ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

G.Tsikaloudakis · #1

Με αφορμή την ερώτηση συναδέλφου, στην ερώτηση Σ-Λ:
' για οποιαδήποτε συνάρτηση g συνεχή στο xo και f μη συνεχή στο g(xo) ,
η fog δεν είναι συνεχής στο xo - στην οποία η απάντηση είναι (Λ) - να βρεθούν τέτοιες συναρτήσεις ( που να φαίνεται το λάθος).

mtsarduckas · #2

Έστω

συνεχής στο $\mathbb{R}$ και $f(x)=\frac{1}{x}$ ασυνεχής στο x_0=0

. H $f(g(x))=\frac{1}{x+1}$ είναι συνεχής στο x_0=0

G.Tsikaloudakis · #3

Συνάδελφε(;) καλήμέρα.
Η απάντηση σου δεν είναι το ζητούμενο , καθότι g(0)=1 και στο 1 η f είναι συνεχής.
Φιλικά Γιώργος.

#4

Ερώτηση Σ Λ
Για οποιαδήποτε συνάρτηση g συνεχή στο xo και
f μη συνεχή στο g(xo) ,
η fog δεν είναι συνεχής στο xo
Απάντηση είναι (Σ)
Έστω g(x)=x+1

συνεχής στο 0 και $f(x)=\frac{1}{x-1}$ ασυνεχής στο ${{x}_{0}}=g(0)=1$ .
H $f(g(x))=\frac{1}{x}$ δεν ορίζεται στο x_0=0

άρα δεν μιλάμε για συνέχεια .
Υ.Γ: Υπαρχουν π.χ και με διτιμες..

#5

G.Tsikaloudakis έγραψε:Με αφορμή την ερώτηση συναδέλφου, στην ερώτηση Σ-Λ:
' για οποιαδήποτε συνάρτηση g συνεχή στο xo και f μη συνεχή στο g(xo) ,
η fog δεν είναι συνεχής στο xo - στην οποία η απάντηση είναι (Λ) - να βρεθούν τέτοιες συναρτήσεις ( που να φαίνεται το λάθος).

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε: <...> $f(x)=\frac{1}{x-1}$ ασυνεχής στο ${{x}_{0}}=g(0)=1$ .

Κώστα, η

δεν ορίζεται στο 1, άρα δεν εξετάζουμε συνέχεια η μη.

Παράδειγμα όπως το ζητά ο Γιώργος:

οποιαδήποτε συνάρτηση ορισμένη σε όλο το

(και ειδικά μη συνεχή στο 0), g(x) = 0

στο

.
Τότε

σταθερή, άρα (παντού) συνεχής.

Αν δεν θέλουμε σταθερή g, να άλλο παράδειγμα: g(x) = x^2

και

αν $x \ge 0$ και f(x) = 1

αλλιώς.
Έτσι

ασυνεχής στο g(0) = 0

όμως

, άρα

παντού συνεχής ως σταθερά.

Φιλικά,

Μιχάλης

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
G.Tsikaloudakis έγραψε:Με αφορμή την ερώτηση συναδέλφου, στην ερώτηση Σ-Λ:
' για οποιαδήποτε συνάρτηση g συνεχή στο xo και f μη συνεχή στο g(xo) ,
η fog δεν είναι συνεχής στο xo - στην οποία η απάντηση είναι (Λ) - να βρεθούν τέτοιες συναρτήσεις ( που να φαίνεται το λάθος).

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε: <...> $f(x)=\frac{1}{x-1}$ ασυνεχής στο ${{x}_{0}}=g(0)=1$ .
Κώστα, η δεν ορίζεται στο 1, άρα δεν εξετάζουμε συνέχεια η μη.

Παράδειγμα όπως το ζητά ο Γιώργος: οποιαδήποτε συνάρτηση ορισμένη σε όλο το (και ειδικά μη συνεχή στο 0), στο .
Τότε σταθερή, άρα (παντού) συνεχής.

Αν δεν θέλουμε σταθερή g, να άλλο παράδειγμα: και αν $x \ge 0$ και αλλιώς.
Έτσι ασυνεχής στο όμως , άρα παντού συνεχής ως σταθερά.

Φιλικά,

Μιχάλης

Μιχάλη έχεις δίκιο
Τώρα νομίζω είναι εντάξει.
Έστω g(x)=x+1

συνεχής στο 0 και $f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x-1},x\ne 1 \\ 0,x=1 \\ \end{matrix} \right.$ ασυνεχής στο ${{x}_{0}}=g(0)=1$ .
H $f(g(x))=\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x},x\ne 0 \\ 0,x=0 \\ \end{matrix} \right.$ δεν είναι συνεχής x_0=0

.

G.Tsikaloudakis · #7

Eυχαριστώ τους συναδέλφους Μιχάλη και Κώστα για τα παραδείγματα.
Παραθέτω και το δικό μου παράδειγμα:
Αν

$\displaystyle{g(x) = \left\{ \begin{array}{l} {e^{\eta \mu x}}{\rm{, x }} < {\rm{ 0}}\\ \sigma \upsilon \nu x{\rm{ }},{\rm{ x}} \ge {\rm{0}} \end{array} \right.{\rm{ }}{\rm{, f(x)}} = \left\{ \begin{array}{l} {{\rm{x}}^2}{\rm{, x }} \le {\rm{1 }}\\ \ln x{\rm{ }},{\rm{ x}} > {\rm{1}} \end{array} \right.}$

Εύκολα βρίσκουμε ότι η $\displaystyle{g}$ είναι συνεχής στο 0 , η $\displaystyle{f}$ ασυνεχής στο $\displaystyle{g(0) = 1}$ ενώ η $\displaystyle{f \circ g}$ είναι συνεχής στο 0.

ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Μέλη σε σύνδεση