τριώνυμο με απόλυτα

Ιστοσελίδα · #1

Έστω η εξίσωση $\displaystyle{ \left| {\alpha - 1} \right|x^2 + \left| {3 - 2\alpha } \right|x + \left| {1 - \alpha } \right| = 0 }$ με $\displaystyle{ \alpha \ne 1 }$ ως προς x έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

α) Να βρεθεί σε ποιο διάστημα ανήκει το α.
β) Να δείξετε ότι οι ρίζες της είναι αρνητικοί αριθμοί και η μια είναι αντίστροφη της άλλης.
γ) Αν η μια ρίζα (η $\displaystyle{\rho _1 }$ ) είναι τετραπλάσια της άλλης (της $\displaystyle{\rho _2 }$ ) να βρείτε τις ρίζες $\displaystyle{\rho _1 }$ και $\displaystyle{\rho _2 }$
δ) Να υπολογίσετε τον αριθμό α, αν οι ρίζες είναι αυτές του τρίτου ερωτήματος.

irakleios · #2

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Έστω η εξίσωση $\displaystyle{ \left| {\alpha - 1} \right|x^2 + \left| {3 - 2\alpha } \right|x + \left| {1 - \alpha } \right| = 0 }$ με $\displaystyle{ \alpha \ne 1 }$ ως προς x έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

α) Να βρεθεί σε ποιο διάστημα ανήκει το α.
β) Να δείξετε ότι οι ρίζες της είναι αρνητικοί αριθμοί και η μια είναι αντίστροφη της άλλης.
γ) Αν η μια ρίζα (η $\displaystyle{\rho _1 }$ ) είναι τετραπλάσια της άλλης (της $\displaystyle{\rho _2 }$ ) να βρείτε τις ρίζες $\displaystyle{\rho _1 }$ και $\displaystyle{\rho _2 }$
δ) Να υπολογίσετε τον αριθμό α.

νομίζω πως είναι μια πολύ ωραία άσκηση για μαθητές...
Λέω να την αφήσουμε πρώτα σε εκείνους ...τι λέτε;

chris · #3

Όντως όμορφη άσκηση για Α Λυκείου

A) $\displaystyle{ \left| {\alpha - 1} \right|x^2 + \left| {3 - 2\alpha } \right|x + \left| {1 - \alpha } \right| = 0 }$

Για να έχει η παραπάνω εξίσωση δύο ρίζες πραγματικές και άνισες πρέπει και αρκεί:

$\displaystyle \Delta > 0\Leftrightarrow |3-2a|^2-4|a-1||1-a|> 0\Leftrightarrow \left(3-2a \right)^2-4(1-a)^2> 0\Leftrightarrow \left(3-2a-2+2a \right)\left(3-2a+2-2a \right)> 0\Leftrightarrow 5-4a> 0\Leftrightarrow a<\frac{5}{4},a\neq 1$

άρα $a\in (-\infty,1)\cup(1,\frac{5}{4})$

B)Αν $\rho _1,\rho _2\neq 0$ είναι οι δύο ρίζες της αρχικής εξίσωσης με $\rho _1 \neq \rho _2$ τότε απο τους τύπους του Vieta έχουμε:

$\rho _1\rho _2=\frac{|1-a|}{|a-1|}=\frac{|1-a|}{|1-a|}=1>0$
άρα οι δύο ρίζες είναι αντίστροφες αφού έχουν γινόμενο ίσο με 1 και ομόσημες αφού το γινόμενό τους είναι θετικό.

$\rho _1+\rho _2=-\frac{|3-2a|}{|a-1|}<0$
Αφού το άθροισμα των ριζών είναι αρνητικό τότε και δύο είναι αρνητικές αφού είναι και ομόσημες.

Γ)Είναι $\rho _1=4\rho _2\stackrel{\rho _2\neq 0}\Rightarrow \rho _1\rho _2=4\rho _2^2\Rightarrow 4\rho _2^2=1\Rightarrow \rho _2^2=\frac{1}{4}\Rightarrow \rho _2=-\frac{1}{2}$ αφού οι ρίζες είναι αρνητικές.

Επίσης $\displaystyle \rho _1\rho _2=1\Rightarrow \rho _1=-2$

Τελικά $\displaystyle \left(\rho _1,\rho _2 \right)=\left(-2,\frac{-1}{2} \right)$

D) $\displaystyle \rho _1+\rho _2=-\frac{|3-2a|}{|a-1|}\Leftrightarrow \frac{5}{2}=\frac{|3-2a|}{|a-1|}\Leftrightarrow |6-4a|=|5a-5|$

$\displaystyle \Leftrightarrow \begin{cases} 6-4a=5a-5 \\ \;\;\;\;\;\;\; \acute{\eta } \\ 6-4a=-5a+5 \\ \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=\frac{11}{9}<\frac{5}{4} \\ \;\;\;\;\;\;\; \acute{\eta } \\ a=-1 \\ \end{cases}$

ΥΓ:Αν έχω κανα λαθάκι στις πράξεις εδώ είμαστε.

τριώνυμο με απόλυτα

τριώνυμο με απόλυτα

Re: τριώνυμο με απόλυτα

Re: τριώνυμο με απόλυτα

Μέλη σε σύνδεση