Τουλάχιστον μία ρίζα

Aladdin · #1

Καλημέρα,
Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο R με $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f(x)}}{{{x^n}}} = 0}$ και n περιττός. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{{x_o}}$ έτσι ώστε $\displaystyle{f({x_o}) + x_o^n = 0}$

#2

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$\displaystyle{g(x)=x^n\Big(\frac{f(x)}{x^n}+1\Big), x\ne 0}$ , με $\displaystyle{g(0)=f(0).}$

Είναι προφανές ότι η $\displaystyle{g}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ και ότι

$\displaystyle{\lim _{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty}$ , $\displaystyle{\lim _{x\rightarrow -\infty}g(x)=-\infty }$ (αφού $\displaystyle{n}$ περιττός.)

Τότε, το ζητούμενο προκύπτει με εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano.

Aladdin · #3

Ευχαριστώ πολύ.
Aυτή τη λύση έδωσε μια μαθήτρια μου, " σπάω " το κεφάλι μου για άλλον τρόπο, σκέφτεται κανείς κάτι άλλο ;

Πέτρος

A.Spyridakis · #4

Ας κάνω μια προσπάθεια...
Έστω ότι $f(x)+x^n \neq 0 \ \ \forall x \in R$ . Τότε η

, ως άθροισμα συνεχών, θα είναι συνεχής στο

, άρα θα διατηρεί πρόσημο.
Αν $f(x)+x^n > 0 \ \forall x \in R$ , τότε για x<0

και παίρνοντας όρια στο $-\infty$ είναι
$\displaystyle\mathop { \lim }\limits_{x \to - \infty } \left(\frac{{f(x)}}{{{x^n}}} + 1 \right) \leq 0 \Rightarrow 1 \leq 0$ ΑΤΟΠΟ.
Όμοια, αν $f(x)+x^n < 0 \ \forall x \in R$ ,τότε για x>0

και παίρνοντας όρια στο $+\infty$ είναι
$\displaystyle\mathop { \lim }\limits_{x \to + \infty } \left(\frac{{f(x)}}{{{x^n}}} + 1 \right) \leq 0 \Rightarrow 1 \leq 0$ ΑΤΟΠΟ.
Άρα υπάρχει x_0

τ.ώ. $f(x_0)+{x_0}^n= 0$ .

Aladdin · #5

Μπράβο Αντώνη, το άτοπο έψαχνα και δεν μπορούσα...
Ευχαριστώ,
Πέτρος

#6

Μαθηματικός έγραψε:Μπράβο Αντώνη, το άτοπο έψαχνα και δεν μπορούσα...
Ευχαριστώ,
Πέτρος

9β11 σελ70 εδώ

Τουλάχιστον μία ρίζα

Τουλάχιστον μία ρίζα

Re: Τουλάχιστον μία ρίζα

Re: Τουλάχιστον μία ρίζα

Re: Τουλάχιστον μία ρίζα

Re: Τουλάχιστον μία ρίζα

Re: Τουλάχιστον μία ρίζα

Μέλη σε σύνδεση