Περιστροφή τριγώνου περί τη διχοτόμο

#1

Τρίγωνο ΑΒΓ περιστρεφεται κατά μία πλήρη στροφή περί τη διχοτόμο ΑΔ. Αν $\displaystyle{ V_{AB\Delta } ,V_{A\Delta \Gamma } }$

είναι οι όγκοι των στερεών που παράγονται απο τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΔΓ να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{ \frac{{V_{AB\Delta } }}{{V_{A\Delta \Gamma } }} = \frac{{\gamma ^2 }}{{\beta ^2 }} }$

#2

chris_gatos έγραψε:Τρίγωνο ΑΒΓ περιστρεφεται κατά μία πλήρη στροφή περί τη διχοτόμο ΑΔ. Αν $\displaystyle{ V_{AB\Delta } ,V_{A\Delta \Gamma } }$

είναι οι όγκοι των στερεών που παράγονται απο τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΔΓ να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{ \frac{{V_{AB\Delta } }}{{V_{A\Delta \Gamma } }} = \frac{{\gamma ^2 }}{{\beta ^2 }} }$

Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του όγκου ορθού κυκλικού κώνου $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$ , όπου

είναι το ύψος του κώνου και

είναι η ακτίνα της κυκλικής βάσης.

Θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, με αρχή των αξόνων να είναι η κορυφή

του τριγώνου ΑΒΓ και άξονα x'x

η διχοτόμος $A\Delta$ .

Έστω Β', Γ' οι προβολές των σημείων Β και Γ, αντίστοιχα στον x'x

.

Τότε ο όγκος $V_{AB\Delta }$ , ως διαφορά όγκων δύο ορθών κυκλικών κώνων με ακτίνα βάσης B'B

, ισούται με

$V_{AB\Delta }=\displaystyle{\dfrac{1}{3}\pi (B'B)^2(AB') - \dfrac{1}{3}\pi (B'B)^2(\Delta B')= \dfrac{1}{3}\pi (B'B)^2(A\Delta)}$ (1)

ο όγκος $V_{AB\Delta }$ , ως άθροισμα όγκων δύο ορθών κυκλικών κώνων με ακτίνα βάσης $\Gamma{'}\Gamma$ , ισούται με

$V_{AB\Delta }=\displaystyle{\dfrac{1}{3}\pi (\Gamma{'}\Gamma)^2(A\Gamma{'}) + \dfrac{1}{3}\pi (\Gamma{'}\Gamma)^2(\Gamma{'}\Delta)= \dfrac{1}{3}\pi (\Gamma{'}\Gamma)^2(A\Delta)}$ (2)

Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $\Delta B'B$ και $\Delta\Gamma{'}\Gamma$ και το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου παίρνουμε

$\displaystyle{\dfrac{B'B}{\Gamma{'}\Gamma}=\dfrac{B\Delta}{\Delta\Gamma}=\dfrac{\gamma}{\beta}}$ . (3)

Από (1), (2), και (3) παίρνουμε

$\displaystyle{ \frac{{V_{AB\Delta } }}{{V_{A\Delta \Gamma } }} =\frac{\dfrac{1}{3}\pi (B'B)^2(A\Delta)}{\dfrac{1}{3}\pi (\Gamma{'}\Gamma)^2(A\Delta)}=\dfrac{(B'B)^2}{(\Gamma{'}\Gamma)^2}= \frac{{\gamma ^2 }}{{\beta ^2 }} }$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ιστοσελίδα · #3

Με καθυστέρησε το σχήμα έχω την ίδια λύση με τον φίλο τον Αχιλλέα

Έστω ΒΚ, ΓΛ οι προβολές των κορυφών Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ στην ευθεία της διχοτόμου ΑΔ του τριγώνου. Τα τρίγωνα ΑΒΚ, και ΑΓΛ είναι προφανώς όμοια εφόσον είναι ορθογώνια και έχουν από μια γωνία ίση, επομένως:

$\displaystyle{ \frac{\gamma }{\beta } = \frac{{{\rm B}{\rm K}}}{{\Gamma \Lambda }} }$

Με την περιστροφή τα τρίγωνα παράγουν, το μεν ΑΒΔ ένα στερεό που είναι ίσο με το άθροισμα δύο κώνων με βάση κύκλο ακτίνας ΒΚ και κορυφών Α και Δ, με όγκο:

$\displaystyle{ V_{AB\Delta } = \frac{1}{3}\pi \cdot {\rm B}{\rm K}^2 \cdot {\rm A}K + \frac{1}{3}\pi \cdot {\rm B}{\rm K}^2 \cdot K\Delta = \frac{1}{3}\pi \cdot {\rm B}{\rm K}^2 \cdot ({\rm A}K + K\Delta ) = \frac{1}{3}\pi \cdot {\rm B}{\rm K}^2 \cdot {\rm A}\Delta }$

το δε ΑΓΔ ένα στερεό που είναι ίσο με την διαφορά δύο κώνων με βάση κύκλο ακτίνας ΓΛ και κορυφών Α και Δ με όγκο:

$\displaystyle{ V_{A\Delta \Gamma } = \frac{1}{3}\pi \cdot \Gamma \Lambda ^2 \cdot {\rm A}\Lambda - \frac{1}{3}\pi \cdot \Gamma \Lambda ^2 \cdot \Delta \Lambda = \frac{1}{3}\pi \cdot \Gamma \Lambda ^2 \cdot ({\rm A}\Lambda - \Delta \Lambda ) = \frac{1}{3}\pi \cdot \Gamma \Lambda ^2 \cdot {\rm A}\Delta }$

άρα ο ζητούμενος λόγος των όγκων των δύο στερεών είναι:

$\displaystyle{ \frac{{V_{AB\Delta } }}{{V_{A\Delta \Gamma } }} = \frac{{\frac{1}{3}\pi \cdot BK^2 \cdot {\rm A}\Delta }}{{\frac{1}{3}\pi \cdot \Gamma \Lambda ^2 \cdot {\rm A}\Delta }} = \frac{{BK^2 }}{{\Gamma \Lambda ^2 }} = \left( {\frac{{BK}}{{\Gamma \Lambda }}} \right)^2 = \left( {\frac{\gamma }{\beta }} \right)^2 = \frac{{\gamma ^2 }}{{\beta ^2 }} }$

#4

Θα μπορούσε να βοηθήσει στην εποπτεία των στερεών αυτών και το
ακόλουθο σχήμα. Σ' αυτό μπορεί κανείς να επεξεργαστεί τα δεδομένα
του προβλήματος και να τα "ελέγχει" με δυναμικό τρόπο.

Περιστροφή τριγώνου περί τη διχοτόμο

Περιστροφή τριγώνου περί τη διχοτόμο

Re: Περιστροφή τριγώνου περί τη διχοτόμο

Re: Περιστροφή τριγώνου περί τη διχοτόμο

Re: Περιστροφή τριγώνου περί τη διχοτόμο

Μέλη σε σύνδεση