Συναρτησιακές εξισώσεις

#1

1)Έστω $a\in\mathbb{R}$ και $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέθοια ώστε $f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)\,\,\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}$ και $f(0)=\frac{1}{2}$ . Ας δειχθεί ότι η

είναι σταθερή.

2)Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέθοια ώστε $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1\,\,\,\,\,\forall x,y \in\mathbb{R}$ και f(1)=1

. Να βρεθεί ο αριθμός των ακεραίων

για τους οποίους f(n)=n

.

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:1)Έστω $a\in\mathbb{R}$ και $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέθοια ώστε $f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)\,\,\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}$ και $f(0)=\frac{1}{2}$ . Ας δειχθεί ότι η είναι σταθερή.

2)Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέθοια ώστε $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1\,\,\,\,\,\forall x,y \in\mathbb{R}$ και . Να βρεθεί ο αριθμός των ακεραίων για τους οποίους .

το πρώτο είναι θέμα , πιθανώς σε βαλκανιάδα, προταθέν από Γιουγκουσλαβία. Έχω τη λύση στο αρχείο, αλλά είναι δύσκολη άσκηση .Αν χρειαστεί , θα επανέλθω.

Μπάμπης

#3

1)
Έστω $a\in\mathbb{R}$ και $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)

(1) $,\,\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}$ και $f(0)=\frac{1}{2}$ . Ας δειχθεί ότι η

είναι σταθερή.
---------------------------------------------------------
η (1) για $x=y=0---->f(a)=\frac{1}{2}$

η (1) για y=0---->f(a-x)=f(x),

, άρα για χ το -χ --> f(a+x)=f(-x)

η (1) για y=a---->f(x)=f(-x)

η (1) γράφεται ----> $f(x+y)=f(x)f(y)+f(y)f(x) \Rightarrow f(x+y)=2f(x)f(y)$ (2)

η (2) για

to

δίνει $f(x-y)=2f(x)f(-y) \Rightarrow f(x-y)=2f(x)f(y)$

άρα f(x+y)=f(x-y)

(3)

η (3) για $x=y=\frac{x}{2}\Rightarrow f(x)=f(0)=\frac{1}{2}$ --->σταθερή

#4

για το 2ο
Για y=1

η δοσμένη σχέση γίνεται f(x+1)-f(x)=x+2

Από εδώ αφού f(1)=1

εύκολα προκύπτει δίνοντας τιμές και προσθέτοντας
$\displaystyle f(n)=\frac{n^2+3n-2}{2},\forall n\in N$
Η σχέση αυτή ισχύει και για $n\in Z$ ιδια απόδειξη
Η εξίσωση f(n)=n

δίνει 2 ακέραιες λύσεις n=1,n=-2

Συναρτησιακές εξισώσεις

Συναρτησιακές εξισώσεις

Re: Συναρτησιακές εξισώσεις

Re: Συναρτησιακές εξισώσεις

Re: Συναρτησιακές εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση