int{ (1+x^2) / (1-x^2) / sqrt(1+x^4) dx}

#1

$\displaystyle\int{\frac{1+x^2}{\left({1-x^2}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}$

Το βρήκα πολύ δύσκολο

#2

$\displaystyle\int{\frac{1+x^2}{\left({1-x^2}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=\int{\frac{\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)\left({1+x^2}\right)}{\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)\left({1-x^2}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=$

$\displaystyle\int{\frac{\sqrt{1+x^4}+x^2\,\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}+x^3\,\sqrt{2}}{\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)\left({1-x^2}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=$

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{\sqrt{2}\,\sqrt{1+x^4}+x^2\,\sqrt{2}\,\sqrt{1+x^4}+2x+2x^3}{\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)\left({1-x^2}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=$

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{2x^5+2x^2\,\sqrt{2}\,\sqrt{1+x^4}+2x-2x^5+2x^3-x^2\,\sqrt{2}\,\sqrt{1+x^4}+\sqrt{2}\,\sqrt{1+x^4}}{\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)\left({1-x^2}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=$

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{2x\left({x^4+2x\,\sqrt{2}\,\sqrt{1+x^4}+1}\right)}{\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)\left({1-x^2}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}+\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{\left({1-x^2}\right)\left({\sqrt{2}\,\sqrt{1+x^4}+2x^3}\right)}{\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)\left({1-x^2}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=$

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{2x\,\sqrt{1+x^4}\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)}{\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)\left({1-x^2}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}+\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{\sqrt{2}\,\sqrt{1+x^4}+2x^3}{\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=$

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{2x}{1-x^2}\,dx}+\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{\frac{\sqrt{2}\,\sqrt{1+x^4}+2x^3}{\sqrt{1+x^4}}}{\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\,dx}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{\left({1-x^2}\right)^{\prime}}{1-x^2}\,dx}+\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{\sqrt{2}+\frac{2x^3}{\sqrt{1+x^4}}}{\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\,dx}=$

$\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\log\left|{1-x^2}\right|+c_1+\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)^{\prime}}{\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\,dx}=$

$\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\log\left|{1-x^2}\right|+\frac{1}{\sqrt{2}}\,\log\left|{\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right|+c=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}{1-x^2}}\right|+c\,.$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Τήν επίλυση τήν έκανα αφού είδα τό αποτέλεσμα τής ολοκλήρωσης. Έτσι φαίνεται καλύτερα η επιλογή τού παράγοντα $\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}$ . Δέν ανέφερα, σάν βοήθεια, εξαρχής τό συγκεκριμένο αποτέλεσμα, μήπως βρεθεί μία επίλυση πιό "φυσική" από αυτήν πού έδωσα παραπάνω. Πάντως σάν αποτέλεσμα είναι εντυπωσιακό.

#3

Κάνοντας την αντικατάσταση $x = \tan{\theta}$ , βρήκα (αν έκανα σωστά τις πράξεις) ότι το ολοκλήρωμα ισούται με

$\displaystyle \int \frac{d \theta}{\sqrt{1 - \frac{\sin^2{2\theta}}{2}}}$ το οποίο είναι ελλιπτικό ολοκλήρωμα.

Είχα την εντύπωση πως τέτοια ολοκληρώματα δεν υπολογίζονται. Είτε έχω κάνει λάθος στις πράξεις, είτε αυτό είναι ένα αρκετά είδικό ελλιπτικό ολοκλήρωμα το οποίο υπολογίζεται. Αν μπορεί κάποιος ας το ελέγξει με κανένα πακέτο μαθηματικών για να δούμε αν όντως το υπολογίζει.

#4

Καλησπέρα(μέρα..!). Θα ήταν εύκολο να αναφέρεις ενδεικτικά κάποια βιβλία στα οποία υπάρχουν ολοκληρώματα του τύπου που θέτεις προς επίλυση;

#5

Demetres έγραψε:... είτε αυτό είναι ένα αρκετά είδικό ελλιπτικό ολοκλήρωμα το οποίο υπολογίζεται. Αν μπορεί κάποιος ας το ελέγξει με κανένα πακέτο μαθηματικών για να δούμε αν όντως το υπολογίζει.

Δημήτρη δέν έλεγξα τίς πράξεις σου, αλλά, όντως, τό Maple δίνει μία έκφραση πού περιλαμβάνει ελλειπτικές συναρτήσεις. Όμως, όπως μπορείς νά διαπιστώσεις, ιδίοις όμμασι, πρόκειται γιά επιλύσιμο ολοκλήρωμα.

#6

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Καλησπέρα(μέρα..!). Θα ήταν εύκολο να αναφέρεις ενδεικτικά κάποια βιβλία στα οποία υπάρχουν ολοκληρώματα του τύπου που θέτεις προς επίλυση;

Αναστάσιε, δέν υπάρχει πρόβλημα μέ τήν "αποκάλυψη" τών πηγών μου, αλλά θά ήθελα πρώτα νά συζητήσουμε ακόμα ένα παρόμοιο ολοκλήρωμα, τό $\displaystyle\int{\frac{\sqrt{1+x^4}}{x^4-1}\,dx}$ , τό οποίο δίνω στό επόμενο μήνυμα.

#7

grigkost έγραψε:Δημήτρη δέν έλεγξα τίς πράξεις σου, αλλά, όντως, τό Maple δίνει μία έκφραση πού περιλαμβάνει ελλειπτικές συναρτήσεις. Όμως, όπως μπορείς νά διαπιστώσεις, ιδίοις όμμασι, πρόκειται γιά επιλύσιμο ολοκλήρωμα.

Τις έλεγξα εγώ και ήταν λάθος. Το σωστό ολοκλήρωμα είναι $\displaystyle \int \frac{d \theta}{\cos{2\theta}\sqrt{1 - \frac{\sin^2{2 \theta}}{2}}}$ . Γνωρίζοντας την απάντηση, μπορώ να το υπολογίσω πολλαπλασιαζοντας αριθμητή και παρονομαστή με το $\sqrt{2 - \sin^2{2\theta}} + \sin {2\theta}$ , το οποίο όμως θα θέλαμε να αποφύγουμε αφού μοιάζει ουρανοκατέβατο.

#8

Μία πιό "φυσική" επίλυση είναι η κάτωθι:

$\displaystyle\int{\frac{1+x^2}{\left({1-x^2}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=\int{\frac{\left({1+x^2}\right)\left({1-x^2}\right)}{\left({1-x^2}\right)^2\sqrt{1+x^4}}\,dx}=\displaystyle\int{\frac{1-x^4}{\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)\left({\sqrt{1+x^4}-x\,\sqrt{2}}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=$

$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}\int{\frac{\left({\sqrt{1+x^4}-x\,\sqrt{2}}\right)\left({2x^3+\sqrt{2}\,\sqrt{1+x^4}}\right)-\left({\sqrt{1+x^4}-x\,\sqrt{2}}\right)\left({2x^3-\sqrt{2}\,\sqrt{1+x^4}}\right)}{\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)\left({\sqrt{1+x^4}-x\,\sqrt{2}}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=$

$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}\int{\frac{2x^3+\sqrt{2}\,\sqrt{1+x^4}}{\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int{\frac{2x^3-\sqrt{2}\,\sqrt{1+x^4}}{\left({\sqrt{1+x^4}-x\,\sqrt{2}}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=$

$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}\int{\frac{\frac{2x^3}{\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\,dx}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int{\frac{\frac{2x^3}{\sqrt{1+x^4}}-\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^4}-x\,\sqrt{2}}\,dx}=$

$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}\int{\frac{\left({\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right)^{\prime}}{\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\,dx}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int{\frac{\left({\sqrt{1+x^4}-x\,\sqrt{2}}\right)^{\prime}}{\sqrt{1+x^4}-x\,\sqrt{2}}\,dx}=$

$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}\,\log\left|{\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}\right|-\frac{1}{2\sqrt{2}}\,\log\left|{\sqrt{1+x^4}-x\,\sqrt{2}}\right|+c=$

$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^4}-x\,\sqrt{2}}}\right|+c.$

mathxl · #9

$\displaystyle{\int {\frac{{{x^2} + 1}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\sqrt {{x^4} + 1} }}} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \int {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{ - \left( {x - \frac{1}{x}} \right)\sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \int {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{ - \left( {x - \frac{1}{x}} \right)\sqrt {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2} + 2} }}} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x\mathop = \limits_{\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = \sqrt 2 du}^{x - \frac{1}{x} = \sqrt 2 u} }$
$\displaystyle{ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int { - \frac{1}{{u\sqrt {{u^2} + 1} }}} {\mkern 1mu} {\rm{du = }}\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\mathop{\rm csch}\nolimits} ^{ - 1}}u = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\mathop{\rm csch}\nolimits} ^{ - 1}}\left( {\frac{{x - \frac{1}{x}}}{{\sqrt 2 }}} \right) + c}$
σε κατάλληλο διάστημα

int{ (1+x^2) / (1-x^2) / sqrt(1+x^4) dx}

int{ (1+x^2) / (1-x^2) / sqrt(1+x^4) dx}

Re: int{ (1+x^2) / ({1-x^2) / sqrt(1+x^4) dx}

Re: int{ (1+x^2) / ({1-x^2) / sqrt(1+x^4) dx}

Re: int{ (1+x^2) / ({1-x^2) / sqrt(1+x^4) dx}

Re: int{ (1+x^2) / ({1-x^2) / sqrt(1+x^4) dx}

Re: int{ (1+x^2) / ({1-x^2) / sqrt(1+x^4) dx}

Re: int{ (1+x^2) / ({1-x^2) / sqrt(1+x^4) dx}

Re: int{ (1+x^2) / ({1-x^2) / sqrt(1+x^4) dx}

Re: int{ (1+x^2) / (1-x^2) / sqrt(1+x^4) dx}

Μέλη σε σύνδεση