Τριγωνομετρική από Putnam

#1

Να υπολογιστεί το $\displaystyle{ \min_{x \in \mathbb{R}} |\sin(x) + \cos(x) + \tan(x) + \cot(x) + \sec(x) + \csc(x)|.}$

dement · #2

Ωραία άσκηση!

Θέτοντας $\displaystyle c = \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right)$ , έχουμε (με λίγη τριγωνομετρία) :

$\sin x + \cos x = c$

$\displaystyle \tan x + \cot x = \frac{2}{c^2 - 1}$

$\displaystyle \sec x + \csc x = \frac{2c}{c^2 - 1}$

και έτσι, το άθροισμα όλων μαζί είναι $\displaystyle f(c) = c + \frac{2}{c-1} \neq 0$ . Οπότε αρκεί να εξετάσουμε τα ακρότατα της

μαζί με τα οριακά σημεία $\pm \sqrt{2}$ .

Ισχύει $\displaystyle f^{\prime} (c) = 1 - \frac{2}{(c-1)^2}$ . Η παράγωγος μηδενίζεται στο $c = 1 - \sqrt{2}$ (για το διάστημα $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ που μας ενδιαφέρει).

Ετσι, αρκεί να εξετάσουμε τη συνάρτηση στα σημεία $1 - \sqrt{2}, \pm \sqrt{2}$ . Ισχύει $f(1 - \sqrt{2}) = 1 -2 \sqrt{2}, f(- \sqrt{2}) = 2 - 3 \sqrt{2}, f(\sqrt{2}) = 2 + 3 \sqrt{2}$ . Η ελάχιστη τιμή του απόλυτου, λοιπόν, είναι $2 \sqrt{2} - 1$ .

Δημήτρης Σκουτέρης

#3

Demetres έγραψε:Να υπολογιστεί το $\displaystyle{ \min_{x \in \mathbb{R}} |\sin(x) + \cos(x) + \tan(x) + \cot(x) + \sec(x) + \csc(x)|.}$

Πολύ ωραία λύση.

Το παρακάτω γράφημα των τριών συναρτήσεων $\displaystyle{ \sin(x) + \ + \csc(x),\,\,\cos(x) + \sec(x), \,\, \tan(x) + \cot(x)$ (κόκκινη, πράσινη, κίτρινη αντίστοιχα) αποσαφινίζει "τι τρέχει". Επίσης μας δίνει την ιδέα (πώς;) για τριγωνομετρική λύση.

Φιλικά,

Μιχάλης

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Το παρακάτω γράφημα ... μας δίνει την ιδέα (πώς;) για τριγωνομετρική λύση.

Μιχάλη, δεν καταλαβαίνω το σκεπτικό. Υποψιάζομαι πως υπολογίζεις το

$\displaystyle{ \min_{x \in \mathbb{R}} (|\sin(x)| + |\cos(x)| + |\tan(x)| + |\cot(x)| + |\sec(x)| + |\csc(x)|).}$

Να προσθέσω ότι είναι η άσκηση Α3 του 2003. Η λύση του Δημήτρη είναι η μία από τις προτεινόμενες λύσεις. Το ελάχιστο του f(c)

στο $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ μπορεί επίσης να υπολογιστεί χωρίς την χρήση παραγώγων.

Η δεύτερη προτεινόμενη λύση είναι με χρήση πολλαπλασιαστών Lagrange. Θα ήταν καλό να την δούμε και αυτήν. (Θα περιμένω λίγο καιρό προτού βάλω αυτήν την λύση.)

#5

Demetres έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε: Το παρακάτω γράφημα ... μας δίνει την ιδέα (πώς;) για τριγωνομετρική λύση.
Μιχάλη, δεν καταλαβαίνω το σκεπτικό. Υποψιάζομαι πως υπολογίζεις το

$\displaystyle{ \min_{x \in \mathbb{R}} (|\sin(x)| + |\cos(x)| + |\tan(x)| + |\cot(x)| + |\sec(x)| + |\csc(x)|).}$

Δημήτρη,

το γράφημα που έκανα είναι μόνο για το πρώτο τεταρτημόριο (χωρίς τα άκρα, που έχουμε πρόβλημα ορισμού). Για τα υπόλοιπα τετερτημόρια μπορεί κανείς να συμπεράνει τα γραφήματα από τα παραπάνω (π.χ. του $\tan x + \cot x$ είναι το συμμετρικό του κίτρινου ως προς τον άξονα των χ.)

Φιλικά,

Μιχάλης

kwstas12345 · #6

Μια άλλη λύση με πολλαπλασιαστές Lagrange:

Αρχικά εύκολα βλέπουμε πως

Επειδή: $\displaystyle \sin\left(x \right)+\cos\left(x \right)+\tan\left(x \right)+\cot\left(x \right)+\sec\left(x \right)+\csc\left(x \right)=$ $\displaystyle \sin\left(x \right)+\cos\left(x \right)+\frac{\sin\left(x \right)}{\cos\left(x \right)}+$ $\displaystyle \frac{\cos\left(x \right)}{\sin\left(x \right)}+\frac{1}{\cos\left(x \right)}+\frac{1}{\sin\left(x \right)}$

Θέτω: $\displaystyle u=\sin x,t=\cos x$ οπότε έχω την $\displaystyle g\left(u,t \right)=u+t+\frac{1}{u}+\frac{1}{t}+\frac{u}{t}+\frac{t}{u}$ αλλά και τον περιορισμό $\displaystyle u^2+t^2=1,-1< u,t< 1,u,t\neq 0$

Για να υπολογίσω τα ακρότατα της

υπό τον περιορισμό αυτόν θεωρώ την συνάρτηση: $\displaystyle f\left(u,t \right)=u+t+\frac{1}{u}+\frac{1}{t}+\frac{u}{t}+\frac{t}{u}-k\left(u^2+t^2-1 \right)$

Για την οποία ισχύει ότι: $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}=1-\frac{1}{u^{2}}+\frac{1}{t}-\frac{t}{u^{2}}-2ku=\left(t+1 \right)\left(\frac{u^{2}-t}{u^2 t} \right)-2ku$ , $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}=\left(u+1 \right)\left(\frac{t^{2}-u}{t^{2}u} \right)-2kt$

Έχω να λύσω το σύστημα: $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}=0,\frac{\partial f}{\partial t}=0$ ή $\displaystyle \left(t+1 \right)\left(u^{2}-t \right)=2ku^{3}t,\left(u+1 \right)\left(t^{2}-u \right)=2kut^{3},u,t\neq 0$

Διαιρώντας τις παραπάνω δυο κατα μέλη θα πάρω: $\displaystyle \frac{u^{2}}{t^{2}}=\frac{\left(t+1 \right)\left(u^{2}-t \right)}{\left(u+1 \right)\left(t^{2}-u \right)}\Leftrightarrow u^3t^2-u^4-u^3=t^3u^2-t^4-t^3$ $\displaystyle u^{2}t^{2}\left(u-t \right)+\left(t^{2}-u^{2} \right)\left(t^2+u^2 \right)+\left(t-u \right)\left(t^2+u^2+ut \right)=0\Leftrightarrow$

$\displaystyle \left(u-t \right)\left(t^2+u^2+ut+t+u-u^2t^2 \right)=0\Leftrightarrow \left(u-t \right)\left(u+1 \right)\left[t^{2}\left(1-u \right)+u+t \right]=$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left(u-t \right)\left(t+1 \right)\left(u+1 \right)\left(t-\frac{u}{u-1} \right)=0$

Τα πιθανά σημεία $\displaystyle \left(-1,0 \right),\left(0,-1 \right)$ απορίπτονται εξ αρχής. Πιθανά σημεία είναι τα $\displaystyle \left(u,u \right),\left( u,\frac{u}{u-1}\right)$

Άν u=t

παίρνουμε τα $\displaystyle \left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ .

Άν $\displaystyle t=\frac{u}{u-1}\Leftrightarrow ut=u+t\Rightarrow u^{2}t^{2}=1+2ut\Leftrightarrow ut=1\pm \sqrt{2}$ .

Άν $\displaystyle ut=1+\sqrt{2}\Rightarrow u=\frac{1+\sqrt{2}}{t}\Rightarrow u^{2}+\frac{\left(\sqrt{2}+1 \right)^{2}}{u^{2}}=1$

η οποία είναι αδύνατη.

Άν $\displaystyle ut=1-\sqrt{2}...$ θα προκύψουν λύσεις:

Τέλος εύκολα βλέπουμε πως $\displaystyle g\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)=3\sqrt{2}+1,g\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}} \right),$ $\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)=2-3\sqrt{2},g\left(u_{0},t_{0} \right)=2\sqrt{2}-1$

Η ελάχιστη τιμή του απόλύτου είναι η μικροτερη από τις τιμές που προκύπτουν : $\displaystyle \min_{x \in \mathbb{R}}\left|\sin\left(x \right)+\cos\left(x \right)+\tan\left(x \right)+\cot\left(x \right)+\sec\left(x \right)+\csc\left(x \right) \right|=2\sqrt{2}-1$
Πιστευω να είμαι σωστός...

#7

kwstas12345 έγραψε: Πιστευω να είμαι σωστός...

Επειδή είμαστε στους διαγωνισμούς για φοιτητές θέλω να γράψω και ένα θεώρημα που μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε τους πολλαπλασιαστές Lagrange κάτω υπό κάποιες συνθήκες (οι οποίες ισχύουν στην περίπτωσή μας). Θα το κάνω αργότερα απόψε ή αύριο.

#8

Κώστα, τώρα που ξαναβλέπω την λύση σου υπάρχει ένα μικρό πρόβλημα (διορθώνεται εύκολα). Η συνάρτηση που μας ενδιαφέρει δεν είναι η

που έγραψες αλλά η |f|

και άρα πρέπει να είμαστε λίγο πιο προσεκτικοί.

Δεν ξέρω πόση αυστηρότητα ζητάνε στους διαγωνισμούς όταν γίνεται χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange (η προτεινόμενη λύση είναι ουσιαστικά αυτή που έβαλε ο Κώστας με την επιπλέον δικαιολόγηση για την |f|

). Βάζω όμως ένα θεώρημα που μας επιτρέπει την χρήση των πολλαπλασιαστών.

Θεώρημα: Έστω

ένα ανοικτό υποσύνολο του $\mathbb{R}^n$ και $f,g_1,\ldots,g_k$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις από το

στο $\mathbb{R}$ . Έστω ότι υπάρχει $x \in U$ ώστε
(α) g_i(x) = 0

για κάθε $1 \leqslant i \leqslant k$
(β) $f(x) \leqslant f(y)$ για κάθε $y \in U$ με g_i(y) = 0

για κάθε $1 \leqslant i \leqslant k$ .
Τότε υπάρχουν $\lambda_1,\ldots,\lambda_k \in \mathbb{R}$ ώστε όλες οι μερικές παράγωγοι της συνάρτησης $F = f - \sum_{i=1}^k \lambda_1 f_i$ μηδενίζονται στο

.

Στην περίπτωσή μας ο Κώστας έκανε χρήση του θεωρήματος με $U = \{(u,t) \in \mathbb{R}^2: -1 < u,t < 1 \wedge u \neq 0 \wedge t \neq 0\}$ , f(u,t) = u + t + 1/u + 1/t + u/t + t/u

και

.

Το μόνο που χρειάζεται να ελέγξουμε, (πέρα από την διαδικασία που έκανε ο Κώστας) είναι ότι πραγματικά υπάρχει σημείο στο

για το οποίο η

παίρνει την ελάχιστή της τιμή. Για αυτό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε συμπάγεια:

Κατ' αρχήν παρατηρούμε (πράξεις τις οποίες παραλείπω) ότι η

δεν ισούται ποτέ με 0 στο

. Παρατηρούμε επίσης (πάλι παραλείπονται πράξεις) ότι υπάρχει $\delta > 0$ ώστε όταν $|u| < \delta$ ή $|u| > 1 - \delta$ ή $|t| < \delta$ ή $|t| > 1 - \delta$ και επίσης u^2 + t^2 = 1

, τότε $|f(u,t)| > 1.9 > 2\sqrt{2} - 1$

Έστω
$V_1 = \{(u,t) \in \mathbb{R}^2: -1+\delta \leqslant u \leqslant -\delta, -1+\delta \leqslant t \leqslant -\delta\}$

$V_2 = \{(u,t) \in \mathbb{R}^2: -1+\delta \leqslant u \leqslant -\delta, \delta \leqslant t \leqslant 1-\delta\}$

$V_3 = \{(u,t) \in \mathbb{R}^2: \delta \leqslant u \leqslant 1-\delta, -1+\delta \leqslant t \leqslant -\delta\}$

$V_4 = \{(u,t) \in \mathbb{R}^2: \delta \leqslant u \leqslant 1-\delta, \delta \leqslant t \leqslant 1-\delta\}$

Τέλος παρατηρούμε ότι το ελάχιστο της |f|

πρέπει να εμφανίζεται σε ένα από τα $V_1,\ldots,V_4$ και επειδή κάθε ένα από αυτά είναι κλειστό και φραγμένο θα υπάρχει σημείο όπου η |f|

παίρνει την ελάχιστη τιμή.

Τριγωνομετρική από Putnam

Τριγωνομετρική από Putnam

Re: Τριγωνομετρική από Putnam

Re: Τριγωνομετρική από Putnam

Re: Τριγωνομετρική από Putnam

Re: Τριγωνομετρική από Putnam

Re: Τριγωνομετρική από Putnam

Re: Τριγωνομετρική από Putnam

Re: Τριγωνομετρική από Putnam

Μέλη σε σύνδεση