Ακτίνες

mathxl · #1

Tρεις κύκλοι C_1, C_2, C_3

εφάπτονται εξωτερικά (ανά δυο) και εφάπτονται εσωτερικά με τον κύκλο D έτσι ώστε ο C_1

να διέρχεται από το κέντρο του κύκλου

. Η ακτίνα του C_1

είναι ίση με 1 (μια μονάδα μήκους), ενώ οι κύκλοι C_2, C_3

είναι ίσοι. Να βρεθεί η ακτίνα των C_2, C_3

.

Από τον Stuart Clark

ΠΡΟΣΘΗΚΗ: οι τρεις εφάπτονται ανά δύο εξωτερικά και οι τρεις εφάπτονται στον D εσωτερικά
ο ένας διέρχεται από το κέντρο του D

#2

Εφόσον ο κύκλος C1 εφάπτεται του D και διέρχεται από το κέντρο του Ο η διάμετρός του ΟΑ θα
είναι η ακτίνα του D. Αρα η ακτίνα του D είνα ίση με 2.
Εστω χ η ακτίνα των ίσων κύκλων C2, C3. Εύκολα διαπιστώνεται ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές
και η ΟΓ ισούται με 2-χ.
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΛΓ ισχύει:
$(A\Lambda )=\sqrt{(1+x)^2-x^2}=\sqrt{1+2x}(1)$
άρα:
$O\Lambda =\sqrt{1+2x}-1(2)$
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΛΓ έχουμε ακόμα:
$O\Lambda ^2+\Lambda \Gamma ^2=\Gamma O^2 (3)$
Η (3) σύμφωνα με την (2) δίνει:
$(\sqrt{1+2x}-1)^2+x^2=(2-x)^2\Rightarrow x=0,x=\frac{8}{9}$
από τις δύο αυτές ρίζες δεκτή είναι η $x=\frac{8}{9}$

Παρατήρηση:
Με αφορμή την άσκηση αυτή μπορεί να ασχοληθεί κανείς και με τούτη:
"Δίνεται κύκλος C(O,R) και κύκλος C1 ο οποίος εφάπτεται εσωτερικά του C και με ακτίνα μικρότερη του του πρώτου.
Να βρεθεί ο γ.τ. των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται εσωτερικά στον πρώτο και εξωτερικά στο δεύτερο"

ctheofi · #3

KDORTSI έγραψε: "Δίνεται κύκλος C(O,R) και κύκλος C1 ο οποίος εφάπτεται εσωτερικά του C και με ακτίνα μικρότερη του του πρώτου.
Να βρεθεί ο γ.τ. των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται εσωτερικά στον πρώτο και εξωτερικά στο δεύτερο"

Υπόδειξη προς μαθητές.

Αν Κ σημείο του ζητούμενου τόπου, ας να ερευνήσει κανείς τι συμβαίνει με τις αποστάσεις του από τα κέντρα των C και C1.

rastaffari · #4

καλησπέρα
Αν δεν έχω κάνει λάθος ισχυρισμούς
Ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων είναι έλλειψη με εστίες τα κέντρα των δυο κύκλων και αθροισμα την διαμετρο του μεγάλου κύκλου μειον την ακτίνα του μικρού

#5

Είναι:
$MK+MK_1=(K\Gamma-M\Gamma )+(MB+BK_1)=K\Gamma +K_1B=R+R_1=ct$
Άρα το Μ κινείται σε έλλειψη με εστίες Κ,Κ1 και $\alpha =\frac{R+R_1}{2}$
(Στο συνημμένο αρχείο μπορεί κανείς δεί την κίνηση του σημείου Μ πάνω στην έλλειψη)

Με αφορμή αυτό:
"Να κατασκευαστεί κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στον C και εξωτερικά στον C1"

rastaffari · #6

έκανα τις πράξεις στον αέρα οπότε τα γνωστά....

Ακτίνες

Ακτίνες

Re: Ακτίνες

Re: Ακτίνες

Re: Ακτίνες

Re: Ακτίνες

Re: Ακτίνες

Μέλη σε σύνδεση