Εύρεση του τύπου συνάρτησης
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
Εύρεση του τύπου συνάρτησης
Από Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan):
Με αφορμή μια άσκηση που προτάθηκε στο mathematica.gr:
"Για τη συνάρτηση ισχύει:
, για καθε
όπου και
, για καθε
Να δειχθεί ότι:
,για καθε "
Με αφορμή μια άσκηση που προτάθηκε στο mathematica.gr:
"Για τη συνάρτηση ισχύει:
, για καθε
όπου και
, για καθε
Να δειχθεί ότι:
,για καθε "
Re: Εύρεση του τύπου συνάρτησης
Καλημέρα
Έχουμε: και
Από την (1) θέτοντας όπου x το 2x +1 παίρνουμε:
Αν α < 0 τότε οπότε θα υπάρχει και έτσι από το δεύτερο σκέλος της (3) προκύπτει που είναι άτοπο.
Συνεπώς α > 0
Από την (1) τώρα υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε ισοδύναμα:
Ο συνδυασμός των (3) και (4) μας δίνει ότι:
και
Αν α > 2 η (5) δεν μπορεί να ισχύει για κάθε x > 0 αφού το τριώνυμο έχει αρνητικό συντελεστή στο (θετική διακρίνουσα) και ετερόσημες ρίζες.
Αν α < 2 η (6) προφανώς δεν ισχύει για κάθε x > 0 .
Προκύπτει ότι α = 2 και έτσι τα δεδομένα μας είναι:
Από την (1) προκύπτει ότι όπου για τον αριθμό (εξαρτώμενο από το x) ισχύει
Έστω τώρα ένας θετικός αριθμός x , θα είναι Εδώ υπάρχει λάθος αφού το σωστό είναι και μάλλον αυτό εννοεί (;) ο Νίκος στο μήνυμα του (πιο κάτω) . Άρα η λύση που ακολουθεί είναι άκυρη .
Αν η τελευταία ισότητα μας οδηγεί σε άτοπο αφού το πρώτο μέλος είναι αρνητικός ενώ το δεύτερο θετικός αριθμός.
Άρα για το τυχαίο x > 0 και έτσι
Γιώργος
Έχουμε: και
Από την (1) θέτοντας όπου x το 2x +1 παίρνουμε:
Αν α < 0 τότε οπότε θα υπάρχει και έτσι από το δεύτερο σκέλος της (3) προκύπτει που είναι άτοπο.
Συνεπώς α > 0
Από την (1) τώρα υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε ισοδύναμα:
Ο συνδυασμός των (3) και (4) μας δίνει ότι:
και
Αν α > 2 η (5) δεν μπορεί να ισχύει για κάθε x > 0 αφού το τριώνυμο έχει αρνητικό συντελεστή στο (θετική διακρίνουσα) και ετερόσημες ρίζες.
Αν α < 2 η (6) προφανώς δεν ισχύει για κάθε x > 0 .
Προκύπτει ότι α = 2 και έτσι τα δεδομένα μας είναι:
Από την (1) προκύπτει ότι όπου για τον αριθμό (εξαρτώμενο από το x) ισχύει
Έστω τώρα ένας θετικός αριθμός x , θα είναι Εδώ υπάρχει λάθος αφού το σωστό είναι και μάλλον αυτό εννοεί (;) ο Νίκος στο μήνυμα του (πιο κάτω) . Άρα η λύση που ακολουθεί είναι άκυρη .
Αν η τελευταία ισότητα μας οδηγεί σε άτοπο αφού το πρώτο μέλος είναι αρνητικός ενώ το δεύτερο θετικός αριθμός.
Άρα για το τυχαίο x > 0 και έτσι
Γιώργος
τελευταία επεξεργασία από hsiodos σε Κυρ Ιαν 09, 2011 4:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Ροδόπουλος
Re: Εύρεση του τύπου συνάρτησης
Μια απόδειξη για το α
Είναι
Για χ βάζουμε το 2χ+1 και λαμβάνουμε
διότι το α δεν είναι 0
Είναι
Για χ βάζουμε το 2χ+1 και λαμβάνουμε
διότι το α δεν είναι 0
Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εύρεση του τύπου συνάρτησης
Λίγο αλλιώς: Από την , έχουμε (όπως πριν) .mathxl έγραψε:Μια απόδειξη για το α
Από την συναρτησιακή σχέση, διαιρώντας με το έχουμε
.
