ΕΝΑ ΠΑΛΙΟ ΘΕΜΑ ......

[ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ]

To  παρακάτω  θέμα   δόθηκε  στην  '' Εθνική  Μαθηματική   Ολυμπιάδα'' , που  διεξήχθη  στις  20/12/1985  στη  Σχολή  Αναβρύτων ,  από  την  Ε.Μ.Ε.Το  βρήκα  στο  περιοδικό  ''ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ  Α΄''  της  Ε.Μ.Ε., τεύχος  4, της  περιόδου  1985-1986.

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ.
α)Αν Δ σημείο της πλευράς ΒΓ, να δείξετε ότι το τμήμα ΑΔ είναι μικρότερο από την πλευρά ΑΒ ή την πλευρά ΑΓ.
β)Αν Ε σημείο της πλευράς ΑΒ και Ζ σημείο της πλευράς ΑΓ , να δείξετε ότι το τμήμα ΕΖ είναι μικρότερο από τη μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ. 

[GMANS]

α)Έστω ΑΚ ύψος του τριγώνου ΑΒΓ
ι) Αν Δ ταυτίζεται με Κ τότε ΑΔ=ΑΚ<ΑΓ
ιι) Αν Δ εσωτερικό του ΓΚ τότε ΚΔ<ΚΓ άρα ΑΔ<ΑΓ
ιιι) Αν Δ εσωτερικό ΒΚ τότε ΚΔ<ΚΒ άρα ΑΔ<ΑΒ
οπότε ΑΔ <ΑΒ ή ΑΔ<ΑΓ
β) έστω d η μεγαλύτερη από τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ.
Από το (α) ερώτημα είναι ΕΖ<ΑΖ ή ΕΖ<ΒΖ
ι) Αν ΕΖ<ΑΖ<ΑΓ άρα ΕΖ<d
ii) Αν ΕΖ<ΒΖ με δεδομένο ότι από (α) ερώτημα είναι ΒΖ<ΒΑ ή ΒΖ<ΒΓ άρα ΒΖ<d οπότε ΕΖ<ΒΖ<d
Υ.Γ.
Θεώρησα τα σημεία Δ, Ε, Ζ εσωτερικά των αντίστοιχων ευθύγραμμων τμημάτων Αν για παράδειγμα το Δ ταυτίζεται με Β και ΑΒ>ΑΓ τότε το ζητούμενο στο (α) ερώτημα δεν ισχύει μια και ΑΔ=ΑΒ>ΑΓ