Ικανή και Αναγκαία Συνθήκη

#1

καλησπέρα

Δείξτε ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε :

το ύψος $\upsilon_{\alpha}$ ,η διάμεσος $\mu_{\beta}$ και η διχοτόμος $\delta_{\gamma}$ οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ να διέρχονται από το ίδιο σημείο είναι : $\eta\mu A= \sigma\upsilon\nu B\cdot \epsilon\phi \Gamma$

#2

Θα δώσω μια ανορθόδοξη προσέγγιση μόνο στο ορθό του ερωτήματος (όχι αναγκαστικά για οξυγώνιο τρίγωνο), πατώντας σε μια συγγενική άσκηση, που ατυχώς ήταν η αφορμή για στενάχωρα γεγονότα στο mathematica. Παρακαλώ να μείνουμε μόνο στην ουσία των πολύ όμορφων ασκήσεων!

: 03-12-2010 Geometry b.png (21.42 KiB) Προβλήθηκε 900 φορές

Έστω ΑΒΓ τυχαίο τρίγωνο (με $\displaystyle \widehat\Gamma \ne 90^\circ$ ), με ΑΗ ύψος, ΓΔ διχοτόμο και διάμεσο από το Β, που συντρέχουν στο Θ.

Φέρνουμε παράλληλη από το Β στην ΑΗ, και προεκτείνουμε τη ΓΑ, ώστε να τέμνονται στο Ζ.
Τότε ΑΖ = ΒΓ
Βλέπε άσκηση εδώ

$\displaystyle \left( {AB\Gamma } \right) = \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B} \cdot \eta \mu {\rm A} \Rightarrow \;\eta \mu {\rm A} = \frac{{2\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}}{{{\rm A}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm H}}}{{{\rm A}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B}}}$ (1)

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm B} \cdot \varepsilon \phi \Gamma = \frac{{{\rm B}{\rm H}}}{{{\rm A}{\rm B}}} \cdot \frac{{{\rm A}{\rm H}}}{{\Gamma {\rm H}}}$ (2)

Από Θ. Θαλή για ΑΗ // ΒΖ είναι: $\displaystyle \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{{{\rm B}{\rm H}}}{{\Gamma {\rm H}}}$ (3),

οπότε από (1), (2) και (3) είναι
$\displaystyle \eta \mu {\rm A} = \sigma \upsilon \nu {\rm B} \cdot \varepsilon \phi \Gamma$

Το αντίστροφο αύριο...

Γιώργος Ρίζος

Ιστοσελίδα · #3

Από το θεώρημα Ceva, το ύψος $A\varDelta$ , η διάμεσος

και η διχοτόμος $\varGamma Z$ διέρχονται από το ίδιο σημείο, αν και μόνο αν

$\dfrac{\varDelta B}{\varDelta \Gamma}\cdot\dfrac{E\varGamma}{EA}\cdot\dfrac{ZA}{ZB}=1 \Leftrightarrow$ $\dfrac{\varDelta B}{\varDelta \Gamma}\cdot\dfrac{\beta}{\alpha}=1 \Leftrightarrow$ $\dfrac{\alpha}{\gamma}=\dfrac{\beta\cdot B\varDelta}{\gamma\cdot\varDelta\varGamma} \Leftrightarrow$ $\dfrac{\alpha}{\gamma}=\dfrac{B\varDelta /\gamma}{\varDelta\varGamma /\beta} \Leftrightarrow$ $\dfrac{\sin A}{\sin \varGamma}=\dfrac{\cos B}{\cos \varGamma} \Leftrightarrow$ $\sin A=\cos B\cdot\tan\varGamma .$

#4

Σχετική και η κουβέντα εδώ
viewtopic.php?f=50&p=40498#p40498

#5

καλημέρα σας και σας ευχαριστώ
η απάντηση που έχω είναι ίδια με του Στράτη

#6

Rigio έγραψε: Το αντίστροφο αύριο...

Όπως είχα υποσχεθεί, δίνω το αντίστροφο της άσκησης της Φωτεινής,
με τη σημείωση ότι δεν θα την πρότεινα για "γενική χρήση" σε μαθητές Β΄ Λυκείου, λόγω του αυξημένου βαθμού δυσκολίας (κατά τη γνώμη μου). Πολύ καλή, όμως, για μερακλήδες, είδος εν αφθονία στην

παρέα μας.

: 04-12-2010 Geometry.png (23.16 KiB) Προβλήθηκε 783 φορές

Έστω ΑΒΓ τρίγωνο (με $\displaystyle \widehat\Gamma = 90^\circ$ ), για το οποίο ισχύει: $\displaystyle \eta \mu {\rm A} = \sigma \upsilon \nu {\rm B} \cdot \varepsilon \phi \Gamma$ (1), με ΑΗ ύψος, ΓΔ διχοτόμο, που τέμνονται στο Θ. Φέρνουμε τη ΒΘ, η οποία προεκτεινόμενη τέμνει την ΑΓ στο Κ. Θα δείξουμε ότι η ΒΚ είναι διάμεσος.

Φέρνουμε παράλληλη από το Β στην ΑΗ, και προεκτείνουμε τη ΓΑ, ώστε να τέμνονται στο Ζ.

$\displaystyle \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B} \cdot \eta \mu {\rm A} \Rightarrow \;\eta \mu {\rm A} = \frac{{2\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}}{{{\rm A}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm H}}}{{{\rm A}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B}}}$ (2)

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm B} \cdot \varepsilon \phi \Gamma = \frac{{{\rm B}{\rm H}}}{{{\rm A}{\rm B}}} \cdot \frac{{{\rm A}{\rm H}}}{{\Gamma {\rm H}}}$ (3)

οπότε από (1), (2) και (3) είναι $\displaystyle \frac{{{\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm H}}}{{{\rm A}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B}}} = \frac{{{\rm B}{\rm H}}}{{{\rm A}{\rm B}}} \cdot \frac{{{\rm A}{\rm H}}}{{\Gamma {\rm H}}}\; \Rightarrow \;\frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{{{\rm B}{\rm H}}}{{\Gamma {\rm H}}}$

Από Θ. Θαλή για ΑΗ // ΒΖ είναι: $\displaystyle \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{{{\rm B}{\rm H}}}{{\Gamma {\rm H}}}$ (4), οπότε ΒΓ = ΑΖ

Τότε ΑΖ = ΒΓ

Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΓΒΖ υπάρχει σημείο Α της υποτείνουσάς του ΓΖ τέτοιο ώστε ΑΖ = ΒΓ. Οπότε στο τρίγωνο ΑΒΓ η διάμεσος από το Β, η διχοτόμος από το Γ και το ύψος από το Α συντρέχουν. (Βλέπε άσκηση εδώ ),

οπότε ΒΚ διάμεσος, όπως έπρεπε να δειχτεί.

Γιώργος Ρίζος

#7

Rigio έγραψε: με τη σημείωση ότι δεν θα την πρότεινα για "γενική χρήση" σε μαθητές Β΄ Λυκείου, λόγω του αυξημένου βαθμού δυσκολίας (κατά τη γνώμη μου). Πολύ καλή, όμως, για μερακλήδες, είδος εν αφθονία στην παρέα μας.

Γιώργο καλησπέρα,

κάποιες φορές δυσκολεύομαι να αποφασίσω σε ποιό φάκελο θα δώσω κάποια άσκηση
σωστά ή λάθος κάπου τη δίνω,μου αρέσει όμως να διαβάζω πολλές και διαφορετικές λύσεις από τους μερακλήδες του

όπως λες κι εσύ

αυτή είναι και η ομορφιά των Μαθηματικών,να βλέπεις το ίδιο θέμα από διαφορετικές οπτικές γωνίες

Ικανή και Αναγκαία Συνθήκη

Ικανή και Αναγκαία Συνθήκη

Re: Ικανή και Αναγκαία Συνθήκη

Re: Ικανή και Αναγκαία Συνθήκη

Re: Ικανή και Αναγκαία Συνθήκη

Re: Ικανή και Αναγκαία Συνθήκη

Re: Ικανή και Αναγκαία Συνθήκη

Re: Ικανή και Αναγκαία Συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση