Άσκηση στη συνέχεια

apotin · #1

Τη βρήκα σε forum χωρίς απάντηση.
Ελπίζω να μην είναι ελλιπής.

Έστω f συνεχής στο R συνάρτηση για την οποία ισχύει:
$3f\left(x \right)=f\left(\frac{x}{2} \right)+f\left(\frac{x}{3} \right)$ για κάθε $x\epsilon R$ .
Να δείξετε ότι f(x)=0 για κάθε $x\epsilon R$ .

Κάθε βοήθεια δεκτή.

#2

Με επαναλαμβανόμενη χρήση της αρχικής συνθήκης λαμβάνουμε

$f(x)-f(y)=\frac{1}{3}[f(\frac{x}{2})-f(\frac{y}{2})]+\frac{1}{3}[f(\frac{x}{3})-f(\frac{y}{3})]=$

$=\frac{1}{9}[f(\frac{x}{4})-f(\frac{y}{4})]+\frac{2}{9}[f(\frac{x}{6})-f(\frac{y}{6})]+\frac{1}{9}[f(\frac{x}{9})-f(\frac{y}{9})]=$

$=\frac{1}{27}[f(\frac{x}{8})-f(\frac{y}{8})]+\frac{3}{27}[f(\frac{x}{12})-f(\frac{y}{12})]+\frac{3}{27}[f(\frac{x}{18})-f(\frac{y}{18})]+\frac{1}{27}[f(\frac{x}{27})-f(\frac{y}{27})]=$

=.......................................................................=

$\frac{1}{3^{n}}\{\sum_{k=0}^{k=n}C_{k}^{n}[f(\frac{x}{2^{n-k}3^{k}})-f(\frac{y}{2^{n-k}3^{k}})]\}$ ,

όπου $C_{k}^{n}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

Έστω $\varepsilon>0$ . Λόγω συνέχειας στο

και

(προκύπτει άμεσα από την αρχική συνθήκη) υπάρχει $\delta>0$ τέτοιο ώστε $|a|<\delta\Longrightarrow|f(a)|<\varepsilon$ , οπότε ισχύει και η $|a|<\delta,|b|<\delta\Longrightarrow|f(a)-f(b)|<|f(a)|+|f(b)|<2\epsilon$ .

Θεωρούμε τώρα τυχόντα

και

. Επιλέγουμε

αρκετά μεγάλο ώστε να ισχύουν οι ανισότητες $|\frac{x}{2^{n-k}3^{k}}|<\delta, |\frac{y}{2^{n-k}3^{k}}|<\delta$ για $0\leq k\leq n$ -- αρκεί ας πούμε να επιλέξουμε $n>\frac{|x|+|y|}{\delta ln2}$ . Προκύπτει τώρα η ανισότητα

$|f(x)-f(y)|\leq\frac{1}{3^{n}}\sum_{k=0}^{k=n}C_{k}^{n}|[f(\frac{x}{2^{n-k}3^{k}})-f(\frac{y}{2^{n-k}3^{k}})]|<\frac{2\varepsilon}{3^{n}}\sum_{k=0}^{k=n}C_{k}^{n}=\frac{2^{n+1}\varepsilon}{3^{n}}\leq\frac{4\varepsilon}{3}$

που μας επιτρέπει να συμπεράνουμε, λόγω τυχαιότητας του $\varepsilon$ , ότι f(x)=f(y)

και ότι η

είναι σταθερή (και ίση παντού με μηδέν λόγω της f(0)=0

).

Γιώργος Μπαλόγλου

apotin · #3

Ευχαριστώ πολύ.
Υπάρχει περίπτωση να λύνεται με γνώσεις Λυκείου; γιατί απευθυνόταν σε μαθητές η άσκηση.

nikoszan · #4

H άσκηση ήταν προτεινόμενη από τον nikozan και η λύση με ύλη λυκείου μπορεί να δοθεί εφόσον επικοινωνήσετε με τον ίδιο και με το πραγματικό σας όνομα.

#5

nikoszan έγραψε:H άσκηση ήταν προτεινόμενη από τον nikozan και η λύση με ύλη λυκείου μπορεί να δοθεί εφόσον επικοινωνήσετε με τον ίδιο και με το πραγματικό σας όνομα.

Νομίζω πως και η δική μου λύση βρίσκεται σε σχολικά πλαίσια, χωρίς φυσικά να ισχυρίζομαι ότι είναι η συντομότερη δυνατή

[Το υπόλοιπο

τι λέει, ή μάλλον τι πράττει; Εδώ μας έχουν πετάξει ένα γάντι νααααα, με το συμπάθειο

]

#6

Ο Σωτήρης (Λουρίδας)είχε προτείνει, (πέρσι άν θυμάμαι καλά)
ότι αυτός που ανεβάζει μία άσκηση καλό είναι να ανεβάζει και την λύση μετά από κάποιο χρονικό διάστημα
και όλοι συμφωνήσαμε σε αυτό.
Ειλικρινά, δεν καταλαβαίνω την αντίδραση του nikoszan.

Χρήστος

#7

Θα ήθελα να υπενθυμίσω ότι οι κανόνες δεοντολογίας που συνοδεύουν τον κανονισμό μας (τον οποίο οφείλουν να διαβάσουν όσοι θέλουν να γράφουν στο mathematica) αναφέρει:

17) Για κάθε άσκηση που στέλνετε αναλαμβάνετε και την υποχρέωση, αν δεν δοθεί λύση, να στείλετε σε εύλογο χρονικό διάστημα ή εφόσον σας ζητηθεί την δική σας. Στην περίπτωση που δεν διαθέτετε λύση έχετε την ηθική υποχρέωση να το αναφέρετε ταυτόχρονα με την αποστολή της άσκησης.

Μαυρογιάννης

Ανδρέας Πούλος · #8

Γιώργο,
το μαθηματικό πρόβλημα είναι πρόβλημα και αυτό είναι που μας ενδιαφέρει.
Το άλλο πρόβλημα κάνε ότι δεν το είδες. Και εδώ που τα λέμε, τέτοια προβλήματα ξέρεις να τα λύνεις;
Προσωπικά, δυσκολεύομαι πολύ και δεν έχω και την ανάλογη εκπαίδευση.
Πάντως, σπάνια προκύπτουν τέτοιες καταστάσεις μου μεταφέρουν μία αίσθηση αμηχανίας.
Καλή εβδομάδα.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#9

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Γιώργο,
το μαθηματικό πρόβλημα είναι πρόβλημα και αυτό είναι που μας ενδιαφέρει.
Το άλλο πρόβλημα κάνε ότι δεν το είδες. Και εδώ που τα λέμε, τέτοια προβλήματα ξέρεις να τα λύνεις;
Προσωπικά, δυσκολεύομαι πολύ και δεν έχω και την ανάλογη εκπαίδευση.
Πάντως, σπάνια προκύπτουν τέτοιες καταστάσεις μου μεταφέρουν μία αίσθηση αμηχανίας.
Καλή εβδομάδα.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ας διευκρινίσω εδώ ότι γράφοντας πως "μας πέταξαν το γάντι" αναφερόμουν σε μαθηματική και όχι δεοντολογική πρόκληση, και καλούσα το

να βρει την απλή/σχολική λύση που έχει ο nikoszan ... και που προτιμά να μην αποκαλύψει δημόσια, ίσως επειδή η άσκηση του προέρχεται από άλλο φόρουμ.

Γιώργος Μπαλόγλου

#10

Η παρακάτω λύση χρησιμοποιεί μια ιδέα γνωστή στη βιβλιογραφία ως "τέχνασμα του Herglotz" (Herglotz trick).

Έστω a > 0

τυχαίος. Θεωρούμε το διάστημα I=[-a, a]

και θέτουμε $M = max\{|f(x)| : x \in I\} \geq 0$ . Παρατηρούμε ότι αν $x \in I$ , τότε $\displaystyle \frac{x}{2} \in I$ και $\displaystyle \frac{x}{3} \in I$ .
Από τη σχέση
$\displaystyle{\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}f\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{3}f\left(\frac{x}{3}\right)$
προκύπτει ότι για κάθε $x \in I$ ισχύει
$\displaystyle |f(x)| \leq \frac{1}{3}\left|f\left(\frac{x}{2}\right)\right| + \frac{1}{3}\left|f\left(\frac{x}{3}\right)\right| \leq \frac{1}{3}M + \frac{1}{3}M = \frac{2}{3}M$ ,
οπότε $M \leq \frac{2}{3}M$ και άρα M=0

. Συνεπώς, είναι f(x) = 0

για κάθε $x \in I$ κι αφού το a > 0

είναι τυχαίο, έπεται ότι f(x) = 0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

------
Βαγγέλης Μουρούκος

mathxl · #11

Βαγγέλη ακριβώς την ίδια λύση σκέφτηκα και εγώ αλλά χρειαζόμουν το κλειστό διάστημα, για να εφαρμόσω το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής

Στο [α,β] η συνεχής f θα έχει ελάχιστη τιμή Ε και μέγιστη Μ. Δηλαδή θα υπάρχουν κ,λ στο [α,β] τέτοια ώστε f(κ)=E,
f(λ)=Μ ώστε για κάθε χ στο [α,β] να ισχύει $\displaystyle{{\rm E} \le f\left( x \right) \le {\rm M}}$

Για χ= κ στη δοθείσα λαμβάνουμε
$\displaystyle{3E = f\left( {\frac{\kappa }{2}} \right) + f\left( {\frac{\kappa }{3}} \right) \ge E + E \Leftrightarrow E \ge 0}$

Για χ = λ στην δοθείσα λαμβάνουμε
$\displaystyle{3M = f\left( {\frac{\lambda }{2}} \right) + f\left( {\frac{\lambda }{3}} \right) \le M + M \Leftrightarrow M \le 0}$

Δείξαμε λοιπόν ότι
$\displaystyle{0 \le E \le M \le 0 \Leftrightarrow E = M = 0}$
Μας καλύπτει το συμμετρικό ως προς το 0 διάστημα που επέλεξε ο Βαγγέλης όσον αφορά το R;

#12

mathxl έγραψε:Μας καλύπτει το συμμετρικό ως προς το 0 διάστημα που επέλεξε ο Βαγγέλης όσον αφορά το R;

Βεβαίως, αν σε κάποιο x η συνάρτηση δεν μηδενίζεται θεωρούμε διάστημα [-α, α] που περιέχει το x, κλπ κλπ

[Πολύ όμορφη λύση, τέλος του αχρείαστου 'μυστηρίου', ευχαριστούμε!]

Γιώργος Μπαλόγλου

Ανδρέας Πούλος · #13

Βαγγέλη και Βασίλη,
σας ευχαριστώ πολύ.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

apotin · #14

Ευχαριστώ και εγώ όλους όσοι ασχολήθηκαν με το θέμα.
Ομολογώ ότι δεν περίμενα μια απορία για μια άσκηση να φέρει τέτοια ... "αναστάτωση".

apotin · #15

Και για τον Gustav Herglotz

herglotz trick.pdf: (203.89 KiB) Μεταφορτώθηκε 233 φορές

mathxl · #16

nikoszan έγραψε:H άσκηση ήταν προτεινόμενη από τον nikozan και η λύση με ύλη λυκείου μπορεί να δοθεί εφόσον επικοινωνήσετε με τον ίδιο και με το πραγματικό σας όνομα.

Φίλε Νίκο Ζαν. το πραγματικό μου όνομα είναι Βασίλης Μαυροφρύδης και μιας και είσαι μέλος μας θα ήθελα να δω την λύση εφόσον είναι με λυκειακή ύλη.
Δεν μου αρέσει αυτό που έγραψα ως λύση. Ναι, είναι μαγική η σκέψη με το άτοπο που περιγράφει ο Γιώργος στο κλπ κλπ που απαιτεί να σκεφτούμε ότι, αν υπάρχει κάποιο κ στο οποίο η f δεν μηδενίζει τότε θα υπάρχει πάντα κλειστό διάστημα που το περιέχει (προφανές αλλά και πόσο λυκειακό;!) και με τον τρόπο που περιέγραψε ο Βαγγέλης ή εγώ καταλήγουμε σε άτοπο....άρα δεν υπάρχει τέτοιο κ, οπότε παντού είναι η μηδενική.
Ειλικρινά θα ήθελα να δω κάτι διαφορετικό
Με εκτίμηση!

#17

apotin έγραψε:Και για τον Gustav Herglotz
herglotz trick.pdf

...Και στην τελευταία γραμμή του συνημμένου που μας έστειλες φαίνεται πως αυτός που αποθανάτισε το τέχνασμα του Herglotz ήταν ο Καραθεοδωρή!

#18

mathxl έγραψε:
nikoszan έγραψε:H άσκηση ήταν προτεινόμενη από τον nikozan και η λύση με ύλη λυκείου μπορεί να δοθεί εφόσον επικοινωνήσετε με τον ίδιο και με το πραγματικό σας όνομα.
Φίλε Νίκο Ζαν. το πραγματικό μου όνομα είναι Βασίλης Μαυροφρύδης και μιας και είσαι μέλος μας θα ήθελα να δω την λύση εφόσον είναι με λυκειακή ύλη.
Δεν μου αρέσει αυτό που έγραψα ως λύση. Ναι, είναι μαγική η σκέψη με το άτοπο που περιγράφει ο Γιώργος στο κλπ κλπ που απαιτεί να σκεφτούμε ότι, αν υπάρχει κάποιο κ στο οποίο η f δεν μηδενίζει τότε θα υπάρχει πάντα κλειστό διάστημα που το περιέχει (προφανές αλλά και πόσο λυκειακό;!) και με τον τρόπο που περιέγραψε ο Βαγγέλης ή εγώ καταλήγουμε σε άτοπο....άρα δεν υπάρχει τέτοιο κ, οπότε παντού είναι η μηδενική.
Ειλικρινά θα ήθελα να δω κάτι διαφορετικό
Με εκτίμηση!

Τι είναι "λυκειακή λύση" τελικά; Μια λύση που θα μπορούσε να βρει ένας καλός έως πολύ καλός μαθητής λυκείου, ή μια λύση που θα μπορούσε να κατανοήσει αυτός ο μαθητής; Υποπτεύομαι πως λύση απλούστερη αυτής του Βαγγέλη -- που νομίζω πως είναι αρκετά κατανοητή, εισάγοντας ταυτόχρονα τον μαθητή σ' έναν 'ανώτερο' τρόπο σκέψης -- δεν υπάρχει, φυσικά θα χαρώ αν διαψευσθώ

Γιώργος Μπαλόγλου

#19

Ένα παρόμοιο θέμα βρίσκεται στο αρχείο με τίτλο ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ (τεύχος 2) στην νέα ιστοσελίδα
"ὅπερ ἔδει δεῖξαι" εδώ, των καλών φίλων Γιάννη Απλακίδη και Νίκου Ζανταρίδη.

Δεν έχω ρωτήσει τον Γιάννη και τον Νίκο αν και πώς θα αναρτούν τις λύσεις που θα στέλνονται στην ιστοσελίδα τους.

Πάντως πολλά από τα θέματα της ιστοσελίδας είναι αληθινές προκλήσεις για τους πεινασμένους και λαίμαργους φίλους του mathematica. Ας την επισκεφθούν όσοι δεν το είχαν υπόψη τους.

Γιώργος Ρίζος

#20

Σε επικοινωνία που είχα σήμερα με τον καλό φίλο και συνάδελφο Νίκο Ζανταρίδη επ' ευκαιρία της ονομαστικής του εορτής, συζητήσαμε το θέμα που προέκυψε με την πρώτη "επεισοδιακή", όπως αναφέρθηκε, ανάρτηση του Νίκου.

Ο Νίκος, ενώ έχει από πολύ καιρό κωδικό στο mathematica, και παρακολουθεί τις συζητήσεις μας, δεν χρησιμοποιεί υπολογιστή για να γράφει μαθηματικά (ή οτιδήποτε άλλο...). Αυτό το διαβεβαιώνω! Θυμάμαι όταν συνεργαζόμασταν για την έκδοση του βιβλίου του "Ανισοτικές Σχέσεις και Μαθηματικοί Διαγωνισμοί", η επιμέλεια των δοκιμίων γινόταν με το χέρι και η επικοινωνία με το ταχυδρομείο.

Επί του Θέματος:

nikoszan έγραψε:H άσκηση ήταν προτεινόμενη από τον nikozan και η λύση με ύλη λυκείου μπορεί να δοθεί εφόσον επικοινωνήσετε με τον ίδιο και με το πραγματικό σας όνομα.

Η παραπάνω ανάρτηση έγινε από έναν μαθητή του Νίκου, κατόπιν παράκλησής του, γι αυτό και γράφτηκε σε τρίτο πρόσωπο, κάτι που σίγουρα μάς παραξένεψε!
Η παρέμβαση δεν απευθύνεται στα μέλη του mathematica, παρά μόνο στον χρήστη με το ψευδόνυμο apotin.
Ο λόγος της παρέμβασης αυτής ήταν ότι η άσκηση που αναρτήθηκε ΔΕΝ ήταν από forum, ήταν κατασκευή του Νίκου, δεν είχε δημοσιευτεί πουθενά, απλά είχε δοθεί ως "πρόκληση" σε μαθητές του φροντιστηρίου.
Αν ο χρήστης apotin μπορεί να αποδείξει ότι υπάρχει σε κάποιο forum, θα τον παρακαλούσαμε να δώσει το σχετικό σύνδεσμο.
Επειδή είχε επαναληφθεί το ίδιο φαινόμενο: Η άσκηση, στην οποία ζητά λύση ο apotin εδώ περιέχεται στο φάκελο Προκλήσεις τεύχος 2 εδώ, δίχως να γίνεται αναφορά στην πηγή.

Τώρα που, έστω και μ' αυτόν τον τρόπο, έγιναν γνωστές οι Προκλήσεις των Γιάννη και Νίκου στο δικτυακό τους χώρο, πιστεύω ότι με χαρά θα δεχτούν τις προσεγγίσεις των "μερακλήδων" του mathematica. Είμαι βέβαιος ότι πολλά θέματα θα αναπαραχθούν στο χώρο μας, με αναφορά στην πηγή, και πολλές ιδέες και προεκτάσεις θα γεννηθούν!

Οι λύσεις του Βαγγέλη και του Βασίλη είναι στο ίδιο πνεύμα με τη λύση που ο Νίκος μού έστειλε με fax με την παράκληση να αναρτήσω στο mathematica.

Έστω f συνεχής στο R συνάρτηση για την οποία ισχύει:
$\displaystyle 3f\left( x \right) = f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{3}} \right)$ (1) για κάθε $\displaystyle x \in R$ .Να δείξετε ότι f(x) = 0 για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

Λύση:
Έστω α > 0 τυχαίος. Επειδή η f είναι συνεχής στο [-α, α] έπεται ότι η f παρουσιάζει στο [-α, α] ελάχιστο μ και μέγιστο Μ.

Έστω $\displaystyle x_0 \in \left[ { - \alpha ,\;\alpha } \right]$ η θέση στην οποία η f παρουσιάζει μέγιστο, τότε θα είναι $\displaystyle f\left( {x_0 } \right) = M$

και επειδή για $\displaystyle x_0 \in \left[ { - \alpha ,\;\alpha } \right]$ έχουμε $\displaystyle \frac{{x_0 }}{2},\;\frac{{x_0 }}{3} \in \left[ { - \alpha ,\;\alpha } \right]$ , θα ισχύει: $\displaystyle f\left( {\frac{{x_0 }}{2}} \right) \le M\;\kappa \alpha \iota \;f\left( {\frac{{x_0 }}{3}} \right) \le M$ .

Από την (1) για $\displaystyle x = x_0$ έχουμε: $\displaystyle 3f\left( {x_0 } \right) = f\left( {\frac{{x_0 }}{2}} \right) + f\left( {\frac{{x_0 }}{3}} \right)\; \Rightarrow \;3M \le M + M\; \Rightarrow \;M \le 0$

Ομοίως αποδεικνύεται ότι $\displaystyle \mu \ge 0$ .

Έτσι, για κάθε $\displaystyle x \in \left[ { - \alpha ,\;\alpha } \right]$
είναι: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \le M \le 0 \\ f\left( x \right) \ge \mu \ge 0 \\ \end{array} \right.$ , οπότε είναι $\displaystyle f\left( x \right) = 0$ για κάθε $\displaystyle x \in \left[ { - \alpha ,\;\alpha } \right]$ και για οποιοδήποτε α > 0, επομένως είναι f(x) = 0 για κάθε $x \in R$ .

Για την μεταφορά,
Γιώργος Ρίζος

Άσκηση στη συνέχεια

Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Re: Άσκηση στη συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση