αλγεβρα και οχι σ-αλγεβρα τοτε το παραπανω ισχυει?δηλαδη ειναι δυνατον να βρεθει απειρη αριθμησιμη αλγεβρα?

#3

χρηστος ευαγγελινος έγραψε: αν η Α εξ αρχης ειναι αλγεβρα και οχι σ-αλγεβρα τοτε το παραπανω ισχυει?δηλαδη ειναι δυνατον να βρεθει απειρη αριθμησιμη αλγεβρα?

Υπάρχει άπειρη αριθμήσιμη άλγεβρα. Προς το παρόν αφήνω την κατασκευή της σαν άσκηση.

χρηστος ευαγγελινος · #4

αν παρω μια απειρα αριθμησιμη οικογενεια υποσυνολων ενος συνολου Χ τοτε η ελαχιστη αλγεβρα που την περιεγχει ειναι αριθμησιμη.

#5

Πολύ ωραία. Το δικό μου παράδειγμα ήταν να πάρω όλα τα πεπερασμένα υποσύνολα του Ν καθώς και τα συμπληρώματά τους. (Η οποία φυσικά είναι η ελάιστη άλγεβρα που περιέχει όλα τα μονοσύνολα.)

χρηστος ευαγγελινος · #6

συνεχιζοντας τη συζητηση περι αλγεβρων θετω το εξης:

αν Α ειναι μια αλγεβρα και $\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_n}\in\mathbb{A} \ \forall \{A_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset\mathbb{A},A_n\subseteq A_{n+1} \right\}$ τοτε η Α ειναι σ-αλγεβρα.

δηλαδη οταν μια αλγεβρα ειναι κλειστη για τις ενωσεις ολων των αυξουσων ακολουθιων απο μελη της τοτε ειναι σ-αλγεβρα.

#7

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:συνεχιζοντας τη συζητηση περι αλγεβρων θετω το εξης:

αν Α ειναι μια αλγεβρα και $\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_n}\in\mathbb{A} \ \forall \{A_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset\mathbb{A},A_n\subseteq A_{n+1} \right\}$ τοτε η Α ειναι σ-αλγεβρα.

δηλαδη οταν μια αλγεβρα ειναι κλειστη για τις ενωσεις ολων των αυξουσων ακολουθιων απο μελη της τοτε ειναι σ-αλγεβρα.

Ας είναι $B_1,B_2,\ldots \in \mathcal{A}$ . Αρκεί να δείξω ότι $\bigcup_{n=1}^{\infty}{B_n}\in\mathcal{A}$ . Θέτω $A_n = \bigcup_{i=1}^n B_i$ . Τότε $A_n \in \mathcal{A}$ και $A_n\subseteq A_{n+1}$ , άρα $\bigcup_{n=1}^{\infty}{B_n} = \bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n} \in\mathcal{A}$ .

σ-Αλγεβρα

σ-Αλγεβρα

Re: σ-Αλγεβρα

Re: σ-Αλγεβρα

Re: σ-Αλγεβρα

Re: σ-Αλγεβρα

Re: σ-Αλγεβρα

Re: σ-Αλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση