απορια στα ακροτατα

chr · #1

Η f συνεχής στο [α,β] και η παράγωγός της στο α είναι θετική και αρνητική στο β

Μπορούμε να δείξουμε ότι η f δεν έχει ακρότατα στα άκρα;

#2

chr έγραψε:Η f συνεχής στο [α,β] και η παράγωγός της στο α είναι θετική και αρνητική στο β

Μπορούμε να δείξουμε ότι η f δεν έχει ακρότατα στα άκρα;

Η ερώτηση είναι κάπως ασαφής. Έτσι η συνάρτηση g(x)=1-x^2

με πεδίο ορισμού το [{-1,1}]

είναι συνεχής στο [{-1,1}]

με θετική παράγωγο στο

, αρνητική παράγωγο στο

και παρουσιάζει ακρότατα στα

και

.
Με την υπόθεση ότι η δοθείσα

ορίζεται και πέραν τού $[{\alpha,\beta}]$ , η παραγωγισιμότητα στα άκρα $\alpha$ και $\beta$ , σημαίνει και συνέχεια σε αυτά τα σημεία.
Επομένως, μήπως η ερώτηση αφορά συνάρτηση που ορίζεται και κάτω από το $\alpha$ και πάνω από το $\beta$ ;

chr · #3

Αναφερομαι στο τελευταιο βημα της αποδειξης του θεωρηματος του Darboux

οπου η συναρτηση g(x)=f(x)-tx ειναι συνεχης στο [α,β] παραγωγισιμη στο (α,β) με

g'(a)>0 και g'(b)<0 και αρα απορριπτει ως θεση μεγιστου ή ελαχιστου τα ακρα.

Η ερωτηση μου ειναι μπορουμε καπως να το αποδειξουμε ή απλως το δεχομαστε διαισθητικα?

#4

chr έγραψε:Αναφερομαι στο τελευταιο βημα της αποδειξης του θεωρηματος του Darboux
οπου η συναρτηση g(x)=f(x)-tx ειναι συνεχης στο [α,β] παραγωγισιμη στο (α,β) με
g'(a)>0 και g'(b)<0 και αρα απορριπτει ως θεση μεγιστου ή ελαχιστου τα ακρα.
Η ερωτηση μου ειναι μπορουμε καπως να το αποδειξουμε ή απλως το δεχομαστε διαισθητικα?

και βέβαια μπορεί να αποδειχθεί. Μάλιστα, επειδή δεν θυμάμαι να έχει δοθεί στο mathematica η απόδειξη τού θεωρήματος Darboux, δίνεται, με την εκφώνηση, παρακάτω:

Θεώρημα Darboux: Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα $\left[{\alpha,\beta}\right]$ .
Τότε γιά κάθε $\gamma$ μεταξύ ${\dagger}$ τών $f^{\prime}({\alpha})$ καί $f^{\prime}({\beta})$ , υπάρχει $x_0\in\left({\alpha,\beta}\right)$ , τέτοιο ώστε $f^{\prime}({x_0})=\gamma$ .

Απόδειξη: Άν $f^{\prime}({\alpha})=f^{\prime}({\beta})$ , τότε προφανώς ισχύει το Θεώρημα.
Έστω ότι $f^{\prime}({\alpha})\neq{f}^{\prime}({\beta})$ , και μάλιστα χωρίς βλάβη, ότι $f^{\prime}({\alpha})<\gamma<{f}^{\prime}({\beta})$ .
Η συνάρτηση $h(x)=f(x) - \gamma\,x$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $[{\alpha,\beta}]$ με $h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\gamma$ .
Μάλιστα ισχύει $h^{\prime}({\alpha})<0<{h}^{\prime}({\beta})$ .
Επομένως υπάρχει ένα αρκετά μικρό $\delta>0$ , τέτοιο ώστε

$\dfrac{{h({\alpha +\delta})-h(\alpha )}} {\delta } < 0\quad\Rightarrow\quad{h}({\alpha +\delta})<h(\alpha )$ και

$\dfrac{{h(\beta ) - h(\beta - \delta )}} {\delta } > 0\quad\Rightarrow\quad h(\beta )>h(\beta - \delta )$ .

Από το Θεώρημα Μεγίστης και Ελαχίστης Τιμής γιά την συνεχή συνάρτηση

στο διάστημα $[{\alpha,\beta}]$ , προκύπτει ότι υπάρχει $x_0\in (\alpha ,\beta )$ , ( λόγω των παραπάνω ανισώσεων η

δεν μπορεί να έχει την ελάχιστη τιμή της στα $\alpha$ και $\beta$ ), τέτοιο ώστε γιά κάθε $x\in[{\alpha,\beta}]$ , να ισχύει $h(x_0 ) \leq h(x)$ .
Όμως τότε η συνάρτηση

παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο x_0

, ενώ είναι και παραγωγίσιμη σ' αυτό.
Από το Θεώρημα $\rm{Fermat}$ , προκύπτει ότι $h^{\prime}(x_0 )=0\quad\Rightarrow\quad{f}^{\prime}(x_0 )=\gamma\,.\quad\square$

$(\dagger)$ μή συμπεριλαμβανομένων των $f^{\prime}({\alpha})$ και $f^{\prime}({\beta})$

k-ser · #5

grigkost έγραψε:
Θεώρημα Darboux: Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα $\left[{\alpha,\beta}\right]$ .
Τότε γιά κάθε $\gamma$ μεταξύ ${\dagger}$ τών $f^{\prime}({\alpha})$ καί $f^{\prime}({\beta})$ , υπάρχει $x_0\in\left({\alpha,\beta}\right)$ , τέτοιο ώστε $f^{\prime}({x_0})=\gamma$ .

Απόδειξη: Άν $f^{\prime}({\alpha})=f^{\prime}({\beta})$ , τότε προφανώς ισχύει το Θεώρημα.
Έστω ότι $f^{\prime}({\alpha})\neq{f}^{\prime}({\beta})$ , και μάλιστα χωρίς βλάβη, ότι $f^{\prime}({\alpha})<\gamma<{f}^{\prime}({\beta})$ .
Η συνάρτηση $h(x)=f(x) - \gamma\,x$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $[{\alpha,\beta}]$ με $h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\gamma$ .
Μάλιστα ισχύει $h^{\prime}({\alpha})<0<{h}^{\prime}({\beta})$ .
Επομένως υπάρχει ένα αρκετά μικρό $\delta>0$ , τέτοιο ώστε

$\dfrac{{h({\alpha +\delta})-h(\alpha )}} {\delta } < 0\quad\Rightarrow\quad{h}({\alpha +\delta})<h(\alpha )$ και

$\dfrac{{h(\beta ) - h(\beta - \delta )}} {\delta } > 0\quad\Rightarrow\quad h(\beta )>h(\beta - \delta )$ .

Από το Θεώρημα Μεγίστης και Ελαχίστης Τιμής γιά την συνεχή συνάρτηση στο διάστημα $[{\alpha,\beta}]$ , προκύπτει ότι υπάρχει $x_0\in (\alpha ,\beta )$ , ( λόγω των παραπάνω ανισώσεων η δεν μπορεί να έχει την ελάχιστη τιμή της στα $\alpha$ και $\beta$ ), τέτοιο ώστε γιά κάθε $x\in[{\alpha,\beta}]$ , να ισχύει $h(x_0 ) \leq h(x)$ .
Όμως τότε η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο , ενώ είναι και παραγωγίσιμη σ' αυτό.
Από το Θεώρημα $\rm{Fermat}$ , προκύπτει ότι $h^{\prime}(x_0 )=0\quad\Rightarrow\quad{f}^{\prime}(x_0 )=\gamma\,.\quad\square$

$(\dagger)$ μή συμπεριλαμβανομένων των $f^{\prime}({\alpha})$ και $f^{\prime}({\beta})$

Να δώσω μια διαφορετική απόδειξη του θεωρήματος.
Η απόδειξη είναι δικής μου έμπνευσης - δεν την έχω δει γραμμένη κάπου. Αν διαπιστώσετε κάποιο λάθος, ενημερώστε με για να το διορθώσω ή... να αποσύρω την απόδειξη.

Λήμμα1.
Αν για την ορισμένη στο διάστημα $\displaystyle \Delta$ παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f$ ισχύει: $\displaystyle f^{\prime}(x)\ne 0, \ \ \forall x$ εσωτερικό του $\displaystyle \Delta$ τότε η συνάρτηση $\displaystyle f$ είναι $\displaystyle 1-1$
(Η απόδειξη είναι εύκολη με την βοήθεια του ορισμού της 1-1 και του θεωρήματος μέσης τιμής).

Λήμμα 2.
Αν η ορισμένη στο διάστημα $\displaystyle \Delta$ συνάρτηση $\displaystyle f$ είναι συνεχής και $\displaystyle 1-1$ τότε θα είναι γνησίως μονότονη.
Απόδειξη (Αν και γνωστό το θεώρημα, δίνω την απόδειξη).
Αν η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη τότε, και λόγω του $\displaystyle 1-1$ θα υπάρχουν $\displaystyle a,b,c \ \ \in \Delta$ ώστε $\displaystyle a<b<c$ και το $\displaystyle f(a)$ θα είναι μεταξύ των $\displaystyle f(b),f(c)$ ή το $\displaystyle f(c)$ θα είναι μεταξύ των $\displaystyle f(a),f(b)$ .
Σε κάθε περίπτωση, αφού η συνάρτηση είναι συνεχής, από θεώρημα ενδιαμεσων τιμών (Bolzano) θα υπάρχει $\displaystyle x_0 \in (b,c)$ ή $\displaystyle x_0 \in (a,b)$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle f(x_0)=f(a)$ ή $\displaystyle f(x_0)=f(c)$ αντίστοιχα. Αυτό, όμως είναι άτοπο αφού η συνάρτηση είναι $\displaystyle 1-1$

Απόδειξη ( του θεωρήματος Darboux)

Άν $f^{\prime}({\alpha})=f^{\prime}({\beta})$ , τότε προφανώς ισχύει το Θεώρημα.
Έστω ότι $f^{\prime}({\alpha})\neq{f}^{\prime}({\beta})$ , και μάλιστα χωρίς βλάβη, ότι $f^{\prime}({\alpha})<\gamma<{f}^{\prime}({\beta})$ .
Η συνάρτηση $h(x)=f(x) - \gamma\,x$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $[{\alpha,\beta}]$ με $h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\gamma$ .
Μάλιστα ισχύει $h^{\prime}({\alpha})<0<{h}^{\prime}({\beta})$ .

Έστω $\displaystyle h^{\prime}(x)\ne 0 , \ \ \ \ \forall x \in (\alpha,\beta)$ .

Από το Λήμμα 1 η συνάρτηση $\displaystyle h$ θα είναι $\displaystyle 1-1$ και εφόσον είναι και συνεχής, σύμφωνα με το Λήμμα 2, θα είναι γνησίως μονότονη στο $\displaystyle [\alpha,\beta]$ .

Έστω ότι είναι γνησίως αύξουσα.
$\displaystyle \forall x \in (\alpha,\beta]$ θα είναι: $\displaystyle \frac{h(x)-h(\alpha)}{x-\alpha}>0$ και εφόσον $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}\frac{h(x)-h(\alpha)}{x-\alpha}=h^{\prime}(\alpha)$ θα είναι: $\displaystyle h^{\prime}(\alpha)\geq 0$ άτοπο.

Έστω ότι είναι γνησίως φθίνουσα.
$\displaystyle \forall x \in [\alpha,\beta)$ θα είναι: $\displaystyle \frac{h(x)-h(\beta)}{x-\beta}<0$ και εφόσον $\displaystyle \lim_{x\to \beta}\frac{h(x)-h(\beta)}{x-a}=h^{\prime}(\beta)$ θα είναι: $\displaystyle h^{\prime}(\beta)\leq 0$ άτοπο.

Συνεπώς δεν μπορεί $\displaystyle h^{\prime}(x)\ne 0 , \ \ \ \forall x \in (\alpha,\beta)$ , θα υπάρχει $\dispalystyle x_0 \in (\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle h^{\prime}(x_0)= 0 \Leftrightarrow f^{\prime}(x_0)=\gamma$ .

mathxl · #6

Ας θυμηθούμε και μια συνέπεια viewtopic.php?f=61&t=2501

#7

Απόδειξη Darboux

και συναφών προτάσεων...

απορια στα ακροτατα

απορια στα ακροτατα

Re: απορια στα ακροτατα

Re: απορια στα ακροτατα

Re: απορια στα ακροτατα

Re: απορια στα ακροτατα

Re: απορια στα ακροτατα

Re: απορια στα ακροτατα

Μέλη σε σύνδεση