Γεωμετρία

[chris_gatos]

Έστω το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Αν Μ σημείο του ελάσσονος τόξου ΑΒ (διαφορετικό
απο τα Α,Β), να αποδείξετε οτι: ΜΓ=ΜΑ+ΜΒ.

[Mihalis_Lambrou]

Έστω το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Αν Μ σημείο του ελάσσονος τόξου ΑΒ (διαφορετικό
απο τα Α,Β), να αποδείξετε οτι: ΜΓ=ΜΑ+ΜΒ.

Υπόδειξη: Θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγράψιμμο ΜΑΓΒ.

[GiannisL]

Στην προέκταση της ΜΒ θεωρώ ΜΔ=ΜΑ
Η γωνία Μ1=Β=60 γωνία Μ2=Α=60 Άρα γωνία Μ3=60 και επειδή το
τρίγωνο ΜΑΔ ισοσκελές Δ=Α=60 άρα ισόπλευρο Επίσης Γ1=Β2
Αρα τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΜΓ Έχουν τις γωνίες ΔΑΒ και ΜΑΓ ίσες και
ΑΔ=ΑΜ επομένως είναι ίσα άρα ΜΓ=ΒΔ=ΒΜ+ΜΑ

[Mihalis_Lambrou]

Έστω το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Αν Μ σημείο του ελάσσονος τόξου ΑΒ (διαφορετικό
απο τα Α,Β), να αποδείξετε οτι: ΜΓ=ΜΑ+ΜΒ.

Ωραία η λύση του Γιάννη. Παραθέτω και άλλες, από τις οποίες η πρώτη είναι ίσως η πιο κλασική και η δεύτερη είναι παραλλαγή της λύσης του Γιάννη, με μόνη διαφορά ότι δουλεύουμε μέσα στο ΑΒΓ αντί από έξω.

1) Από το το θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγράψιμμο ΜΑΓΒ είναι ΜΓ.ΑΒ = ΜΑ.ΒΓ + ΜΒ.ΑΓ. Αλλά ΑΒ=ΒΓ=ΑΓ. Μετά την απλοποίηση των ίσων, μένει ΜΓ= ΜΑ + ΜΒ.

2) Παίρνουμε στην ΜΓ σημείο Δ με ΜΑ=ΜΔ. Είναι τότε ΑΜΔ ισόπλευρο και άρα γωνία A_1 = A_3 (= 60 – A_2). Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα ΑΔΓ, ΑΜΒ είναι ίσα, οπότε ΜΒ = ΓΔ. Άρα ΜΓ = ΜΔ + ΔΓ = ΜΑ + ΜΒ.

3) Παρατηρούμε ότι . Άρα οι , και έχουν τα ίδια ημίτονα. Από την ισότητα εμβαδών (ΜΑΓΒ) = (ΜΑΓ) + (ΜΒΓ) λαμβάνουμε MΓ.ΑΒ.ημθ = MΑ.ΑΓ.ημΜΑΓ + MΒ.ΒΓ.ημΜΒΓ. Απλοποιώντας τους ίσους παράγοντες (ημίτονα και πλευρές), μένει το αποδεικτέο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.