Να βρεθει το οριο

#1

Αν

f(x) + {e^{f(x)}} = x - 1 $\displaystyle{ για κάθε χ του R ,να βρείτε το$ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfwBIj
% xAHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1B
% TfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8urps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8
% qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9
% q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaake
% aadaWfqaqaaiGacYgacaGGPbGaaiyBaaWcbaGaamiEaiabgkziUkab
% gkHiTiabg6HiLcqabaGcdaWcaaqaaiaadAgacaGGOaGaaGOmaiaaic
% dacaaIWaGaaGyoaiaacMcacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaOGa
% ey4kaSIaamOzaiaacIcacaaIYaGaaiykaiaadIhacqGHRaWkcaWGMb
% GaaiikaiaaiodacaGGPaaabaGaamOzaiaacIcacaaIYaGaaGimaiaa
% icdacaaI4aGaaiykaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRa
% WkcaWGMbGaaiikaiaaiwdacaGGPaGaamiEaiabgUcaRiaaiAdaaaaa
% aa!5EDB!
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f(2009){x^3} + f(2)x + f(3)}}{{f(2008){x^2} + f(5)x + 6}}}$
Βεβαια μπορει να σπασει σε ερωτηματα και να γινει καλο θεματακι..

mathxl · #2

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Αν f(x) + {e^{f(x)}} = x - 1 $\displaystyle{ για κάθε χ του R ,να βρείτε το$ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfwBIj
% xAHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1B
% TfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8urps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8
% qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9
% q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaake
% aadaWfqaqaaiGacYgacaGGPbGaaiyBaaWcbaGaamiEaiabgkziUkab
% gkHiTiabg6HiLcqabaGcdaWcaaqaaiaadAgacaGGOaGaaGOmaiaaic
% dacaaIWaGaaGyoaiaacMcacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaOGa
% ey4kaSIaamOzaiaacIcacaaIYaGaaiykaiaadIhacqGHRaWkcaWGMb
% GaaiikaiaaiodacaGGPaaabaGaamOzaiaacIcacaaIYaGaaGimaiaa
% icdacaaI4aGaaiykaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRa
% WkcaWGMbGaaiikaiaaiwdacaGGPaGaamiEaiabgUcaRiaaiAdaaaaa
% aa!5EDB!
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f(2009){x^3} + f(2)x + f(3)}}{{f(2008){x^2} + f(5)x + 6}}}$
Βεβαια μπορει να σπασει σε ερωτηματα και να γινει καλο θεματακι..

Τα υποερωτήματα ίσως είναι
ι) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
ιι) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0
ιιι) Να υπολογιστεί το όριο που έδωσε ο Κώστας (νομίζω βγαίνει -οο)

#3

Σωστός

mathxl έγραψε:
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Αν f(x) + {e^{f(x)}} = x - 1 $\displaystyle{ για κάθε χ του R ,να βρείτε το$ % MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfwBIj
% xAHbqedmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2DaerbuLwBLnhiov2DGi1B
% TfMBaebbnrfifHhDYfgasaacH8urps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8
% qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9
% q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaake
% aadaWfqaqaaiGacYgacaGGPbGaaiyBaaWcbaGaamiEaiabgkziUkab
% gkHiTiabg6HiLcqabaGcdaWcaaqaaiaadAgacaGGOaGaaGOmaiaaic
% dacaaIWaGaaGyoaiaacMcacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaOGa
% ey4kaSIaamOzaiaacIcacaaIYaGaaiykaiaadIhacqGHRaWkcaWGMb
% GaaiikaiaaiodacaGGPaaabaGaamOzaiaacIcacaaIYaGaaGimaiaa
% icdacaaI4aGaaiykaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRa
% WkcaWGMbGaaiikaiaaiwdacaGGPaGaamiEaiabgUcaRiaaiAdaaaaa
% aa!5EDB!
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f(2009){x^3} + f(2)x + f(3)}}{{f(2008){x^2} + f(5)x + 6}}}$
Βεβαια μπορει να σπασει σε ερωτηματα και να γινει καλο θεματακι..
Τα υποερωτήματα ίσως είναι
ι) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
ιι) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0
ιιι) Να υπολογιστεί το όριο που έδωσε ο Κώστας (νομίζω βγαίνει -οο)

Ιστοσελίδα · #4

ΛΥΣΗ
Α. Για κάθε x πραγματικό αριθμό έχουμε:
$f^{\prime}(x) + e^{f(x)} \cdot f^{\prime}(x) = 1$
$f^{\prime}(x)(1 + e^{f(x)} ) = 1$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{{1 + e^{f(x)} }} > 0$
Επομένως η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα.

Β. Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, είναι και 1 – 1, συνεπώς αντιστρέφεται και ισχύει:
$y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{ - 1} (y)$
Άρα έχουμε:
$f(x) + e^{f(x)} = x - 1$
$y + e^y = f^{ - 1} (y) - 1$
$f^{ - 1} (y) = e^y + y + 1$
Όμως $f^{ - 1} (0) = e^0 + 0 + 1 = 2$ άρα f(2) = 0
Επομένως μια λύση της εξίσωσης f(x) = 0 είναι η x = 2 και επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα η λύση αυτή είναι η μοναδική.

Γ. Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και f(2) = 0, τότε για x > 2 η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο και μάλιστα είναι f(x) >0, άρα f(2009) > 0 και f(2008) > 0, οπότε το όριο γράφεται:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f(2009) \cdot x^3 }}{{f(2008) \cdot x^2 }}$ $= \frac{{f(2009)}}{{f(2008)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x$ $= \frac{{f(2009)}}{{f(2008)}}( - \infty ) = - \infty$

#5

Σπυρο δεν ειναι παραγωγισιμη ..

spyrosk έγραψε:ΛΥΣΗ
Α. Για κάθε x πραγματικό αριθμό έχουμε:
$f^{\prime}(x) + e^{f(x)} \cdot f^{\prime}(x) = 1$
$f^{\prime}(x)(1 + e^{f(x)} ) = 1$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{{1 + e^{f(x)} }} > 0$
Επομένως η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως αύξουσα.

Β. Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, είναι και 1 – 1, συνεπώς αντιστρέφεται και ισχύει:
$y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{ - 1} (y)$
Άρα έχουμε:
$f(x) + e^{f(x)} = x - 1$
$y + e^y = f^{ - 1} (y) - 1$
$f^{ - 1} (y) = e^y + y + 1$
Όμως $f^{ - 1} (0) = e^0 + 0 + 1 = 2$ άρα f(2) = 0
Επομένως μια λύση της εξίσωσης f(x) = 0 είναι η x = 2 και επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα η λύση αυτή είναι η μοναδική.

Γ. Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και f(2) = 0, τότε για x > 2 η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο και μάλιστα είναι f(x) >0, άρα f(2009) > 0 και f(2008) > 0, οπότε το όριο γράφεται:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f(2009) \cdot x^3 }}{{f(2008) \cdot x^2 }}$ $= \frac{{f(2009)}}{{f(2008)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x$ $= \frac{{f(2009)}}{{f(2008)}}( - \infty ) = - \infty$

Ιστοσελίδα · #6

ωχ την πάτησα (ακόμα μια φορά ) θα την ξαναδώ

Ιστοσελίδα · #7

και πάλι για το πρώτο ερώτημα αφού η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη το αντιμετώπισα με την βοήθεια του ορισμού και την χρήση της ατόπου απαγωγής.

Έστω ότι υπάρχουν x_1 ,x_2

πραγματικοί αριθμοί με x_1 < x_2

και $f(x_1 ) \ge f(x_2 )$ (1) τότε προκύπτει ότι $e^{f(x_1 )} \ge e^{f(x_2 )}$ (2)
Προσθέτοντας τις (1) και (2) έχουμε ότι:
$f(x_1 ) + e^{f(x_1 )} \ge f(x_2 ) + e^{f(x_2 )}$
$x_1 - 1 \ge x_2 - 1$
$x_1 \ge x_2$
που είναι άτοπο άρα f(x_1 ) < f(x_2 )

άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα

giannisn1990 · #8

Ακόμη μια λύση για την μονοτονία :

έστω $a,b \in \mathbb{R}$ με a<b

τότε $a-1<b-1\Leftrightarrow f(a)+e^{f(a)}<f(b)+e^{f(b)}\Leftrightarrow g(f(a))<g(f(b)),(1)$
όπου $g(x)=x+e^{x}$ με $x \in \mathbb{R}$
είναι $g^{\prime}(x)=e^{x}+1>0$ ,άρα η

είναι γν. αύξουσα
άρα $(1)\Leftrightarrow f(a)<f(b)$ ,και άρα

γνησίως αύξουσα

Να βρεθει το οριο

Να βρεθει το οριο

Re: Να βρεθει το οριο

Re: Να βρεθει το οριο

Re: Να βρεθει το οριο

Re: Να βρεθει το οριο

Re: Να βρεθει το οριο

Re: Να βρεθει το οριο

Re: Να βρεθει το οριο

Μέλη σε σύνδεση