Παίρνοντας όριο του τείνοντος στο άπειρο λαμβάνουμε
, οπότε .
Φιλικά,
Μιχάλης
Re: Εύρεση του τύπου συνάρτησης
Στη λυση που προτεινει ο Γιωργος υπαρχει προς το τελος ενα λαθος
Φιλικα Ν.Ζανταριης
Φιλικα Ν.Ζανταριης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εύρεση του τύπου συνάρτησης
Συνεχίζω από εκεί που σταμάτησε ο Γιώργος αλλά δείχνω κάτι λιγότερο: Όχι ότι αλλά ότι . (Θα επανέλθω αν βρω χρόνο).hsiodos έγραψε: Έστω τώρα ένας θετικός αριθμός x , θα είναι
Η συναρτησιακή σχέση δίνει
ή
ή
Παίροντας όριο του τείνοντος στο άπειρο βλεπουμε ότι το δεξί μέλος τείνει στο 3, συνεπώς . Oπότε για υπάρχει που από κεί και πέρα είναι δηλαδή
. Άρα και (εφόσον )
. . . . .
προσθέτοντας κατά μέλη (η γεωμετρική πρόοδος είναι απλή) θα βρούμε
και επειδή αυτό ισχύει για κάθε ε >0, έπεται . (Προσοχή, δεν μπορούμε να πούμε ότι γιατί το μας εξαρτάται από το ε.)
Φιλικά,
Μιχάλης
Υ.Γ. Θα χαρώ να συνεχίσει κάποιος από εδώ. Θα το κοιτάξω αργότερα. Τώρα ... πνίγομαι).
Re: Εύρεση του τύπου συνάρτησης
Μιχάλη έχω αποδείξει και ότι αλλά το ζητούμενο δεν μου προκύπτει !!!Mihalis_Lambrou έγραψε:Συνεχίζω από εκεί που σταμάτησε ο Γιώργος αλλά δείχνω κάτι λιγότερο: Όχι ότι αλλά ότι . (Θα επανέλθω αν βρω χρόνο).hsiodos έγραψε: Έστω τώρα ένας θετικός αριθμός x , θα είναι
.
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
- Μάκης Χατζόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 2456
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Εύρεση του τύπου συνάρτησης
Προτεινόμενη λύση από τον Νίκο Ζανταρίδη
Έχουμε, και
Από την (1) έχουμε ότι για κάθε χ>0 ισχύει:
Είναι,
οπότε λόγω της (3) προκύπτει ότι:
Από την (2) έχουμε ότι για κάθε χ > 0 ισχύει: ή
οπότε,
άρα, και επειδή το βρίσκουμε
Άρα για κάθε χ > 0 ισχύει:
Θεωρώ την συνάρτηση:
Λόγω της (3) έχουμε: (5)
Επίσης,
(αφού και )
και
Έτσι έχουμε, για κάθε χ > 0
Επομένως, για κάθε χ > 0 ισχύει:
και επειδή έχουμε:
(αφού για κάθε χ > 0)
Άρα για κάθε και για κάθε χ > 0 ισχύει:
οπότε,
δηλ. δηλ. επομένως άρα για κάθε χ > 0
Έχουμε, και
Από την (1) έχουμε ότι για κάθε χ>0 ισχύει:
Είναι,
οπότε λόγω της (3) προκύπτει ότι:
Από την (2) έχουμε ότι για κάθε χ > 0 ισχύει: ή
οπότε,
άρα, και επειδή το βρίσκουμε
Άρα για κάθε χ > 0 ισχύει:
Θεωρώ την συνάρτηση:
Λόγω της (3) έχουμε: (5)
Επίσης,
(αφού και )
και
Έτσι έχουμε, για κάθε χ > 0
Επομένως, για κάθε χ > 0 ισχύει:
και επειδή έχουμε:
(αφού για κάθε χ > 0)
Άρα για κάθε και για κάθε χ > 0 ισχύει:
οπότε,
δηλ. δηλ. επομένως άρα για κάθε χ > 0
(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες