Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Απάντηση
Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 673
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis »

7.
Απο την ταυτότητα του Euler ψάχνουμε αριθμούς ακεραιους και διαφορετικούς με το μικρότερο δυνατό αθροισμα και τη μικρότερη δυνατή διαφορα ανα δυο μεταξύ τους.

Αρα είναι για α=1 β=2 και γ=3 και ολες τις μεταθέσεις τους
Γιώργος
Κορυφή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6595
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#42

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates »

Άσκηση 14η

Αν a,b,c μη αρνητικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a+b+c=1,

νδο \displaystyle {\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geq \frac{5}{2}.}

Πότε ισχύει η ισότητα;

Άσκηση 15η

Αν a \in \mathbb{R} νδο ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς a+\sqrt{2} και a^3+\sqrt{2} είναι άρρητος.
Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
userresu
Δημοσιεύσεις: 81
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 23, 2009 2:07 pm

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#43

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από userresu »

Demetres έγραψε:Άσκηση 5η

Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση a^2 + 2011b^2 = 2010c^2
1) a,b,c\neq 0
Χωρίς βλάβη της γενικότητας a,b,c>0. Η εξίσωση γράφεται a^2+b^2 = 2010(c-b)(c+b). Παρατηρούμε ότι τα τετραγωνικά υπόλοιπα mod 3 είναι 0 ή 1. Επίσης αφού 3 | 2010, 3 | a^2+b^2. Συνεπώς 3|a και 3|b. Τότε μπορούμε να πούμε a=3k, b=3l. Η εξίσωση γίνεται λοιπόν 9k^2 + 9l^2 = 2010(c-3l)(c+3l) \Leftrightarrow 3(k^2+l^2)=670(c-3l)(c+3l). Από εδώ όμως παίρνουμε ότι 3 | (c-3l)(c+3l), δηλαδή 3|c και c=3m. Τότε έχουμε ότι η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την 3(k^2+l^2)=670\cdot 9(m-l)(m+l) \Leftrightarrow k^2+l^2=2010(m-l)(m+l) με a>k,b>l,c>m. Παρατηρούμε ότι, εφαρμόζοντας την ίδια διαδικασία επ' άπειρον, κάθε θετικός ακέραιος της τριάδας μειώνεται απεριόριστα. Όμως αυτό είναι άτοπο καθώς το σύνολο των θετικών ακεραίων είναι κάτω φραγμένο. Συνεπώς η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

2)
Αν c=0 τότε a=0 και b=0.
Αν b=0 τότε a^2=2010c^2, το οποίο ισχύει μόνο για a=c=0 αφού το 2010 δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Αν a=0 τότε 2011b^2=2010c^2 και λόγω των τετραγώνων το αριστερό μέλος διαιρείται περιττό αριθμό φορών με τον πρώτο 2011, ενώ το δεξί άρτιο αριθμό φορών, άτοπο.
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος userresu την Τετ Ιαν 05, 2011 6:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
slash
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Τρί Οκτ 19, 2010 1:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#44

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από slash »

Ασκηση 14)

Mπορουμε να γραψουμε την ανισωση ως εξης.
\sum{\frac{(1+a^2)-a^2}{1+a^2}}\geq \frac{5}{2}
Αφου σπασουμε το κλασμα και αλλαξουμε μελη καταληγουμε στην:
\sum{\frac{a^2}{1+a^2}}\leq \frac{1}{2}
Η τελευταια ομως ισχυει διοτι:
\sum{\frac{a^2}{1+a^2}}\leq \sum{\frac{a^2}{2a}}=\sum{\frac{a}{2}}=\frac{1}{2}

Αν εχω κανω καπου λαθος πειτε μου ή αν εχετε αλλο τροπο.

Κωστας.

ΥΓ : Ξερει κανεις με ποσα θεματα περιπου περνας στον ευκλειδη ? Ξερω οτι εξαρταται απο την δυσκολια των θεματων αλλα συνηθως με ποσα περνας ? ευχαριστω.
Κάρτας Κώστας
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6970
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#45

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos »

Φέτος δε σκοπεύω να κατέβω στον Ευκλείδη. Λόγω ηλικίας απορρίπτομαι...

Μία υπόδειξη για τη 15 του Θανάση που υπογράφει με το όνομα του πάλαι ποτέ Βραζιλιάνου ημίθεου της στρογγυλής θεάς:

Υποθέστε πως και οι δύο είναι ρητοί
ΧΜΧΜΧΜ....χμχμχμχμχμχμ σιγά την υπόδειξη
ονομάστε τους ρ1 και ρ2 αντιστοίχως.Επιλύστε την πρώτη ως πρός α και... :censored:
Σιγά βρε άνθρωπε εσύ την έλυσες κιόλας!!
Χρήστος Κυριαζής
Κορυφή
Linardatos
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Τρί Σεπ 14, 2010 2:23 pm

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#46

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Linardatos »

Για την 15

γιατι να μην φτανει ο παρακατω συλλογισμος..

εστω α ρητος τοτε προφανως και οι 2 ειναι αρρητοι αφου το αθροισμα ρητος και αρρητος δινει αρρητο΄
εστω α αρρητος τοτε μπορει να μην ξερω τι κανει το a^3 αλλα μου αρκει ο πρωτος αφου αρρητος και αρρητος δινει παλι αρρητο.... οποτε παντα εχουμε εναν τουλαχιστον...

οχι???
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6970
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#47

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos »

Φίλε Linardatos νομίζω πως δεν ισχύει ο ισχυρισμός σου.
Πάρε τους \displaystyle{ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 }
και προσθεσέ τους.
Ή πάρε τους \displaystyle{ 1 - \sqrt 2 ,2 + \sqrt 2 }
ή τελος πάντων μπορείς να πάρεις αρκετά ζευγάρια άρρητων που δε σου κάνουν.
Χρήστος Κυριαζής
Κορυφή
Linardatos
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Τρί Σεπ 14, 2010 2:23 pm

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#48

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Linardatos »

Α δεν ειναι τιποτα... μαλλον οι διακοπες...
;)


σωστος... υπαρχουν και αυτα τα αθροισματα.
μαλλον βιαστικα να θεωρησω τους αριθμους "μονονυμα" ????
whatever.. τοτε προφανως θελει αναλυση η ασκηση..!

<Γ/Λ>
Κορυφή
Linardatos
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Τρί Σεπ 14, 2010 2:23 pm

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#49

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Linardatos »

Μονωνυμα lol lol lol lol δε ξανατρωω γαλοπουλα...!!!!
Κορυφή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6595
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#50

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates »

slash έγραψε:Ασκηση 14)

Mπορουμε να γραψουμε την ανισωση ως εξης.
\sum{\frac{(1+a^2)-a^2}{1+a^2}}\geq \frac{5}{2}
Αφου σπασουμε το κλασμα και αλλαξουμε μελη καταληγουμε στην:
\sum{\frac{a^2}{1+a^2}}\leq \frac{1}{2}
Η τελευταια ομως ισχυει διοτι:
\sum{\frac{a^2}{1+a^2}}\leq \sum{\frac{a^2}{2a}}=\sum{\frac{a}{2}}=\frac{1}{2}

Αν εχω κανω καπου λαθος πειτε μου ή αν εχετε αλλο τροπο.

Κωστας.

ΥΓ : Ξερει κανεις με ποσα θεματα περιπου περνας στον ευκλειδη ? Ξερω οτι εξαρταται απο την δυσκολια των θεματων αλλα συνηθως με ποσα περνας ? ευχαριστω.
Σωστά... :)

Διαφορετικά, μπορούμε να δείξουμε \displaystyle \frac{1}{1+a^2}\geq \frac{2-a}{2} και να αθροίσουμε κυκλικά. Η ισότητα αν-ν (a,b,c)=(1,0,0) και οι μεταθέσεις.
Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6970
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#51

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos »

Ας δώσω κι εγώ μία:

ΑΣΚΗΣΗ 16

Να βρείτε τα τελευταία

1)3 ψηφία

2) 5 ψηφία

του αριθμού \displaystyle{ 7^{2001} }

Στο πρώτο παρέχεται βοήθεια...
Θέμα απο ''Μαθηματικές Ολυμπιάδες για μαθητές Δημοτικού-Γυμνασίου''-Σ.Λουρίδας-Κ.Σάλαρης
Χρήστος Κυριαζής
Κορυφή
Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 673
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#52

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis »

Lets see here: viewtopic.php?f=23&t=10756
Γιώργος
Κορυφή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6595
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#53

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates »

Άσκηση 17η

Θεωρούμε την ακολουθία μη αρνητικών ακεραίων \{a_n\}_{n\geq 1} τέτοια ώστε
i) a_{mn} = a_{m}+a_{n} για κάθε m,n \in \mathbb{N}^*
ii) a_{n} =0, αν το ψηφίο των μονάδων του n είναι 9

Να δείξετε ότι αν το n δεν έχει κοινό παράγοντα με το 10, δηλαδή (n,10)=1, τότε a_{n} = 0.


Άσκηση 18η

Ποιοι ακέραιοι μπορούν να γραφούν στη μορφή \displaystyle \frac{a}{2b}+\frac{b}{3a} με a,b \in \mathbb{Z}^*;


Άσκηση 19η

Να βρεθούν οι a,b \in \mathbb{N}^* ώστε ο αριθμός \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{2}{b} να είναι ακέραιος.
Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
qwerty
Δημοσιεύσεις: 189
Εγγραφή: Δευ Αύγ 17, 2009 11:05 pm

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#54

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από qwerty »

socrates έγραψε:
Άσκηση 19η

Να βρεθούν οι a,b \in \mathbb{N}^* ώστε ο αριθμός \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{2}{b} να είναι ακέραιος.
θα βρούμε τα ζεύγη (α,b) που ζητάει η άσκηση...
εύκολα βλέπουμε 2 λύσεις τις (1,1) και (1,2) τώρα αν a>1 και b>2 έχουμε 1/a<1 και 2/b<1 άρα 1/α+1/β<2
αρα για αυτές τις τιμες η μόνη ελπίδα να είναι ο \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{2}{b} ακέραιος,είναι να ισχύει
\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1 (1) οπότε τώρα μας αρκεί να βρούμε τις ακέραιες λύσεις τις (1)
έχουμε λοιπόν (1) \Leftrightarrow b+2a=ab \Leftrightarrow \frac{2a}{b}=a-1 αυτό σημαίνει οτι ο b|2a \Rightarrow b\leq 2a
άρα ab=b+2a \leq 2a+2a=4a \Rightarrow ab\leq 4a \Rightarrow b\leq 4

δοκιμάζουμε λοιπόν τις τιμες b=1,2,3,4 και βρίσκουμε τις λύσεις (1,1),(1,2),(2,4),(3,3)
Κορυφή
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6595
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#55

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates »

Άσκηση 20η

Αν a_1,a_2,\cdots,a_n>0 τέτοιοι ώστε a_1+a_2+...+a_n+a_1a_2...a_n=n+1,

νδο a_1+a_2+...+a_n\geq \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_n}.


Άσκηση 21η

Αν οι πραγματικοί αριθμοί a_1,a_2,\cdots,a_{100} είναι τέτοιοι ώστε a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{100}^{2}+( a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{100})^{2}= 101,

νδο |a_{k}|\leq 10, για κάθε k\in\{1,2,...,100\}


Άσκηση 22η

Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε abc(a+b+c)=3,

νδο (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8.
Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 673
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#56

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis »

20.
Από C.S. παίρνουμε ότι \displaystyle{n\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right) \geqslant {\left( {\sqrt {{a_1}} + \sqrt {{a_2}} + ... + \sqrt {{a_n}} } \right)^2}}.
Αρκεί να δείξουμε ότι \displaystyle{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \geqslant n \Leftarrow n + 1 - {a_1}{a_2}...{a_m} \geqslant n \Leftarrow {a_1}{a_2}...{a_m} \leqslant 1}
Πράγματι αν ισχυε ότι \displaystyle{{a_1}{a_2}...{a_m} > 1} τότε
\displaystyle{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n} + {a_1}{a_2}...{a_n} \geqslant n\root n \of {{a_1}{a_2}...{a_n}} + {a_1}{a_2}...{a_n} > n + 1} που είναι άτοπο.

Αρα τελικά ισχύει το ζητουμενο
Γιώργος
Κορυφή
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1052
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#57

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 »

22.
Από την αρχική βλέπουμε \displaystyle 81=27abc\left(a+b+c \right)\leqslant \left(a+b+c \right)^{2}\Rightarrow a+b+c\geqslant 3 αλλά και \displaystyle abc\leqslant 1.

Είναι: \displaystyle \left(a+b \right)\left(b+c \right)\left(c+a \right)=ab\left(a+b \right)+bc\left(b+c \right)+ca\left(c+a \right)+ 2abc.

Όμως : \displaystyle 3+\sum{ab\left(a+b \right)}=\sum{\left(a^2b+a^2c+1 \right)}\geqslant 3\sum{\sqrt[3]{a^4 bc}}=3\sqrt[3]{abc}\sum{a}

Άρα: \displaystyle \prod{\left(a+b \right)}\geqslant 2abc-3+3\sqrt[3]{abc}\left(a+b+c \right)=\frac{6}{a+b+c}+3\sqrt[3]{3\left(a+b+c \right)^{2}}- 3.

Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle f\left(x \right)=\frac{2}{x}+\sqrt[3]{3x^2},f'\left(x \right)=-\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{x}}=2\left(\frac{\sqrt[3]{3}x^{2}-3\sqrt[3]{x}}{3x^2\sqrt[3]{x}} \right)>0, \displaystyle x\geqslant 3.

Άρα: \displaystyle \frac{6}{a+b+c}+3\sqrt[3]{3\left(a+b+c \right)^{2}}-3=3f\left(a+b+c \right)-3\geqslant 3f\left(3 \right) -3=8.

Η ισότητα λαμβάνεται όταν \displaystyle a+b+c=3\Leftrightarrow a=b=c=1
Κορυφή
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 622
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Νασιούλας Αντώνης

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#58

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης »

Μια λύση για την 4ii), λίγο διαφορετική από του κ. Ηράκλειου.
"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
Κορυφή
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1052
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#59

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 »

17.
Κάθε αριθμός μπορέι να γραφεί στην μορφή \displaystyle 10k+r, r \in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}, k \in \mathbb {N}. Επειδή \displaystyle \left(n,10 \right)=1 ο n δεν έχει την μορφή \displaystyle 10k+r,r \in \left\{0,2,4,6,8 \right\}.

Oι αριθμοί \displaystyle 10a+9,10b+9 a, b \in \mathbb{N} λήγουν σε 9 άρα \displaystyle a_{10a+9}=a_{10b+9}=0. Το γινομενό τους είναι αριθμός της μορφής \displaystyle 10c+1 , c \in \mathbb{N^{*}}. Άρα: \displaystyle a_{\left(10a+9 \right)\left(10b+9 \right)}=a_{\left(10c+1 \right)}=0+0=0\Rightarrow a_{10c+1}=0, c \in \mathbb{N^*}.

Eπίσης ,οι αριθμοί \displaystyle 10a+7,10b+7 a, b \in \mathbb{N} λήγουν σε 7 άρα ,το γινομενό τους είναι αριθμός της μορφής \displaystyle 10c+9 , c \in \mathbb{N^{*}} άρα \displaystyle a_{\left(10a+7 \right)\left(10b+7 \right)}=a_{\left(10a+7 \right)}+a_{\left(10b+7 \right)}=a_{\left(10c+9 \right)}=0\Leftrightarrow \displaystyle a_{\left(10a+7 \right)}=a_{\left(10b+7 \right)}=0,a_{n}\geqslant 0.

Άρα γενικότερα \displaystyle a_{\left(10d+1 \right)}=0,d \in \mathbb{N^*}. Ακόμη το γινόμενο των αριθμών \displaystyle 10p+3,10q+9,p,q \in \mathbb{N} λήγει σε 7 άρα \displaystyle a_{\left(10p+3 \right)\left(10q+9 \right)}=a_{\left(10p+3 \right)}+a_{\left(10q+9 \right)}=a_{\left(10l+7 \right)}\Rightarrow a_{\left(10p+3 \right)}= \displaystyle 0, p\in \mathbb{N^*}

Τελικά \displaystyle a_{n}=0,n=10t+r,r \in \left\{1,3,7,9 \right\},t \in \mathbb{N^*}.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
slash
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Τρί Οκτ 19, 2010 1:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

#60

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από slash »

Και ενα προβλημα....

23η)
O Τάσος τελειώνει μια εργασία σε συγκεκριμένες, ακέραιου αριθμού, ώρες. Ο Χρήστος τελειώνει την ίδια εργασία σε ένα ορισμένο αριθμό ωρών ο οποίος είναι επίσης ένας ακέραιος. Ο Χρήστος απαιτεί λιγότερο χρόνο από τον Τάσο, και ένας
από αυτούς τους δύο ακέραιους είναι πρώτος. Τι κλάσμα του έργου έχει κάνει σε μία ώρα ο Τάσος, εάν, όταν εργάζονται μαζί στην ίδια εγασία , η ολοκλήρωση της λαμβάνει 4 ώρες;

(A Primer for Mathematics Competitions,με μεταφραση φυσικά)
Κάρτας Κώστας
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης