int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

#1

Νά δειχθεί ότι:

$\displaystyle\int{\frac{\sqrt{1+x^4}}{x^4-1}\,dx}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{x^4+1}-x\,\sqrt{2}}{\sqrt{x^4+1}+x\,\sqrt{2}}}\right|+\frac{1}{2\sqrt{2}}\,\arctan\sqrt{\tfrac{x^4+1}{2x^2}}+c$

#2

$\displaystyle\int{\frac{\sqrt{1+x^4}}{x^4-1}\,dx}=\int{\frac{1+x^4}{\left({x^2+1}\right)\left({x^2-1}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=\int{\frac{\dfrac{1}{2}\left[{\left({x^2+1}\right)^2+\left({x^2-1}\right)^2}\right]}{\left({x^2+1}\right)\left({x^2-1}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=$

$\displaystyle\frac{1}{2}\int{\frac{\left({x^2+1}\right)^2}{\left({x^2+1}\right)\left({x^2-1}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{\left({x^2-1}\right)^2}{\left({x^2+1}\right)\left({x^2-1}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=$

$\displaystyle\frac{1}{2}\int{\frac{x^2+1}{\left({x^2-1}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}+\frac{1}{2}\int{\frac{x^2-1}{\left({x^2+1}\right)\sqrt{1+x^4}}\,dx}=$ όρα int{ (1+x^2) / (1-x^2) / sqrt(1+x^4) dx}

$\displaystyle-\frac{1}{4\sqrt{2}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^4}-x\,\sqrt{2}}}\right|+c_1+I=\frac{1}{4\sqrt{2}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{1+x^4}-x\,\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}}\right|+c_1+I\,.$

$I=\displaystyle\int{\frac{\frac{\left({x^2-1}\right)\left({x^2+1}\right)}{\sqrt{1+x^4}}}{\left({x^2+1}\right)^2}\,dx}=\int{\frac{\frac{x^4-1}{2x^2\,\sqrt{1+x^4}}}{\frac{\left({x^2+1}\right)^2}{2x^2}}\,dx}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int{\frac{\frac{\frac{4x^5-4x}{4x^4}}{\sqrt{\frac{x^4+1}{2x^2}}}}{1+\frac{x^4+1}{2x^2}}\,dx}=$

$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}\int{\frac{\left({\sqrt{\frac{x^4+1}{2x^2}}}\right)^{\prime}}{1+\left({\sqrt{\frac{x^4+1}{2x^2}}}\right)^2}\,dx}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\,\arctan\sqrt{\tfrac{x^4+1}{2x^2}}+c_2\,.$

Επομένως $\displaystyle\int{\frac{\sqrt{1+x^4}}{x^4-1}\,dx}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{1+x^4}-x\,\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^4}+x\,\sqrt{2}}}\right|+\frac{1}{2\sqrt{2}}\,\arctan\sqrt{\tfrac{x^4+1}{2x^2}}+c\,.\quad\square$

χρηστος ευαγγελινος · #3

αν παραγωγιζαμε το δευτερο μελος δεν εβγαινε?

#4

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:αν παραγωγιζαμε το δευτερο μελος δεν εβγαινε?

Δηλαδή ;

χρηστος ευαγγελινος · #5

δηλαδη να παραγωγισουμε το αποτελεσμα και να βγει η ολοκληρωτεα,εφ οσον η εκφωνηση δινει το ζητουμενο.

#6

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:δηλαδη να παραγωγισουμε το αποτελεσμα και να βγει η ολοκληρωτεα,εφ οσον η εκφωνηση δινει το ζητουμενο.

Προφανώς, μπορούμε νά ακολουθήσουμε τήν αντίστροφη πορεία! Όμως τό ζητούμενο είναι πάντοτε τό ευθύ, δηλ. η επίλυση τού ολοκληρώματος. Απλώς αυτήν τήν φορά, αντί νά ζητήσω τήν επίλυση τού ολοκληρώματος, ελπίζωντας ότι κάποιος θά βρεί κάτι, έδωσα καί τό αποτέλεσμα σάν βοήθεια, μιάς καί πρόκειται γιά αρκετά δύσκολο ολοκλήρωμα.

mathxl · #7

Γρηγόρη τα ολοκληρώματα σου καλό είναι τα προσφέρεις μαζί με καμιά σόδα (είναι λίγο δύσπεπτα)

αλλά είναι και προκλήσεις

χρηστος ευαγγελινος · #8

νομιζω πως ειναι λιγο ματαιο να προσπαθει να καποιος να υπολογισει ενα ολοκληρωμα τη στιγμη που και ενας μαθητης λυκειου μπορει να γραψει ενα που δε θα λυνεται με τιποτα.

π.χ. να υπολογιστει το $\int\limits_1^{2009} {\frac{{x^{x + x^8 } \left( {\frac{1} {{x\cos (x + 4)}}} \right)}} {{\tan \left( {3x\ln x + e^{x + 2} } \right)}}\left( {3x^{\ln x} + 4^x } \right)dx}$

ενταξει,υπαρχουν πολλες περιπτωσεις που καποια μεθοδολογια τα επιλυει αλλα γενικως το θεμα ανεξαντλητο και οχι πολυ χρησιμο απο ενα σημειο και μετα.

#9

Χρήστο, σέ γενικές γραμμές συμφωνώ μέ όσα γράφεις - άλλωστε δέν έχω κάποιο πάθος μέ τήν επίλυση ολοκληρωμάτων - όμως επέτρεψέ μου μιά-δυό παρατηρήσεις:

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:νομιζω πως ειναι λιγο ματαιο να προσπαθει να καποιος να υπολογισει ενα ολοκληρωμα τη στιγμη που και ενας μαθητης λυκειου μπορει να γραψει ενα που δε θα λυνεται με τιποτα.
π.χ. να υπολογιστει το $\int\limits_1^{2009} {\frac{{x^{x + x^8 } \left( {\frac{1} {{x\cos (x + 4)}}} \right)}} {{\tan \left( {3x\ln x + e^{x + 2} } \right)}}\left( {3x^{\ln x} + 4^x } \right)dx}$

Οί συναρτήσεις γιά τίς οποίες ζητείται η αντιπαράγωγος δέν είναι κάποιες περίπλοκες - σάν αυτή τού παραδείγματος πού δίνεις - αλλά οί κομψότατες $\dfrac{1+x^2}{\left({1-x^2}\right)\sqrt{1+x^4}}$ καί $\dfrac{\sqrt{1+x^4}}{x^4-1}$ . Επιπλέον γι' αυτές τίς συναρτήσεις, τά πανίσχυρα, όσον αφορά τόν υπολογισμό ολοκληρωμάτων, μαθηματικά προγράμματα δίνουν επίλυση μέ τήν βοήθεια ελλειπτικών συναρτήσεων, κάτι πού, όπως βλέπεις, δέν απαιτείται.

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:... αλλα γενικως το θεμα ανεξαντλητο και οχι πολυ χρησιμο απο ενα σημειο και μετα.

Αυτή είναι μία πολύ χρήσιμη παρατήρηση, μέχρι τήν στιγμή πού θά χρειασθεί κανείς νά υπολογίσει ένα δύσκολο ολοκλήρωμα.

χρηστος ευαγγελινος · #10

γρηγορη εχεις δικιο και συμφωνω μαζι σου.αν χρειαστει καποιος να υπολογισει ενα δυσκολο ολοκληρωμα τοτε θα πρεπει να πολεμησει με ολα τα δυνατα μεσα.οσο για την κομψοτητα καποιων συναρτησεων αυτο ειναι υποκειμενικο νομιζω(για τη συγκεκριμενη περιπτωση συμφωνω μαζι σου παντως οτι ειναι κομψες).

mathematica.gr

int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

Re: int{ sqrt(1+x^4) / (x^4-1) dx}

Μέλη σε σύνδεση