Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

[Νασιούλας Αντώνης]

Με αφορμή το πολύ εποικοδομητικό θέμα που άνοιξε ο κ. Ηράκλειος εδώ viewtopic.php?f=58&t=11762 ανοίγω ένα που θα αφορά τη Β Λυκείου, προτρέποντας όποιον θέλει να ανεβάσει τις ασκήσεις του.
Όπως λέει όμως και το θέμα, αυτές να αφορούν την Β Λυκείου και να έχουν βαθμό δυσκολίας που να κυμαίνεται στα πλαίσια της φάσης του Ευκλείδη και όχι γενικώς θέματα διαγωνισμών -το τονίζω για να μην ξεφύγουμε από το στόχο μας.
Επίσης αν γίνεται να μην περιοριστούμε -χωρίς να τα αποκλείσουμε- μόνο σε θέματα διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε. προηγούμενων ετών -μιας και σ αυτά εύκολα ή δύσκολα έχουμε όλοι πρόσβαση.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων και περιμένω την ανταπόκρισή σας,

Αντώνης

ΥΓ. Δράττοντας την ευκαιρία, να δώσω και γω τα συγχαρητήρια μου σ όλους του επιτυχόντες και να ευχηθώ καλή συνέχεια.

Επεξεργασία: Προτείνω οι λύσεις/υποδείξεις να μπαίνουν σε hide έτσι ώστε αν θέλει κάποιος μαθητής να παλέψει με τις ασκήσεις ακόμα κι αν έχουν δοθεί απαντήσεις.

[chris]

Έχω πρόχειρες κάποιες ασκήσεις σε αυτό το styl (ή σε παρόμοιο styl) και τις παραθέτω. Περιμένω και σχόλια για τη δυσκολία βέβαια.

ΑΣΚΗΣΗ 1η

Να λυθεί η εξίσωση με άγνωστους τους υπόλοιπους συντελεστές, αν είναι γνωστό οτι οι ρίζες της είναι όλες θετικές.

ΑΣΚΗΣΗ 2η

Να αποδειχθεί για όλους τους θετικούς πραγματικούς οτι ισχύει:



Πότε ισχύει η ισότητα?

ΑΣΚΗΣΗ 3η

Δίνεται τυχαίο τρίγωνο και ένα επίσης τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του.Οι τέμνουν τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα.Φέρουμε τις με τα να ανήκουν στα τμήματα αντίστοιχα.Να δείξετε οτι τα σημεία είναι συνευθειακά.

[Νασιούλας Αντώνης]

Έχω πρόχειρες κάποιες ασκήσεις σε αυτό το styl(ή σε παρόμοιο styl) και τις παραθέτω.Περιμένω και σχόλια για τη δυσκολία βέβαια.

Χρήστο ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκρισή σου. Με αφορμή αυτό που έχω μαρκάρει να τονίσω ότι σίγουρα δεν έχω την εμπειρία και τις γνώσεις να κατευθύνω ένα τέτοιο θέμα - δεν μπορώ να κρίνω ποιες ασκήσεις είναι του επιπέδου που θέλουμε και στη σχετική ύλη που ζητάει η Ε.Μ.Ε. Άνοιξα το θέμα μόνο και μόνο για να γίνει η αρχή.
Αν μπορεί και θέλει κάποιος καθηγητής ή γενικώς κάποιος γνώστης του αντικειμένου ας αναλάβει τα ηνία και το συντονισμό του θέματος.

Καλή συνέχεια,

Αντώνης

[irakleios]

Eπειδή το θεωρώ πολύ σημαντικό αυτό που γίνεται ! και ΠΡΕΠΕΙ όλοι να συμμετέχουμε σε μια τέτοια προσπάθεια , απο τη στιγμή που τόσα παιδιά συμμετέχουν στους διαγωνισμούς .

Δίνω μια λύση για την 2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κάνουμε τις πράξεις και μεταφέρουμε στο 1ο μέλος οπότε και παίρνουμε > 0 . To = ισχύει όταν
a + c = 2b

[slash]

Άσκηση 4η)
Πολυ ωραιο θεμα , και ευχαριστω που το δημιουργησες.

An a,b θετικοι ακεραιοι ωστε και
και
ν.δ.ό

i) ο αριθμος ειναι αρρητος
ii) ο αριθμος Α ειναι άρρητος με 0<Α<1/4
iii)ο αριθμος Β ειναι αρρητος με δεκαδικο μερος μεγαλυτερο του 0,75.

Κωστας.

[Demetres]

Άσκηση 5η

Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση

[Cauchy-Schwartz]

Τρεις προσσεγγίσεις για το (1):

1η: Θεωρούμε την δοσμένη εξίσωση f(x) και παρατηρούμε την προφανή της λύση x=1.
Έπειτα, αποδεικνύουμε ότι η f(x) είναι 1-1 με τον ορισμό f(x_1)=f(x_2) χρησιμοποιώντας και την συνθήκη για τις ρίζες που είναι θετικές.

2η: Θεωρούμε την δοσμένη εξίσωση f(x) και βρίσκουμε την 1994η παράγωγο που είναι η x^2 - 2x + 1 .μελετάμε την μονοτονία της
για τα ακρότατα και βρίσκουμε ότι (0,1] γν.φθίνουσα και στο [1,+ άπειρο) γν.αύξουσα.
Άρα x=1 με πολλαπλότητα 1996.

3η: Θεωρούμε την δοσμένη εξίσωση f(x) και διαπιστώνουμε ότι είναι f(0)f(1)<0 και f(1)f(2,3,..,,+ άπειρο)>0.
Άρα από το Θεώρημα Bolzano μία τουλάχιστον λύση στο (0,1] x=1.(f παραγωγίσιμη και συνεχής.)

[Eukleidis]

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Vieta's Formula

[nickthegreek]

Γεια σας παιδιά!!! Μπράβο κι από εμένα για την προσπάθεια!!!

Μια λύση για την 3:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αρχικά θα δείξουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά. Αρκεί σύμφωνα με το αντίστροφο του θεωρήματος Μενελάου να δείξουμε ότι:

(1)

Aπό τις παραλληλίες έχουμε:

(2)

Κι εδώ το "κολπάκι" της άσκησης:

(3)

(4)

Από τις σχέσεις (2),(3),(4) με πολλαπλασιασμό έχουμε το ζητούμενο!!!

Όμοια και για το Λ.

Χρήστο,αρκετά δυνατή άσκηση για Ευκλείδη (κατά τη γνώμη μου,δηλαδή)

Θα κοιτάξω να επανέλθω σε αυτό το θέμα για να βάζω κι εγώ όποιες ασκήσεις βρω μπροστά μου!!!Συμφωνώ ότι αξίζει να βοηθήσουμε όλοι σε αυτό το topic!

Φιλικά,
Νίκος

Edit: H λύση σε hide μετά την παράκληση του Αντώνη στο 1ο post.

[gtk1994]

Έχω σκεφτεί μία λύση για την άσκηση 5 , αλλά πριν τη διατυπώσω έχω μία απορία η οποία κρίνει την ορθότητα της λύσης
Αν φτάνουμε σε μία σχέση
επειδή μπορούμε να συμπεράνουμε πως

kai

???

[styt_geia]

αν δεν κάνω λάθος ισχύει ότι αν και τότε

[irakleios]

Έχω σκεφτεί μία λύση για την άσκηση 5 , αλλά πριν τη διατυπώσω έχω μία απορία η οποία κρίνει την ορθότητα της λύσης
Αν φτάνουμε σε μία σχέση
επειδή μπορούμε να συμπεράνουμε πως

kai

???

αμέ !!!

[irakleios]

Άσκηση 4η)
Πολυ ωραιο θεμα , και ευχαριστω που το δημιουργησες.

An a,b θετικοι ακεραιοι ωστε και
και
ν.δ.ό

i) ο αριθμος ειναι αρρητος
ii) ο αριθμος Α ειναι άρρητος με 0<Α<1/4
iii)ο αριθμος Β ειναι αρρητος με δεκαδικο μερος ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ του 0,75.

Κωστας.

Είσαι σίγουρος ότι ισχύει το ii) πάρε α = 4 , b = 3 τότε Α =(ρητός) 1 > 1\4 . Μήπως το β δεν θέλει τετράγωνο;

[irakleios]

για το 4i

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

δείχνουμε ότι το δεν είναι τέλειο τετράγωνο , που ισχύει αφού

[chris]

Χρήστο,αρκετά δυνατή άσκηση για Ευκλείδη (κατά τη γνώμη μου,δηλαδή)

Θα κοιτάξω να επανέλθω σε αυτό το θέμα για να βάζω κι εγώ όποιες ασκήσεις βρω μπροστά μου!!!Συμφωνώ ότι αξίζει να βοηθήσουμε όλοι σε αυτό το topic!

Φιλικά,
Νίκος

Γεια σου Νίκο ,

Ίσως έχεις δίκιο.Απλά την προτίμησα γιατί όταν μου είχε ζητηθεί την είχα πάει στοιχειωδώς(όπου στοιχειωδώς βλέπε μόνο θεώρημα Θαλή ).
Άλλη μία:

ΑΣΚΗΣΗ 6η

Να αποδειχθεί οτι δύο τετράπλευρα των οποίων οι αντίστοιχες πλευρές έχουν κοινά μέσα είναι ισεμβαδικά.

[socrates]

Άσκηση 7η

Αν διαφορετικοί ανά δύο θετικοί ακέραιοι να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης .


Άσκηση 8η

Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους η εξίσωση έχει ακριβώς τρεις ρίζες.


Άσκηση 9η

Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους για τους οποίους ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

[slash]

Είσαι σίγουρος ότι ισχύει το ii) πάρε α = 4 , b = 3 τότε Α =(ρητός) 1 > 1\4 . Μήπως το β δεν θέλει τετράγωνο

Ναι συγγνωμη εχεις απολυτο δικιο.

Σωστη η λυση στο i.

[irakleios]

για το 4ii

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

είναι < <

[slash]

για το 4ii

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

είναι < <

Πολυ καλυτερη λυση για μενα απο αυτη που ειχα διαβασει , ωραιος

[irakleios]

για το 4iii

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