Μια ομορφη ασκηση στους δακτυλιους

[χρηστος ευαγγελινος]

να βρεθει ικανη και αναγκαια συνθηκη ωστε ο δακτυλιος να ειναι τοπικος,δηλαδη να εχει ακριβως ενα maximal ιδεωδες.


edit:ξεχασα να πω "καλως σας βρηκα"

[nsmavrogiannis]

Kαλή σας μέρα
Η ομάδα είναι κυκλική επομένως κάθε υποομάδα της είναι κυκλική. Τα ιδεώδη του είναι πριν απ' όλα κυκλικές υποομάδες της και μάλιστα κάθε υποομάδα είναι και ιδεώδες. Τα γνήσια ιδεώδη θα είναι γνήσιες υποομάδες. Αν είναι μία υποομάδα της που παράγεται από το τότε η υποομάδα αυτή θα είναι γνήσια αν και μόνο αν ο δεν είναι σχετικά πρώτος προς τον . Aν , είναι δύο υποομάδες τότε θα είναι αν και μόνο αν είναι . Μία γνήσια υποομάδα θα είναι μεγιστική αν παράγεται από κάποιο που
-Δεν είναι σχετικά πρώτος προς τον και
-Δεν διαιρείται από άλλο αριθμό που δεν είναι πρώτος προς τον
Αυτό σημαίνει ότι ο θα πρέπει να είναι πρώτος διαιρέτης του .
(Ας σημειωθεί ότι οι μεγιστικές υποομάδες δεν έχουν κατ' ανάγκην το ίδιο πλήθος στοιχείων)
Θα υπάρχει ένα μόνο μεγιστικό ιδεώδες δηλαδή μία μόνο μεγιστική υποομάδα αν και μόνο αν ο έχει ένα μόνο πρώτο διαιρέτη δηλαδή αν είναι της μορφής με πρώτο.

Μαυρογιάννης

[χρηστος ευαγγελινος]

σωστα.

και μια ακομη για τη συνεχεια του θεματος:

εστω R ενας μεταθετικος δακτυλιος με μοναδα και .Αν το συνολο των αντιστρεψιμων στοιχειων του R ισυται με το συμπληρωμα του να δειξετε οτι ο R ειναι τοπικος με μεγιστο ιδεωδες το .

[nsmavrogiannis]

Αν ένα ιδεώδες περιέχει έστω και ένα αντιστρέψιμο στοιχείο περιέχει το 1 και επομένως συμπίπτει με τον δακτύλιο. 'Αρα τα γνήσια ιδεώδη θα περιέχονται, αναγκαστικά, στο το οποίο έτσι αναδεικνύεται σε μεγιστικό και μάλιστα το μοναδικό μεγιστικό.
Μαυρογιάννης

[χρηστος ευαγγελινος]

ωραια λυση και απλη.

Εστω R υποδακτυλιος του σωματος των μιγαδικων αριθμων ο οποιος ειναι ακεραιος επι του δακτυλιου και ενα πρωτος .

1) εστω ενα πρωτο ιδεωδες με .Να δειξετε οτι το ειναι maximal.
2) να δειξετε οτι υπαρχει maximal ιδεωδες τετοιο ωστε το πηλικο να ειναι σωμα χαρακτηριστικης .

[nsmavrogiannis]

Εστω υποδακτυλιος του σωματος των μιγαδικων αριθμων ο οποιος ειναι ακεραιος επι του δακτυλιου και ενα πρωτος .
1) εστω ενα πρωτο ιδεωδες με .Να δειξετε οτι το ειναι maximal.
2) να δειξετε οτι υπαρχει maximal ιδεωδες τετοιο ωστε το πηλικο να ειναι σωμα χαρακτηριστικης .

Είναι άμεση συνέπεια των θεωρημάτων σχετικά με την συστολή ιδεωδών ή έχω λάθος εντύπωση;
Αν ο είναι ακέραιος επί του και με συμβολίσουμε την συστολή του τυχόντος ιδεώδους του στο τότε αν το είναι πρώτο ισχύει:
Tο είναι μεγιστικό στο αν και μόνο αν το είναι μεγιστικό στο .
Το είναι μεγιστικό στο και επομένως το αυτό ισχύει και για το . Αυτό αποδεικνύει το 1).
Για το 2) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα των Cohen-Seidenberg: θεωρούμε το που είναι πρώτο ιδεώδες του επομένως είναι συστολή ενός πρώτου ιδεώδους του . Aλλά το είναι μεγιστικό άρα και το είναι μεγιστικό. Επομένως το είναι σώμα. Ο πυρήνας του φυσικού επιμορφισμού περιέχει το επομένως η χαρακτηριστική του θα είναι .
Οταν πέφτω πάνω στο θεώρημα των C-S τσακώνω τον εαυτό μου να μουρμουρίζει ένα τραγουδάκι της νιότης μου: το Spinning Wheel των Blood, Sweat & Tears (1969): "What goes up must come down.."

Μαυρογιάννης

[χρηστος ευαγγελινος]

ευχαριστω πολυ για τις λυσεις κυριε νικο.