Εξίσωση Β λυκείου

irakleios · #1

θεωρούμε το πολυώνυμο f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + g

με πραγματικούς συντελεστές. Αν b^2- ac < 0

, να δειχτεί ότι το f(x) έχει μια πραγματική ρίζα ακριβώς .

μέχρι Κυριακή 12 Δεκεμβρίου.

Eukleidis · #2

irakleios έγραψε:θεωρούμε το πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές. Αν , να δειχτεί ότι το f(x) έχει μια πραγματική ρίζα ακριβώς .

μέχρι Κυριακή 12 Δεκεμβρίου.

Mε κάθε επιφύλαξη.

Γνωρίζουμε ότι κάθε συνάρτηση περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα.

Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + g}$ και $\displaystyle{g'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c}$ Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι $\displaystyle{D = 4{b^2} - 12ac = 4\left( {{b^2} - 3ac} \right) < 0}$ πράγμα το οποίο επεται από το γεγονός ότι $\displaystyle {b^2} < ac < 3ac}$ . Αρα η πρώτη παραγωγος θα είναι πάντα θετική με αποτέλεσμα η g να είναι γνησίως αυξουσα και να εχει ακριβως μια μονο πραγματική ρίζα. Αρα η παραγωγος θα διατηρεί σταθερο πρόσημο αρα η g θα είναι γνησίως αυξουσα ή γν φθίνουσα.

irakleios · #3

Eukleidis έγραψε:
irakleios έγραψε:θεωρούμε το πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές. Αν , να δειχτεί ότι το f(x) έχει μια πραγματική ρίζα ακριβώς .

μέχρι Κυριακή 12 Δεκεμβρίου.
Mε κάθε επιφύλαξη.

Γνωρίζουμε ότι κάθε συνάρτηση περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα.

Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + g}$ και $\displaystyle{g'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c}$ Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι $\displaystyle{D = 4{b^2} - 12ac = 4\left( {{b^2} - 3ac} \right) < 0}$ πράγμα το οποίο επεται από το γεγονός ότι $\displaystyle {b^2} < ac < 3ac}$ . Αρα η πρώτη παραγωγος θα είναι πάντα θετική με αποτέλεσμα η g να είναι γνησίως αυξουσα και να εχει ακριβως μια μονο πραγματική ρίζα.

Σωστός , αλλά είναι για Β λυκείου...και εκεί δεν ξέρουν παραγώγους.

Νασιούλας Αντώνης · #4

Μια ερώτηση. Για να είναι η παράγωγος πάντα θετική πρέπει εκτός από διακρίνουσα αρνητική (την έχουμε) ο συντελεστής του x^2 να είναι θετικός. Αυτό από που πηγάζει? Από τη δοσμένη έχουμε
$0\leq b^{2}<ac$ που σημαίνει ότι a,c ομόσημοι και όχι θετικοί. Δεν ξέρω αν χάνω κάπου. Μήπως θα ήταν πιο σωστό να πούμε ότι αφού Δ<0 η 1η παράγωγος διατηρεί σταθερό πρόσιμο και άρα η g είναι γνησίως μονότονη άρα "1-1" και άρα έχει ακριβώς μια ρίζα.

Eukleidis · #5

Ναι λάθος μου θα διατηρεί σταθερό πρόσημο οποτε θα είναι γνησιως αυξουσσα ή γνησίως φθίνουσα. Αρα πάλι μένει ιδια η λύση.

Νασιούλας Αντώνης · #6

Έτσι είναι εντάξει. Ωραία λύση. Μπράβο σου!
Αντώνης

irakleios · #7

ναι , του την είχα υπογραμμίσει την πρόταση αλλά περισσότερο επιμένω ότι αυτή η άσκσηση είναι για Β λυκείου , άρα λύνεται με γνώσεις της Β. από τι ξέρω εκεί δεν έχουν παραγώγους...ή κάνω λάθος;

Eukleidis · #8

irakleios έγραψε:ναι , του την είχα υπογραμμίσει την πρόταση αλλά περισσότερο επιμένω ότι αυτή η άσκσηση είναι για Β λυκείου , άρα λύνεται με γνώσεις της Β. από τι ξέρω εκεί δεν έχουν παραγώγους...ή κάνω λάθος;

Mε ολον τον σεβασμό, έχω να κάνω καποιες παρατηρήσεις.
Κάθε πρόβλημα μπορεί να εχει παραπάνω απο μία λύσεις, καθεμία απο τις οποίες μπορεί να στηρίζεται σε διαφορετική ύλη, πράγμα όμως που δεν την καθιστά λανθασμένη. Σα μαθητής Β Λυκείου αυτό σκέφτηκα και αυτό κατέθεσα. Αν πλέον υπάρχει και λογοκρίσια για το τι ειδους απαντήσεις θα βάζουμε, τότε το μαθεματικα εχει αξία αποθήκης ασκήσεων και τίποτα παραπάνω.

Σχετικά τέλος με το ποστ σας, που το εκλαμβάνω ως ειρωνεία έχω να πω το εξής: Η ειρωνεία είναι το τελευταίο στάδιο της απελπισίας.
Ευχομαι να μη χρειαστεί να επανέλθω.

Φιλικά
Τζίρογλου Γιώργος

irakleios · #9

Eukleidis έγραψε:
irakleios έγραψε:ναι , του την είχα υπογραμμίσει την πρόταση αλλά περισσότερο επιμένω ότι αυτή η άσκσηση είναι για Β λυκείου , άρα λύνεται με γνώσεις της Β. από τι ξέρω εκεί δεν έχουν παραγώγους...ή κάνω λάθος;
Mε ολον τον σεβασμό, έχω να κάνω καποιες παρατηρήσεις.
Κάθε πρόβλημα μπορεί να εχει παραπάνω απο μία λύσεις, καθεμία απο τις οποίες μπορεί να στηρίζεται σε διαφορετική ύλη, πράγμα όμως που δεν την καθιστά λανθασμένη. Σα μαθητής Β Λυκείου αυτό σκέφτηκα και αυτό κατέθεσα. Αν πλέον υπάρχει και λογοκρίσια για το τι ειδους απαντήσεις θα βάζουμε, τότε το μαθεματικα εχει αξία αποθήκης ασκήσεων και τίποτα παραπάνω.

Σχετικά τέλος με το ποστ σας, που το εκλαμβάνω ως ειρωνεία έχω να πω το εξής: Η ειρωνεία είναι το τελευταίο στάδιο της απελπισίας.
Ευχομαι να μη χρειαστεί να επανέλθω.

ΦιλικάΤζίρογλου Γιώργος

Η απάντησή σου είναι ό τι πιο άσχετο έχω διαβάσει τον τελευταίο καιρό.
Πραγματικά δεν ξέρω που την είδες την ειρωνεία .
Είπα κάπου εγώ ότι η λύση είναι λανθασμένη; αν ναι πού ; το λάθος που υπογράμμισα στο εξήγησε ο Αντώνης αλλά έβαλα το σωστός διότι ο τρόπος ήταν μια χαρά , στη συνέχεια εξήγησα ότι λύνεται με γνώσεις Β λυκείου για αυτό αναφέρω για Β λυκείου.
Θα παρακαλέσω να διαβάζεις προσεκτικά τα όσα γράφονται και να μην δώσεις την δική σου διάθεση στα γραφόμενα.
Τέλος , αντί να εύχεσαι να μην επανέλθεις θα έλεγα να εύχεσαι να επανέλθεις όπως πρέπει.
ps: σου υπογράμμισα το φιλικά διότι πρέπει να το εννοούμε πού και πού.

Νασιούλας Αντώνης · #10

irakleios έγραψε:ναι , του την είχα υπογραμμίσει την πρόταση αλλά περισσότερο επιμένω ότι αυτή η άσκσηση είναι για Β λυκείου άρα λύνεται με γνώσεις της Β. από τι ξέρω εκεί δεν έχουν παραγώγους...ή κάνω λάθος;

Κύριε Irakleios,
παρόλο που η αντίδραση του Γιώργου θα μπορούσε να θεωρηθεί λίγο υπερβολική δεν νομίζω πως έχει τελείως άδικο. Αν πω ότι δεν μου κακοφάνηκε όταν διάβασα το παραπάνω θα είμαι ψεύτης. Είπα να σας στείλω αλλά μετά λέω άσε να μην το κάνω θέμα. Το παραπάνω μήνυμά σας είναι τουλάχιστον ειρωνικό. Δηλαδή δεν ξέρατε ότι δεν υπάρχουν παράγωγοι στη Β Λυκείου? Γιατί αν ξέρετε -που ξέρετε- τότε το ερώτημά σας είναι ειρωνικό. Τέλος πάντων, προτείνω να μην δοθεί συνέχεια μιας και μόνο κακό μπορεί να κάνει.
Αντώνης

irakleios · #11

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:
irakleios έγραψε:ναι , του την είχα υπογραμμίσει την πρόταση αλλά περισσότερο επιμένω ότι αυτή η άσκσηση είναι για Β λυκείου άρα λύνεται με γνώσεις της Β. από τι ξέρω εκεί δεν έχουν παραγώγους...ή κάνω λάθος;
Κύριε Irakleios,
παρόλο που η αντίδραση του Γιώργου θα μπορούσε να θεωρηθεί λίγο υπερβολική δεν νομίζω πως έχει τελείως άδικο. Αν πω ότι δεν μου κακοφάνηκε όταν διάβασα το παραπάνω θα είμαι ψεύτης. Είπα να σας στείλω αλλά μετά λέω άσε να μην το κάνω θέμα. Το παραπάνω μήνυμά σας είναι τουλάχιστον ειρωνικό. Δηλαδή δεν ξέρατε ότι δεν υπάρχουν παράγωγοι στη Β Λυκείου? Γιατί αν ξέρετε -που ξέρετε- τότε το ερώτημά σας είναι ειρωνικό. Τέλος πάντων, προτείνω να μην δοθεί συνέχεια μιας και μόνο κακό μπορεί να κάνει.
Αντώνης

Παιδιά πραγματικά απορώ...
τουλάχιστον ειρωνικό ;;; τότε ειρωνικό θα μπορούσε να θεωρηθεί και η ερώτησή σου σε άλλο ποστ εάν διδάσκεται η αόριστη ανίσωση ;;;;;;;!!!!!!
εγώ ΡΩΤΗΣΑ διότι ΗΘΕΛΑ ΝΑ ΜΑΘΩ εάν υπάρχουν καθηγητές που το λένε στα παιδιά.
εγώ σαν μαθητής(έτσι έκανα) θα έλεγα ότι την έχουμε μάθει μόνοι μας και θα ήταν ενδιαφέρον να δούμε τη λύση με γνώσεις μόνο Β λυκείου.
Μια άσκηση πχ της Α γυμνασίου σαφώς και λύνεται με γνώσεις ανωτέρων τάξεων αλλά όταν είναι στην Α την διδάσκουμε με γνώσεις της Α.
Ο διάλογος Αντώνη δεν μπορεί να κάνει ποτέ κακό,αρκεί να έχουμε διάθεση για μάθηση και όχι για κατάκριση!!!
Λυπούμαι που βλέπω τέτοια συμπεριφορά , προσωπικά δεν θα ξαναβάλω άσκηση σε αυτό το ποστ.
Και άλλη φορά θα παρακαλούσα να προτείνετε λύσεις (αυτό είναι το ζητούμενο) και όχι άσχετες κουβέντες.

Νασιούλας Αντώνης · #12

Παραθέτω μια λύση με ύλη Β Λυκείου.
Ελπίζω σωστή.
Έστω ότι το πολυώνυμο είχε δύο διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες τις $x_1,x_2, x_1\neq x_2$ .
Τότε θα ήταν: $f(x_1)=0\Leftrightarrow ax_1^3+bx_1^2+cx_1+g=0(1)$
και $f(x_2)=0\Leftrightarrow ax_2^3+bx_2^2+cx_2+g=0(2)$
Με αφαίρεση των (1),(2) κατά μέλη έχουμε:
$ax_1^3+bx_1^2+cx_1+g-(ax_2^3+bx_2^2+cx_2+g)=0\Leftrightarrow ax_1^3-ax_2^3+bx_1^2-bx_2^2+cx_1-cx_2+g-g=0\Leftrightarrow a(x_1^3-x_2^3)+b(x_1^2-x_2^2)+c(x_1-x_2)=0\Leftrightarrow a(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)+b(x_1-x_2)(x_1+x_2)+c(x_1-x_2)=0\Leftrightarrow (x_1-x_2)(ax_1^2+ax_1x_2+ax_2^2+bx_1+bx_2+c)=0\overset{x_1\neq x_2}{\Leftrightarrow} ax_1^2+ax_1x_2+ax_2^2+bx_1+bx_2+c=0\Leftrightarrow ax_1^2+(ax_2+b)x_1+ax_2^2+bx_2+c=0 (3)$
Για να ισχύει η (3) πρέπει η διακρίνουσά της ως προς x_1

να είναι μη αρνητική. Η (3) ως προς x_1

έχει διακρίνουσα
$\Delta_3 =(ax_2+b)^2-4a(ax_2^2+bx_2+c)=a^2x_2^2+2abx_2+b^2-4a^2x_2^2-4abx_2-4ac=-3a^2x_2^2-2abx_2+b^2-4ac$
Η διακρίνουσα του
-3a^2x_2^2-2abx_2+b^2-4ac=0(4)

ως προς

είναι
$\Delta _4=4a^2b^2-4(-3a^2)(b^2-4ac)=4a^2b^2+12a^b^2-48a^3c=16a^2b^2-48a^3c=16a^2(b^2-3ac)$
;Oμως από τη δοθείσα έχουμε
$b^2-ac<0\Leftrightarrow b^2<ac<3ac\Leftrightarrow b^2-3ac<0$
Άρα $\Delta_4<0$
Άρα η (4) ομόσημοι του συντελεστή του
x_2^2

άρα $\Delta_3<0$
Άτοπο! Άρα η αρχική μας υπόθεση ήταν εσφαλμένη. Ότι δηλαδή έχει δυο διαφορετικές ρίζες. Άρα το πολυώνυμο θα χει το πολύ μια ρίζα. Κάθε όμως πολυώνυμο περιττού βαθμού, έχει τουλάχιστον μια ρίζα.
Άρα τελικά το συγκεκριμένο πολυώνυμο θα έχει μια ρίζα ακριβώς.

YΓ. Είμαι περίεργος κύριε Ηράκλειε, να μάθω αν έχουμε την ίδια λύση ή υπάρχει και κάποια ακόμα.
Αντώνης

irakleios · #13

Το f(x) έχει μια τουλάχιστον ρίζα αφού είναι 3ου βαθμού , έστω ρ η ρίζα του . Τότε
x-ρ/f(x) και το πηλίκο θα είναι το Π(x) = ax^2 + (ap + b)x + (ap^2 + bp + c)

άρα f(x) = (x - p)Π(x)

Υπολογίζουμε την διακρίνουσα του Π(x) η οποία είναι
Δ = -3a^2p^2 -2bap - 4ac + b^2

με διακρίνουσα (ως προς p) Δ΄= b^2 - 3ac < 0

διότι

άρα Δ < 0 για κάθε ρ άρα το Π(x) δεν έχει ρίζες , οπότε η f(x) έχει μια ακριβώς ρίζα.

Νασιούλας Αντώνης · #14

Ωραία λύση, ευχαριστώ πολύ και συγγνώμη για ότι έγινε πιο πάνω. Καληνύχτα σας,
Αντώνης

irakleios · #15

και η λύση σου ήταν πολύ ωραία , την διάβασα με προσοχή(όσο μπορείς όταν είσαι κουρασμένος).
Ευχαριστώ που ασχολήθηκες .

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #16

irakleios έγραψε:Το f(x) έχει μια τουλάχιστον ρίζα αφού είναι 3ου βαθμού , έστω ρ η ρίζα του

Αυτό πως τεκμηριώνεται με ύλη Β! Λυκείου;

Θωμάς

#17

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:
irakleios έγραψε:Το f(x) έχει μια τουλάχιστον ρίζα αφού είναι 3ου βαθμού , έστω ρ η ρίζα του
Αυτό πως τεκμηριώνεται με ύλη Β! Λυκείου;

Θωμάς

Σωστά. Δεν τεκμιριώνεται.

Στην πραγματικότητα η αυστηρή απόδειξη είναι έξω και από την Γ’ Λυκείου. Χρειάζεται το αξίωμα πληρότητας.
Ευτυχώς που στην Γ΄ Λυκείου διατυπώνεται, έστω χωρίς απόδειξη, το Bolzano και από εκεί βγαίνει, ως γνωστόν, ότι οι τριτοβάθμιες έχουν λύση. Έτσι, από μεν σχολική σκοπιά (στην Γ΄ Λυκείου) το θέμα είναι πλήρες, αλλά από Μαθηματική υπάρχει κενό. Εννοείται, σωστά επιλέγει το Εκπαιδευτικό Σύστημα να αφήσει έξω το αξίωμα πληρότητας. Ακόμα και η πλειοψηφία των φοιτητών του Μαθηματικού, στα πρώτα έτη των σπουδών τους, δυσκολεύονται να το κατανοήσουν.

Φιλικά,

Μιχάλης

irakleios · #18

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:
irakleios έγραψε:Το f(x) έχει μια τουλάχιστον ρίζα αφού είναι 3ου βαθμού , έστω ρ η ρίζα του
Αυτό πως τεκμηριώνεται με ύλη Β! Λυκείου;

Θωμάς

ναι , το πρόσεξα αυτό αλλά είπα ότι κάπως "δικαιολογούμαι" διότι υπάρχει το θεώρημα(Bolzano) στη σελίδα 77 του σχολικού βιβλίου (αν και δεν το διδάσκουν πιστεύω) οπότε με αυτό μπορούμε να δείξουμε το ζητούμενο.

μετά στη λύση μου ανέφερα μόνο για 3ου βαθμού αποφεύγοντας για περιττού βαθμού διότι στο ιστορικό σημείωμα σελ 87 (κάτω κάτω *) γίνεται αναφορά για την 3ου βαθμού εξίσωση ότι με το μετασχηματισμό x = y - a/3

παίρνει τη μορφή
x^3 + Ax + B =0

(απο εδώ βρίσκοντας αριθμούς v και n ώστε -3vn=A και
v^3 + n^3 = B

την παραγοντοποιούμε με την γνωστή ταυτότητα...ολίγον κουραστικόν... ).
Αυτά...κατά τα άλλα θα συμφωνήσω με τον κ.Λάμπρου.

Εξίσωση Β λυκείου

Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Re: Εξίσωση Β λυκείου

Μέλη σε σύνδεση